Modelul ondulatoriu al atomului. Ecuatia lui Schrodinger.

Modelul ondulatoriu al atomului. Ecuatia lui Schrodinger.

Pornind de la conceptul ondulatoriu al electronului, Schrodinger (1926) a propus ca starea elec­tronului (avand cunoscute expresiile energiei totale E si a energie potentiale V) intr-un atom, sa fie descrisa de o functie de unda ψ, dependenta de coordonatele carteziene ale acestuia, care satis­face ecuatia atemporala:

(E-V)8π²m/h² = 0

unde: E-energia totala a electronului

V-energia potentiala a electronului

m-masa electronului

h-constanta lui Planck

Δ² - operatorul laplacian

Ecuatia mai poarta numele de "ecuatia de unda", iar prin intermediul functiei de unda ψ, ea leaga coordonatele in spatiu ale electronului de energia acestuia in atom. Aceasta ecuatie mai poate fi formulata si in coordonate polare (r,θ,φ) sau sub forma operatoriala (H ψ=E ψ, caz in care H este operatorul hamiltonian). Ecuatia lui Schrodinger ( o ecuatie diferentiala ) poate fi rezolvata doar pentru anumite valori discrete ale energiei (E_i), numite valori proprii. Solutiile care se obtin ψ_i, se numesc functii proprii (functii care pot fi reale sau complexe). Semnificatia fizica a functiei de unda rezulta prin analogia cu unda electromagnetica. Se cunoaste ca intensitatea undelor luminoase este data de patra­tul amplitudinii undei, a carei functie de unda se obtine prin rezolvarea unei ecuatii asema­na­toare ecu­atiei de unda a lui Schrodinger. Daca consideram lumina sub aspectul ei corpuscular atunci intensitatea luminii este data de densitatea fotonilor. Deci, patratul functiei de unda masoara densitatea fotonilor intr-un anumit punct din spatiu. Prin analogie, patratul functiei de unda (oricare din solutiile ψ_i ale ecu­atiei lui Schrodinger) ψ_i² masoara densitatea de electroni din jurul nucleului. Deoarece Heisenberg a aratat limitele cuantice ale determinarii exacte a pozitiei si impulsului la scara subatomica, densitatea electronilor este redata mai corect prin probabilitatea P de a se afla intr-un anumit element de volum dV (in jurul punctului de coordonate x,y,z). In interpretarea lui Born marimea

ψi ψi*dV = ‌ ‌_│ψ_{i │}² dV = dP

exprima probabilitatea (dP) ca particula careia i s-a atasat functia de unda ψ_i (x,y,z,) - solutie a ecuatiei lui Schrodinger - sa se gaseasca in elementul de volum dV= dxdydz din jurul punctului de coordonate x,y,z. Oricare din functiile proprii trebuie sa satisfaca conditia de normare adica:

∫ψi ψi*dV = ‌∫ ‌_│ψ_{i │}² dV = 1

Pe de alta parte se observa ca marimea dP/dV = _│ψ_{i │}² , adica patratul functiei de unda, exprima densitatea de probabilitate a existentei electronului in jurul nucleului. Daca se inmulteste densitatea de probabilitate cu sarcina electronului, se obtine densitatea de sarcina. Aplicand conditia de nor­ma­re densitatii de sarcina aceasta va trebui sa fie egala cu sarcina electronului. Mecanica cuantica sub­stituie astfel notiunile de pozitie precisa si traiectorie cu notiunile de probabilitate si densitate de sar­cina. Din pacate ecuatia lui Schrodinger poate fi rezolvata doar pentru atomul de hidrogen sau pen­tru cationi de tip hidrogenoid (He⁺, Li²⁺). Exista certitudini sustinute de rezultatele obtinute in cal­culele pe speciile hidrogenoide, ca solutiile obtinute (functiile de unda orbitalice) pot fi extra­po­la­te si atomilor cu mai multi electroni, orbitalii acestora fiind similari cu cei ai atomului de hidrogen.