Relatii de congruenta. Teoremele de izomorfism.

Relatii de congruenta. Teoremele de izomorfism

Definitia 1. Fie A o algebra de tip t = ( n₁, n₂, , n_{o (t}

Numim relatie de congruenta pe A orice relatie q I Echiv (A ) ce verifica asa zisa proprietate de substitutie : 

Pentru fiecare i I , daca ( a_j, a_j I q pentru j = 1, 2, n_i, atunci (f_i (a₁, ), f_i (a ))I q

Vom nota prin Con (A) multimea congruentelor lui A (evident D_{A A} I Con(A))

Exemplu. Fie A, B algebre de acelasi tip t iar f I Hom (A, B). Nucleul lui f, notat prin Ker(f) se defineste ca fiind relatia binara de pe A:(a, a IKer(f) f(a)=f(a

Propozitia Daca f I Hom (A, B) atunci Ker (f) I Con (A).

Demonstratie: Fie 1 i t) si ( a_j, a _j I Ker (f) pentru 1 j n_i ; atunci f(a_j)=f(a _j Deducem imediat ca f_i(f (a₁), , f ()) = f_i(f(a′₁), , f( f(f_i(a₁, ))=f(f_i(a₁, (f_i(a₁, ), f_i(a′₁, IKer (f), adica  Ker (f) I Con (A).g

Teorema 3. Pentru orice algebra A, (Echiv (A), ) este latice completa iar Con (A) este sublatice completa a lui Echiv (A).

Demonstratie: Evident (Echiv (A), ) este latice deoarece pentru r r IEchiv(A), r r r r I Echiv (A) iar r r relatia de echivalenta generata de r r Descrierea lui r r este data de: ( a_i b ) I r r daca si numai daca exista un sir de elemente a₁, a₂, , a_n I A astfel incat a = a₁, b = a_n iar pentru orice 1 i n - 1 , ( a_i, a_i+1 ) I r sau ( a_i, a_i+1 ) I r

Mai mult, Echiv (A) este latice completa deoarece pentru o familie (q_i)_iII de elemente din Echiv (A), q _i = q_i iarq_i

Deoarece intersectia unei familii oarecare de relatii de congruenta de pe A este de asemenea o congruenta pe A deducem ca Con (A) este inf - semilatice completa si totodata inf - sublatice a lui Echiv (A).

Fie acum (q_i)_iII o familie de relatii de congruenta de pe A iar f o operatie n-ara pe A. Daca (a₁, b₁), , (a_n, b_n) Iq _i, atunci putem gasi i₀, i₁, , i_k I I astfel incat (a_i, b_i) I i n), de unde (f(a₁, , a_n), f( b₁, , b_n)) I adica q _i I Con (A), deci Con (A) este si sublatice sup - completa (deci completa) a lui Echiv (A). g

Observatie: Deoarece orice multime ordonata A care este inf-completa este latice completa era suficient sa probam ca Echiv (A) (ca si Con (A)) este inf-completa pentru a trage concluzia ca este latice completa. Am probat si sup-completitudinea pentru a prezenta o caracterizare a lui q_i cu q_i I Con (A) : (x, y) Iq_i daca si numai daca exista un sir de elemente din A, x = a₁, , a_n = y astfel incat pentru orice  1 j n-1, (a_j, a_j+1) I q_i cu i I I .

Teorema 4. Pentru orice algebra A exista un operator algebric de inchidere pe A A astfel incat submultimile inchise ale lui A A sunt exact congruentele lui A.

Demonstratie: Vom organiza pe A A ca algebra astfel:

In primul rand, pentru fiecare operatie n - ara f de pe A consideram operatia n-ara g de pe A A definita astfel :

g((a₁, b₁), , (a_n, b_n)) = (f(a₁, , a_n), f(b₁, , b_n)).

Daca la operatiile astfel obtinute de pe A A mai adaugam operatia binara t definita prin :

t((a, b), (c, d)) =

precum si operatiile nule (a, a) pentru fiecare a I A, atunci se verifica ca q este subalgebra a lui A A daca si numai daca q I Con (A), astfel ca daca notam prin C operatorul Sg , avem ca Con (A) = (A A)_C.

Corolar 5. Pentru orice algebra A, Con (A) este latice algebrica. g

Definitia 6. Pentru o algebra A si a₁, , a_n I A vom nota prin Q (a₁, , a_n) relatia de congruenta de pe A generata de (adica cea mai mica congruenta de pe A, relativ la incluziune, astfel incat a₁, a₂, , a_n sunt in aceeasi clasa de echivalenta).

Congruenta Q (a₁, a₂) se zice congruenta principala.

Pentru o multime Y A prin Q (Y) vom nota congruenta generata de YY.

Exemple.

. Daca G este un grup si a, b, c, d I G, atunci (a, b) I Q (c, d) daca si numai daca ab^-1 este un produs finit de conjugati ai lui cd^-1 si conjugati ai lui dc^-1.

Daca A este un inel unitar si a, b, c, d I A, atunci ( a, b ) I Q ( c, d ) daca si numai daca a-b = r_i (c-d) s_i cu r_i, s_i I A, 1 i n.

Teorema 7. Fie A o algebra a₁, b₁, a_n, b_n IA si q I Con A). Atunci:

i Q (a₁, b₁) = Q (b₁, a₁)

ii) Q ((a₁, b₁), , (a_n, b_n)) = Q (a₁, b₁) Q (a_n, b_n)

iii) Q (a₁, , a_n) = Q (a₁, a₂) Q (a₂, a₃) Q (a_n-1, a_n)

iv) q

v) q

Demonstratie:

i) Cum (b₁, a₁ I Q (a₁, b₁) deducem ca Q (b₁, a₁) Q (a₁, b₁) si analog Q(a₁, b₁) Q(b₁, a₁), de unde egalitatea Q (a₁, b₁) = Q (b₁, a₁)

ii) Pentru 1 i n, (a_i, b_i) I Q ((a₁, b₁), ,(a_n, b_n)) (caci Q ((a₁, b₁), , (a_n,b_n)) este relatia de congruenta de pe A generata de multimea deci Q (a_i, b_i) Q ((a₁, b₁), , (a_n, b_n)), de unde incluziunea Q (a₁, b₁) Q(a_n,b_n) Q ((a₁, b₁), (a_n, b_n)).

Pe de alta parte, pentru 1 i n, (a_i, b_i) I Q (a_i, b_i) Q ((a₁, b₁) Q(a_n, b_n), astfel ca Q ((a₁, b₁) Q (a_n, b_n), deci  Q ((a₁,b), (a_n, b_n)) Q ((a₁, b₁) Q (a_n, b_n), de unde egalitatea ceruta.

iii) Pentru 1 i n-1 , (a_i, a_i+1) I Q (a₁, , a_n), deci Q (a_i a_i+1) Q(a₁,,a_n) astfel ca Q (a₁, a₂) Q (a_n-1, a_n) Q (a₁, , a_n).

Invers, pentru 1 i < j n, (a_i, a_j) I Q (a_i, a_i+1) Q (a_j-1, a_j), adica (a_i,a_j) I Q (a_i , a_i+1) Q (a_j-1, a_j), de unde (a_i, a_j) I Q (a₁, a₂) Q (a_n-1, a_n).

In conformitate cu (i), Q (a₁, , a_n) Q (a₁, a₂) Q (a_n-1, a_n), astfel ca Q (a₁, a_n) = Q(a₁, a₂) Q (a_n-1, a_n).

iv) Pentru (a, b) I q evident (a, b) I Q (a, b) q, astfel ca  q q deci  q

v) Analog ca pentru iv).g

Fie A o algebra de tip t, de univers A si n I N *.

Definitia 8. Polinoamele n - are de tip t se definesc ca functii de la Aⁿ in A astfel:

i)Proiectiile p_i,n : A ⁿ A, p_i,n (a₁, , a_n) = a ( 1 i n ) sunt polinoame n - are.

ii)Daca p₁, , p_n sunt polinoame n - are iar f_i este operatia algebrica n_i - ara, atunci si functia f_i (p₁, , p_n) : Aⁿ A, f_i (p₁, , p_n) (a₁, , a_n) = f_i (p₁ (a₁, , a_n), , p_n(a₁, , a_n)) este polinom n - ar.

iii)Oricare alt polinom n - ar se obtine prin procedeele i) si ii) aplicate de un numar finit de ori.

Daca p : Aⁿ A, (1 k n) este un polinom n - ar iar k variabile ale lui p au fost substituite cu anumite constante din A, obtinem astfel o functie de la A^n-k la A numita functie algebrica.

Exemple

. Daca ( L, ) este o latice, atunci singurul polinom unar a lui L este 1_L

Iata exemple de polinoame binare: p : A² A, p (x, y) = x, q : A² A, q(x, y) = x y.

Daca (A, +, . , 0, 1) este un inel unitar, atunci orice polinom unar este de forma p (x) = n₀ + n₁x + + n_mx^m unde m I N iar n_i este zero sau 1 + + 1 de un numar finit de ori.

. Daca (G, ) este un semigrup, atunci toate polinoamele unare ale lui G sunt de forma p (x) = xⁿ (cu n I N).

Teorema 9. Fie A o algebra de univers A si H A o submultime nevida.

Atunci (c, d) I Q (H) daca si numai daca exista nIN, un sir de elemente  c = z₀, z₁, , z_n = d si perechile de elemente (a_i, b_i) I H H si functiile algebrice unare p_i astfel incat pentru 1 i n.

