Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Legi de compozitie

Legi de compozitie



Legi de compozitie

1.1. Lege de compozitie

Definitia produsului cartezian :

Fie o multime nevida ;




- Prin produsul cartezian intelegem multimea tuturor perechilor de elemente

unde : prima componenta este iar cea de-a doua este , cand , adica :

Definitia legii de compozitie :

Fie o multime nevida ;

- Se numeste operatie algebrica binara sau lege de compozitie interna sau simplu lege

de compozitie definita pe o aplicatie :

,

care asociaza fiecarei perechi unicul element .

- Elementul se numeste compusul lui cu .

Observatii :

La orice pereche (cuplu) = , aceasta operatie face sa corespunda in

mod unic elementul din aceeasi multime .

Uneori in loc de se poate scrie : .

Pentru elementul , numit compusul lui , se

pot folosi diferite notatii :

, , , , , , , , , etc.

Se intelege ca in majoritatea cazurilor aceste denumiri sunt conventionale .

In general pe se pot defini mai multe operatii diferite .

Cand dorim sa punem in evidenta una dintre ele vom utiliza parantezele :

si vom spune ca operatia confera multimii o structura algebrica sau ca

este un sistem algebric .

Definitia legii de compozitie ADITIVA :

- Aplicatia : , cu :

desemneaza o lege de compozitie aditiva .

Definitia legii de compozitie MULTIPLICATIVA :

- Aplicatia : , cu :

desemneaza o lege de compozitie multiplicativa .

Concluzie :

- Fie o multime nevida ;

- Numim lege de compozitie interna ( operatie algebrica ) pe multimea orice functie

definita pe cu valori in :

,

care asociaza fiecarui cuplu un unic element .

- Elementul se citeste : ( sau ) in aceasta

ordine .

Important :

Fie o multime nevida si legea ;

- Cuplul este un sistem algebric sau vom spune ca operatia confera multimii o structura algebrica

daca si numai daca

pentru aplicatia : ,

avem :

, .

1.2. PARTE STABILA

Introducere :

- Fie o structura algebrica ;

- Si o submultime nevida a lui , ;

- Este posibil ca pentru elementul sa fie :

In multimea , adica ;

Sau sa fie in afara ei , adica .

Definitie parte stabila :

- Pentru orice , compusul apartine tot lui , adica , atunci putem spune ca este parte stabila a lui in raport cu operatia .

Concluzie :

- Daca este o parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie

atunci pe putem defini legea de compzitie :

punand :

, .

- Vom spune ca este legea de compozitie pe de catre .

1.3. Tabla unei legi de compozitie

P           - Fie o multime finita , ;

P           - O lege de compozitie pe , , poate fi data prin ceea ce este

cunoscut sub numele de tabla operatiei , care consta dintr-un tabel cu linii si coloane

afectate celor elemente ale lui .

P           - Tabla legii de compozitie contine la intersectia liniei lui cu coloana elementul .

Observatii :

Din tabla unei operatii pe o multime finita putem deduce urmatoarele proprietati :

1). Daca multimea este parte stabila in raport cu legea este o lege de compozitie pe

( constatand ca toate rezultatele compunerilor sunt din ) .

2). - comutativitatea ;

- elementul neutru , (daca exista ) ;

- simetricul fiecarui element , (daca are ) .



Exercitii

Exercitiul nr. 1 : ( Schneider )

Sa se arate in fiecare din urmatoarele cazuri ca multimea este parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie specificata :

1). , , ;

2). , , ;

3). , , ;

4). , , ;

5). , , ;

6). , , ;

7). , , ;

8). , , ;

9). , , ;

10). , , ;

11). , , ;

12). , , inmultirea matricilor ;

13). , , adunarea matricilor ;

14). , , inmultirea numerelor reale .

Exercitiul nr. 2 : ( Mircea Ganga )

Sa se arate ca : este parte stabila a lui ia raport cu operatia de inmultire .

Exercitiul nr. 3 : (Mircea Ganga )

Pe se considera legea de compozitie : .

