Ecuatii de tip Riccati

Ecuatii de tip Riccati [1]

Au forma generala

, (5.1)

unde sunt functii continue pe , care verifica conditiile , , fiind un interval al axei reale.

Acest tip de ecuatii nu poate fi rezolvat prin cuadraturi (adica, solutiile lor nu pot fi exprimate cu ajutorul primitivelor de functii continue; de exemplu, ecuatia Riccati , nu este integrabila prin cuadraturi[2]), insa pot fi puse in evidenta cateva proprietati remarcabile ale acestor ecuatii, care in unele situatii pot conduce la obtinerea solutiei prin cuadraturi.

i). Ecuatiile de tip Riccati nu au solutii singulare; toate solutiile ecuatiilor Riccati sunt solutii particulare.

ii). Daca se cunoaste o solutie particulara a ecuatiei Riccati, atunci este posibila integrarea prin cuadraturi.

Intr-adevar, fie o solutie particulara cunoscuta a ecuatiei Riccati si functia o alta solutie a acestei ecuatii, atunci functia verifica o ecuatie de tip Bernoulli cu . Avem

Deci verifica ecuatia de tip Bernoulli

. (5.2)

Aplicand algoritmul de rezolvare a ecuatiei de tip Bernoulli, deducem ca functia poate fi determinata cu ajutorul ecuatiei lineare si neomogene asociate pe care o verifica functia si deci, solutia a ecuatiei Riccati, inca necunoscuta, se poate determina.

Prin urmare, daca se face schimbarea de functie , se obtine o ecuatie lineara in . Asadar, daca se cunoaste o solutie particulara a ecuatiei de tip Riccati (5.1), toate celelalte solutii pot fi determinate prin cuadraturi. S-a stabilit urmatorul rezultat: functia este solutie a ecuatiei de Riccati (5.1) daca si numai daca functia este solutie a ecuatiei de tip Bernoulli (5.2).

In general, nu se cunoaste o metoda pentru determinarea unei solutii particulare a ecuatiei Riccati. Cand coeficientii ecuatiei au forme particulare, putem incerca sa gasim solutii particulare de forme apropiate; de exemplu, daca coeficientii ecuatiei sunt polinoame, cautam solutia sub forma de putere, un polinom sau o fractie. Solutiile particulare pot fi obtinute, de exemplu, cu metoda seriilor Taylor (vezi Kamke).

iii). Daca pentru ecuatia Riccati (5.1) cunoastem doua solutii particulare si , atunci pentru ecuatia Bernoulli asociata cunoastem solutia particulara . Deci, se cunoaste o solutie particulara a ecuatiei lineare asociate ecuatiei Bernoulli ( si cu schimbarea de functie ) si atunci, printr-o cuadratura se determina toate solutiile ecuatiei lineare (se rezolva ecuatia lineara omogena asociata).

Asadar, daca si sunt solutii particulare pentru ecuatia Riccati (5.1), atunci cu schimbarea de functie

, (5.3)

deducem ca functia este solutie a ecuatiei cu variabile separabile

(5.4)

iv). Daca in ecuatia Riccati (5.1) facem o transformare omografica

, cu , (5.5)

atunci functia , definita de (5.5), verifica tot o ecuatie de tip Riccati.

Intr-adevar, se stie ca solutiile ecuatiilor diferentiale lineare au forma , unde este o constanta, este o solutie a ecuatiei omogene asociate si este o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Deci, solutiile ecuatiei Bernoulli in , corespunzatoare, au forma , si atunci solutiile ecuatiei Riccati au forma

, (5.6)

unde este o solutie particulara a ecuatiei Riccati. Relatia (5.6) poate fi scrisa sub forma

. (5.7)

Relatia (5.7) arata ca solutia generala a ecuatiei Riccati (5.1) este o functie omografica de constanta de integrare.

v) Daca se cunosc trei solutii particulare diferite, definite pe acelasi interval I, ale ecuatiei Riccati, atunci din proprietatea iv) rezulta ca raportul anarmonic al acestor solutii este invariant si atunci fie cea de a patra solutie. Daca scriem ca raportul anarmonic al solutiilor este constant, avem

, constanta. (5.8)

Atunci din relatia (5.8) deducem expresia solutiei generale a ecuatiei Riccati.

Observatie. Inainte de a fi utilizate in calcule vom avea grija sa verificam ca sunt solutii particulareale ecuatiei Riccati.

Exercitii

) Determinati solutiile urmatoarelor ecuatii Riccati daca se cunoaste o solutie particulara:

i .

ii .

iii) ; Se va cauta o solutie particulara de forma (dupa determinarea constantelor a si b avem ).

iv) .

. Determinati solutiile ecuatiilor Riccati, daca se cunosc doua solutii particulare:

i) ; Se cauta o solutie particulara de forma , . (Prin inlocuirea in ecuatia data avem de unde obtinem ecuatia, cu radacinile sau . Luand oricare din aceste valori obtinem o solutie particulara). Asadar, avem doua solutii particulare si respectiv .

Ecuatia are forma ; unde , sunt solutii particulare.

Daca punem si deducem ca z verifica ecuatia cu variabile separabile , . Atunci

; T solutia este .

. Determinati solutia ecuatiei daca se cunosc trei solutii particulare: .