Demonstratie: Este suficient sa demonstram aceasta teorema doar in cazul H = , iar pentru aceasta sa notam prin r relatia de pe A definite prin conditiile din dreapta ale echivalentei din enunt.

Deoarece polinoamele au proprietatea de substituire, daca r I Con (A) si (a,b) I r, atunci pentru sirul (z₁) _n de elemente din A alese ca in enuntul teoremei avem ca I r, astfel ca (c, d) I r

Astfel, pentru a proba egalitatea Q (a, b) = r (tinand cont de faptul ca Q (a, b) este congruenta generata de (a, b)) este suficient sa probam ca rICon (A) si (a, b)Ir (atunci Q (a, b) r si cum r Q (a, b) vom avea egalitatea ceruta).

Faptul ca (a, b) I r este banal (putem alege sirul a, b si functia unara p (x)=x, x I A) ca si acela ca r I Echiv (A).

Ramane sa mai aratam ca r are proprietatea de substituire.

Fie deci f_i operatia n_i - ara si (a₀, b₀), ,(a_n, b_n) I r ( 1 i t

Conform definitiei lui r avem sirurile:

a₀ = z, , z= b

a = z, , z= b de elemente din A si

p, , p

p, , p de functii algebrice unare de pe A ce verifica conditiile impuse de definirea lui r

Vom proba prin inductie dupa i ca:

(f_i (a₀, , a_n-1), f_i (b₀, , b_n-1)) I r

Acest lucru este evident pentru i = 0; sa presupunem ca el este adevarat pentru i < n_i.

Deoarece (a_i, b_i) I r, exista sirurile a₁ = z₀, , z_m = b₁ de elemente din A si p₀, , p_m-1 de polinoame unare de pe A astfel incat j m-1.

Considerand acum sirurile :

t₀ = f_i (b₀, , b_i-1, z₀, a_i+1, , a_n-1)

t₁ = f_i (b₀, , b_i-1, z₁, a_i+1, ,a_n-1)

t_m = f_i (b_o, , b_i-1, z_m, a_i+1, , a_n-1) de elemente din A si

q₀ = f_i (b₀, , b_i-1, p₀, a_i+1, , a_n

q₁ = f_i (b₀, , b_i-1, p₁, a_i+1, , a_n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

q_m-1 = f_i (b₀, , b_i-1, p_m-1, a_i+1, , a_n-1) de functii algebrice unare ale lui A, rezulta imediat (tinand cont de ipoteza de inductie) ca:

(f_i (b₀, , b_i-1, a_i, a_i+1, , a_n-1), f_i (b₀, , b_i-1, b_i, a_i+1, , a_n-1)) I r si prin tranzitivitatea lui r ca

(f_i(a₀, , a_n-1), f_i (b₀, .. ,b_n-1)) I r, astfel ca r I Con (A) si totul este probat.g

Corolar 10. (c, d) I Q (a, b) daca si numai daca nIN*, un sir de elemente c = z₀, , z_n = b ale lui A si un sir de functii algebrice unare p₀, p₁, ,p_n-1 astfel incat pentru 0 i n-1.

Exemple

. Daca (G, ) este un grup si a, b, c, d I G, atunci (c, d) I Q (a, b) daca si numai daca exista un polinom unar p de pe G astfel incat p (a) = c si p (b) = d.

Daca A este un inel, cum o congruenta de pe A este si congruenta pe grupul aditiv (A, +), deducem ca pentru Q (a, b) pe inelul A avem aceeasi caracterizare ca in cazul grupurilor.

Definitia 11. O algebra A se zice congruent - modulara distributiva) daca (Con (A), ) este latice modulara (distributiva).

Vom spune despre A ca este congruent - permutabila daca oricare doua congruente ale lui A comuta.

Lema 1 Pentru o algebra A si q q I Con (A), urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

i) q q q′ q

ii) q q q q

iii) q q q′ q

Teorema 13. (Birkoff). Daca A este o algebra congruent - permutabila, atunci A este congruent - modulara.

Demonstratie: Fie q q q I Con (A) cu q q Pentru a demonstra legea de modularitate este suficient sa probam incluziunea q q q q q q iar pentru aceasta fie (a, b) I q q q Conform lemei anterioare, q q q q deci exista c I A astfel incat (a, c) I q si (c, b) I q Atunci (c, a) I q q deci (c, a) I q si cum (a, b) I q deducem ca (c, b) I q adica (c, b) I q q

Din (a, c) I q si (c, b) I q q deducem ca (a, b) I q q q deci (a, b) I q q q de unde rezulta egalitatea din legea de modularitate.g

Fie A o algebra de tip t si q I Con (A).