Sa se arate ca este parte stabila a lui in raport cu legea .

Exercitiul nr. 4 : (Mircea Ganga )

Pe se considera legea .

Sa se arata ca este parte stabila a lui in raport cu legea .

Exercitiul nr. 5 : (Mircea Ganga )

Pe consideram legea de compozitie : . Aratati ca este o parte stabila a lui ia raport cu legea .

Exercitiul nr. 6 : (Mircea Ganga )

Fie . Aratati ca este parte stabila a lui in raport cu operatia de inmultire .

Exercitiul nr. 7 : (Mircea Ganga )

Fie . Sa se arate ca este parte stabila a lui in raport cu operatia de inmultire .

Exercitiul nr. 8 : (Mircea Ganga )

Fie . Aratati ca este parte stabila a lui in raport cu operatia de inmultire a matricilor .

Exercitiul nr. 9 : (Mircea Ganga )

Fie . Aratati ca este parte stabila a lui in raport inmultirea matricilor .

Exercitiul nr. 10 : (Mircea Ganga )

Pe se defineste legea de compozitie prin . Sa se determine astfel incat multimea sa fie parte stabila a lui in raport cu legea .

Exercitiul nr. 11 : (Teste grila admitere Poli )

Multimea valorilor lui , pentru care intervalul este parte stabila in raport cu operatia .

1.4. Proprietati ale legilor de compozitie

1.4.1. 1 . ASOCIATIVITATE

P           Vom considera structura algebrica

Adica o multime nevida echipata cu o lege de compozitie :

, .

Definitie ASOCIATIVITATII :

- O lege de compozitie , se numeste asociativa daca :

,

Observatii Asociativitate :

1). Daca legea este asociativa , atunci se omit in scriere parantezele si se scrie simplu

2). Vom da acelasi nume structurii algebrice definita prin legea , adica vom

spune ca este o structura algebrica asociativa , sau spunem simplu ca legea este asociativa pe

3). Daca este o parte stabila a lui in raport cu legea si daca este

asociativa pe , atunci legea ramane asociativa si pe . Altfel spus devine o

structura algebrica asociativa .

4). O lege nu este asociativa daca exista pentru care :

Exercitii

Exercitiul nr. 1 : ( Schneider )

Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie sunt asociative :

1). pe ;

2). pe ;

3). pe ;

4). pe ;

5). pe ;

6). Inmultirea matricilor pe ;

7). pe ;

8). pe .

Exercitiul nr. 2 : ( Schneider )

Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie nu sunt asociative :

1). pe ;

2). pe ;

3). pe ;

4). pe .

Exercitiul nr. 3 : ( Ganga )

Stabiliti care din urmatoarele aplicatii sunt algebrice asociative pe submultimea :

2).

3). 4).

5). 6).

7). 8). .

Exercitiul nr. 4 : ( Ganga )

Pe se definesc urmatoarele legi de compozitie :

1). 2).

3). 4).

5). 6).

Care din aceste legi este asociativa ?

Exercitiul nr. 5 : ( Ganga )

Fie .

Aratati ca :

1). este parte stabile a lui in raport cu inmultirea matricilor .

2). este structura algebrica asociativa .

Exercitiul nr. 6 : ( Ganga )

Pe se considera legea de compozitie : , . Sa se determine

astfel incat legea sa fie asociativa .

Exercitiul nr. 7 : ( Ganga )

Pe se considera legea de compozitie : , . Determinati astfel incat legea sa fie asociativa .

Exercitiul nr. 8 : ( Ganga )

Pe definim legile de compozitie :

, ,

Determinati astfel incat operatiile sa fie asociative .

1.4.2. 2 . COMUTATIVITATE

P           Vom considera structura algebrica

adica o multime nevida echipata cu o lege de compozitie :

, .

Definitie COMUTATIVITATE :

- O lege de compozitie , se numeste comutativa daca :

,

Observatii Comutativitate :

1). Daca pentru structura algebrica definita prin avem ca este

comutativa , atunci structura algebrica este comutativa sau simplu spunem ca este

comutativa pe .

2). Daca este o parte stabila a lui in raport cu legea si daca este

comutativa pe , atunci legea ramane comutatuva si pe . Altfel spus

devine o structura algebrica comutativa .

4). O lege nu este comutativa daca exista astfel incat :

Exercitii

Exercitiul nr. 1 : ( Schneider )

Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie sunt comutative :

1). pe ;

2). pe ;

3). pe ;

4). pe .

Exercitiul nr. 2 : ( Schneider )

Sa se arate ca urmatoarele legi de compozitie nu sunt comutative :

1). Inmultirea matricilor pe multimea :

;

2). Inmultirea matricilor pe multimea :

;

3). pe ;

4). pe .



Exercitiul nr. 3 : ( Ganga )

Fie si pe legea de compozitie :

Aratati ca este structura necomutativa .

Exercitiul nr. 4 : ( Ganga )

Pe se considera legea de compozitie : . Fie . Aratati ca este o structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 5 : ( Ganga )

Fie . Aratati ca este structura algebrica comutativa , unde este inmultirea obisnuita a matricilor .

Exercitiul nr. 6 : ( Ganga )

Fie si aplicatia . Sa se arate ca este o

structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 7 : ( Ganga )

Pe se defineste legea de compozitie : . Aratati ca este o lege necomutativa .

Exercitiul nr. 8 : ( Ganga )

Pe multimea se considera aplicatia : . Aratati ca este structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 9 : ( Ganga )

Pe multimea se considera aplicatia : . Demonstrati ca este structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 10 : ( Ganga )

Se considera . Demonstrati ca structura algebrica este structura algebrica comutativa , unde este inmultirea obisnuita a matricilor .

Exercitiul nr. 11 : ( Ganga )

Fie . Aratati ca este structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 12 : ( Ganga )

Se considera si aplicatia . Sa se arate ca este o

structura algebrica comutativa .

Exercitiul nr. 13 : ( Ganga )

Pe se defineste legea de compozitie definita prin : , .

Determinati pentru care legea este asociativa si comutativa .

1.4.3. 3 . ELEMENT NEUTRU

P           Vom considera structura algebrica

adica o multime nevida echipata cu o lege de compozitie :

, .

Definitie ELEMENT NEUTRU :

Un element se numeste element neutru pentru o lege de compozitie

, daca :

,

Teorema :

- Daca o lege de compozitie admite element neutru , atunci acesta este unic .

Observatii Element neutru :

1). Daca este o parte stabila a lui in raport cu legea si daca este

element neutru pentru legea , atunci daca . acesta ete element neutru al legii

induse de pe multimea .

Definitie ELEMENT NEUTRU la stanga :

Un element se numeste element neutru la stanga pentru o lege de compozitie :

, , daca :

, .

Definitie ELEMENT NEUTRU la dreapta :

Un element se numeste element neutru la dreapta pentru o lege de compozitie :

, , daca :

,

Important :

- Daca un element este element neutru pentru legea daca si numai daca

este element neutru atat la stanga cat si la dreapta .

Exercitii

*          Exercitiul nr. 1 : ( Ganga )

Pe multimea definim aplicatia : .

Sa se arate ca este o lege de compozitie pe . cu element neutru .

*          Exercitiul nr. 2 : ( Ganga )

Pe multimea se considera aplicatia : . Aratati ca este o structura algebrica fara element neutru .

*          Exercitiul nr. 3 : ( Ganga )

Pe multimea definim aplicatia : .

Aratati ca este o structura algebrica avand elementul neutru .

*          Exercitiul nr. 4 : ( Ganga )

Fie o submultime a lui . Definim pe legea de compozitie :

Aratati ca este o structura algebrica cu elementul neutru .

*          Exercitiul nr. 5 : ( Schneider )

Sa se calculeze elementul neutru fata de legea :

a). pe ;

b). pe ;

c). pe ;

d). pe

e). pe .

*          Exercitiul nr. 6 : ( Schneider )

Sa se arate ca nu exista element neutru fata de legea :

a). pe ;

b). pe .

1.4.4. 4 . ELEMENT SIMETRIZABIL

P           Vom considera structura algebrica

adica o multime nevida echipata cu o lege de compozitie :

, .

P           Vom presupune in plus ca aceasta lege de compozitie este asociativa si ca admite element neutru , fie acesta .

Definitie ELEMENT SIMETRIZABIL :

Un element se numeste simetrizabil in raport cu o lege de compozitie

, , asociativa si cu element neutru , daca exista un element :

astfel incat ,

Observatii Element Simetrizabil :

1). Daca este simetrizabil , atunci unicul element cu proprietatea :

se numeste simetricul lui ( in raport cu operatia ) .

2). Facem precizarea si in acest caz ca simetricul lui , elementul trebuie sa

apartina multimii .

Definitie ELEMENT SIMETRIC la stanga :

- Fie o operatie algebrica avand element neutru la stanga si .

Spunem ca este un simetric al lui la stanga in raport cu legea daca :

Se mai spune ca este simetrizabil la stanga in raport cu daca exista

pentru care :

.

Definitie ELEMENT SIMETRIC la dreapta :

- Fie o operatie algebrica avand element neutru la stanga si .

Spunem ca este un simetric al lui la dreapta in raport cu legea daca :

- Se mai spune ca este simetrizabil la dreapta in raport cu daca exista pentru care :

.

TEOREMA :

- Fie o operatie algebrica asociativa si cu element neutru . Daca are un element simetric , atunci acesta este unic .

TEOREMA :

- Fie o operatie algebrica asociativa si cu element neutru . Atunci :

1). Daca elementele sunt simetrizabile , atunci compusul lui cu este simetrizabil si mai mult :

2). Daca elemntul este simetrizabil , simetricul sau , , este de asemenea



simetrizabil si :

3). Daca este simetrizabil , iar nu este simetrizabil , atunci :

nu sunt simetrizabile .

Exercitii

*          Exercitiul nr. 1 : ( Schneider )

Sa se studieze simetrizabilitatea elementelor urmatoarelor multimi in raport cu legile de compozitie specificate :

a). ; ;

b). ; ;

c). ; ;

d). ; ;

e). ; ;

f). ; ;

g). ; .

*          Exercitiul nr. 2 : ( Ganga )

Pe multimea definim aplicatia : .

Sa se arate ca este o lege de compozitie pe . cu element neutru . Determinati

elementele simetrizabile din in raport cu legea .

*          Exercitiul nr. 3 : ( Ganga )

Pe multimea definim aplicatia : .

Aratati ca este o structura algebrica avand elementul neutru . Determinati

elementele simetrizabile din in raport cu legea .

1.5. Proprietati ale 
Adunarii si Inmultirii modulo n

P           Fie un numar intreg ;

P           Daca am definit :

Definitie Suma modulo n :

- Definim suma modulo a lui cu , notata cu : ca fiind restul impartirii prin al numarului :

Definitie Produsul modulo n :

- Definim produsul modulo a lui cu , notata cu : ca fiind restul impartirii prin al numarului :

P           S-au obtinut astfel doua legi de compozitie pe :

1). ,

si

2). ,

numite adunarea modulo , respectiv inmultirea modulo .

Observatii :

1). Vom nota cu multimea claselor modulo :

Exemplu : sau etc.

Lema :

- Fie ;

- Atunci oricare ar fi avem : 1).

si

2). .

TEOREMA :

Operatiile de adunare si inmultire modulo au proprietatile :

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5).

oricare ar fi .

Observatii :

Operatia are prioritate fata de si de aceea intr-o expresie ca :

parantezele pot fi omise , scriind simplu :

Exercitii recapitulative

*          Exercitiul nr. 1 : ( Manual )

Sa se alcatuiasca tablele operatiilor induse pe , , , , , de adunarea si inmultirea modulo .

*          Exercitiul nr. 2 : ( Manual )

Pe definim legea de compozitie , , unde :

. Aratati ca aceasta lege de compozitie este asociativa , comutativa si cu element neutru . Intervalul este parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie ?

*          Exercitiul nr. 3 : ( Manual )

Pe definim legea de compozitie . Fie . Aratati ca este o structura algebrica comutativa , cu element neutru si ca orice element din este simetrizabil in raport cu legea .

*          Exercitiul nr. 4 : ( Manual )

Fie si aplicatia : . Aratati ca este o structura algebrica asociativa , comutativa , cu element neutru si orice element din este simetrizabil in raport cu .

*          Exercitiul nr. 5 : ( Manual )

Se considera si aplicatia : . Aratati ca este o

structura algebrica asociativa , comutativa , cu element neutru si ca orice element din

este simetrizabil in raport cu legea data .

*          Exercitiul nr. 6 : ( Manual )

Fie si aplicatia : . Aratati ca este o

structura algebrica asociativa , comutativa , cu element neutru si ca orice element din

este simetrizabil in raport cu legea data .

*          Exercitiul nr. 7 : ( Manual )

Gasiti toate solutiile din ale sistemului de ecuatii liniare :

.

*          Exercitiul nr. 8 : ( Manual )

Pe definim legea de compozitie , , unde :

. Aratati ca aceasta lege de compozitie este asociativa , comutativa si cu element neutru . Sa se determine elementele simetrizabile .

*          Exercitiul nr. 9 : ( Nastasescu )

Pe multimea a numerelor reale definim legea de compozitie astfel :

, oricare ar fi . Sa se arate ca aceasta lege de compozitie este asociativa , comutativa si cu element neutru . Sa se determine elementele simetrizabile .

*          Exercitiul nr. 10 : ( Gil )

Fie si legea definita pe prin : , , . Atunci este lege de compozitie pe daca si numai daca

*          Exercitiul nr. 11 : ( Gil )

Legea de compozitie , , . Atunci este lege de compozitie comutativa daca si numai daca

*          Exercitiul nr. 12 : ( Gil )

Legea de compozitie , , . Atunci este lege de compozitie asociativa daca si numai daca

*          Exercitiul nr. 13 : ( Gil )

Elementul neutru al legii de compozitie , este ?

*          Exercitiul nr. 14 : ( Gil )

Fie si legea definita pe prin :

, .

Aratati ca este o lege de compozitie pe .

*          Exercitiul nr. 15 : ( Gil )

Fie si , . Aratati ca este lege de compozitie pe .

*          Exercitiul nr. 16 : ( Gil )

Sa se arate ca legea de compozitie : , .

a). Nu este comutativa ;

b). Nu este asociativa .

*          Exercitiul nr. 17 : ( Gil )

Sa se arate ca legea de compozitie : , nu admite element neutru .

*          Exercitiul nr. 18 : ( Gil )

Sa se determine elementele simetrizabile din multimea in raport cu legea :

,

*          Exercitiul nr. 19 : ( Gil )

Fie . Pe definim legea de compozitie astfel :

Sa se determine astfel incat aceasta lege de compozitie sa fie asociativa si comutativa .

*          Exercitiul nr. 20 : ( Gil )

Se considera multimea numerelor reale pe care se defineste legea de compozitie :

,

a). Sa se arate ca legea este asociativa si comutativa .

b). Sa se determine elementul neutru al legii .

c). Sa se arate ca : , .

d). Sa se arate ca multimea este parte stabila in raport cu legea .








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




Binomul lui Newton. Puterea unui polinom
Spatii vectoriale
Valori medii ale unor functii de variabila aleatoare
Ecuatii diferentiale de ordinal intai
APLICATII DIN GEOMETRIA PONDERILOR COMPLEXE
Teoremele sumei si consecintele lor
Valoarea medie a produsului
Definitia geometrica si cea axiomatica




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu