Calculul frecventelor proprii de torsiune

Calculul frecventelor proprii de torsiune.

Ipoteze de calcul.

- paleta este incastrata la un capat si libera la celalalt capat,

- aria sectiunii aerofoliei este constanta,

- masa este uniform distribuita,

- paleta nu este in miscare de rotatie,

- temperatura paletei este constanta,

- profilul aerofoliei se deformeaza periodic cu unghiul α, (fig. 95),

- se admite ca deformatia de torsiune la vibratie se face conform legii:

(1)

in care,

- valoarea maxima a deformatiei ughiulare cand timpul t = 0,

p_r - pulsatia de torsiune.

Ecuatia de echilibru intre actiunea excitatoare si reactiunea aerofoliei este,

sau,

(2)

Fig. 105 - Schema de calcul.

Daca se noteaza,

(3)

Se obtine ecuatia,

(4)

Notatiile folosite au fost,

G - modulul de elasticitate la rasucire,

E - modulul de elasticitate al materialului paletei,

- coeficientul Poisson,

J_k - momentul de inertie la torsiunne,

G∙J_k - rigiditatea la torsiune,

ρ - densitatea materialului,

J_p - momentul de inertie polar,

dx - elementul de lungime al aerofoliei,

φ - unghiul de torsiune,

t - timpul,

L - lungimea aerofoliei.

Solutia ecuatiei (4) este de forma:

(5)

Din conditiile de la capetele aerofoliei rezulta,

- la incastrare,

: deci

- la varful paletei,

x = L, momentul de torsiune

derivand (5)

in care,

K_r ≠ 0 ; C_1r ≠ 0; deci trebuie respectata conditia,

cos (K_r∙L) = 0 (6)

Pentru armonicile 'i', radacinile conditiei (6) sunt:

i = l,

i = 2,

i = 3,

i = n,

Pulsatiile de torsiune rezulta din (3)

(7)

Imultind si impartind cu lungimea L a aerofoliei, se obtine,

(8)

Pentru o armonica oarecare n, rezulta,

(9)

Frecventa vibratiei de torsiune a aerofoliei rezultand din,

(10)

Pentru palete se pot folosi relatiile aproximative de calcul ale momentelor de inertie,

(11)

iar,

(12)

in care

- momentele de inertie la incovoiere fata de axele principale ξ, η.