Atunci A q devine algebra de tip t definim operatia n_i - ara de pe A q prin:

f^q_i : (A q ⁿ A q

f^q_i (a₁ q a_n q (f_i (a₁, , a_n)) q ( unde f_i este operatia algebrica n_i-ara a lui f, 1 i t)).

Corectitudinea definirii lui f^q_i ne este asigurata de faptul ca q I Con (A).

Aplicatia p_q : A A q p_q (a) = a q (a I A) este morfism surjectiv.

Vom prezenta cateva teoreme cunoscute in Algebra Universala sub numele de "teoremele de izomorfism " (folosim conventia ca atunci cand spunem ca o aplicatie  f : A B este morfism de algebre vom subintelege ca A si B sunt algebre de acelasi tip t iar f este morfism de algebre de tip t

Vom nota pentru f I Hom (A, B) prin Im (f) imaginea lui A prin f, adica Im(f)= B.

Teorema 14. (Prima teorema de izomorfism). Fie A, B algebre si fIHom(A, B). Atunci A Ker (f) Im (f).

Demonstratie: Fie q Ker (f) I Con (A) si j : A Ker (f) Im (f), j (a q)= = f (a). Sa aratam ca j este izomorfismul cautat.

Intr-adevar, pentru a, b I A din echivalentele a q=b q (a, b)Iq f(a)=f(b) deducem ca j este corect definita si ca functia este bijectie. Cum bijectivitatea lui j este imediata mai avem de probat faptul ca j este morfism. Pentru aceasta fie f_i o operatie algebrica n_i-ara de pe A (1 i t t fiind tipul lui A si B) si a₁, , a_nIA.

Atunci f^q_i j (a₁), , j (a_n)) = f^q_i (a₁ q, ., a_n q) = (f_i (a₁, ., a_n)) q = =j(f^q_i (a₁, ., a_n)), adica j este morfism.g

Corolar 15. Daca f : A B este morfism surjectiv de algebre, atunci  A Ker (f) B.

Fie A o algebra si f q I Con (A) cu q f

Daca notam f q I (A q (a, b) I f , se probeaza imediat ca f q I Con (A q

Teorema 16. (A doua teorema de izomorfism)

Daca f q I Con (A) si q f atunci (A q f q A f

Demonstratie: Definim j : A f A q prin j (a q) = a f (a I A).

Daca a, b I A si a f = b f, atunci (a, b) I q f, adica a f = b f, deci j este corect definita.

Daca f_i este o operatie n_i - ara de pe A si a₁, , a_n I A (1 i t)), atunci j(f^q_i (a₁ q), , (a_n q j ((f_I (a₁, .., a_n)) q) = (f_i (a₁,., a_n)) f = (f^f_i (a₁ f), ., (a_n f)) = f^f_i j (a₁ q j (a_n q)), adica j este morfism (evident, surjectiv). Cum pentru a, b I A avem (a q b q I Ker (j j (a q j (b q a f = b j (a, b) I f (a q b q I f q deducem ca Ker (j f q si totul rezulta acum din corolarul anterior. g

Fie acum A o algebra, B A si q I Con (A).

Notam prin B^q subalgebra lui A generata de iar prin q _B q B (daca B A atunci q _B I Con (B)).

Teorema 17. (A treia teorema de izomorfism)

Daca B A si q I Con (A), atunci B q _B B^q q _B^q

Demonstratie: Se probeaza imediat ca izomorfismul cautat este aplicatia

j : B q _B B^q q _B^q j (b q _B = b q _B^q pentru orice b I B.g

Teorema 18. (Teorema de corespondenta)

Fie A o algebra si q I Con (A).

Atunci Con (A) q _A] (ca latici).

Demonstratie: Vom proba ca a q _A Con (A q a f f q f I q _A]) este izomorfism de latici. Daca f I q _A f ψ atunci putem spune ca exista a, b I A astfel incat (a, b) I f ψ (diferenta de multimi!). Atunci (a q, b q I f q q , adica a f a deci a este injectie.

Pentru ψ I Con (A q) daca vom considera f = Ker (p_Y p_q ICon (A q , atunci (a q, b q I f q (a, b ) I f q, b q I f q ψ, adica a este si surjectie. Cum faptul ca a este morfism de latici, deducem ca a este izomorfism de latici.g

Observatie: Considerand cazul grupurilor sau inelelor, obtinem cunoscutele teoreme de izomorfism din algebra pentru grupuri si inele.

Definitia 19. Fie K o clasa de algebre de acelasi tip. Vom spune despre K ca are proprietatea de extindere a congruentei daca pentru orice A I K, orice B A si q I Con (B) exista f I Con (A) astfel incat f B q

Observatie: O clasa ecuationala K are proprietatea de extindere a congruentei daca si numai daca pentru orice morfism injectiv f : A B si g : A C morfism surjectiv exista morfismul surjectiv h : B D si morfismul injectiv k : C D astfel incat h f = k g: