Paleta neantrenata in miscare de rotatie, avand masa uniform distribuita

Paleta neantrenata in miscare de rotatie, avand masa uniform distribuita.

Ipoteze de calcul, (fig.90).

- paleta are aria sectiunii constanta in lungul aerofolie, si nu este torsionata,

- paleta este incastrata la un capat si libera la celalalt capat,

- vibratiile sunt numai de incovoiere,

- centrele de greutate ale sectiunilor coincid cu centrul de greutate al sectiunii de la baza aerofoliei, fiind dispuse pe aceeasi axa.

- sectiunile de incovoiere raman plane si dupa deformatie,

- paleta are o infinitate de puncte materiale, deci si o infinitate de forme de vibratie, respectiv de frecvente proprii.

Pentru calcul se impun conditiile:

- sarcina q, este egala cu forta de inertie F_i, pe unitatea de lungime,

q_i = - F_i, respectiv q + F_i = 0.  (1)

Fig. 90 - Schema de calcul.

Ecuatia fibrei medii deformate este,

sarcina se obtine din

sau ,

forta de inertie F_i pe unitatea de lungime este

Inlocuind in (l), la echilibru, rezulta,

sau,

(2)

se noteaza cu,

(3)

ca urmare (2) devine,

(4)

Se considera ca paleta vibreaza dupa o lege armonica, de forma:

φ), (5)

unde,

y_n - deformatia pentru armonica n,

y₀ - deformatia initiala maxima,

p_n - pulsatia armonicii n,

t - timpul,

φ - unghiul de defazare.

Derivata expresiei (5) este,

φ)

φ)

Inlocuind in (4), rezulta

sau

Se noteaza

(6)

Ca urmare

(7)

Ecuatia (7) are solutia:

(8)

C₁, C₂, C₃, C₄, sunt constante care se vor determina din conditiile aerofoliei la incastrare si la capatul liber.

La incastrare,

x = 0, y_n = 0, φ =

Introducand in (8), rezulta,

C_1n = 0, C_3n = 0

La capatul liber,

x = L,

momentul incovoietor este nul,

si forta taietoare,

Dar

Sau efectuand derivatele si introducand in (8), se obtine conditia din care se determina parametrul (K_n·L), ca fiind:

(9)

Pentru paleta fara bandaj la capat, la armonicile 1 ÷ 6, conditia (9) se respecta pentru valorile din tabel:

Pentru paleta avand bandaj la capatul liber, valorile sunt:

Determinarea pulsatiei se face din (6),

sau

Din (3) rezulta

Daca se inmulteste si se imparte cu L², pulsatia va avea forma:

(10)

iar frecventa va fi

(11)

Daca in loc de densitatea ρ, se introduce greutatea specifica γ = ρ · g, frecventa va avea expresia:

(12)

Raportul pulsatiilor armonicilor fata de pulsatia proprie fundamentala au valorile din tabel: