Calcularea tensiunii si a curentului

Calcularea tensiunii si a curentului

Exista o metoda sigura de calcul a tuturor variabilelor dintr-un circuit reactiv (cu bobine si/sau condensatoare) de curent continuu. Primul pas este identificarea valorilor initiale si a celor finale pentru tensiune in cazul condensatoarelor si pentru curent in cazul bobinelor.

Valorile initiale

La inchiderea intrerupatorului (sau deschiderea) dintr-un circuit, componentul reactiv incearca sa mentina aceasta cantitate (tensiune pentru condensator, curent pentru bobina) la valoarea existenta inainte de actionarea intrerupatorului (vezi raspunsul tranzistoriu al condensatorului si raspunsul tranzitoriu al bobinei); aceasta valoarea este prin urmare folosita ca valoare "initiala".

Valorile finale

Valoarea finala a acestor marimi este cantitatea la care acestea ajung dupa o durata de timp infinita de la actionarea intrerupatorului. Aceasta poate fi determinata in analiza circuitului capacitiv considerand condensatorul un circuit deschis, iar in cazul analizei circuitului inductiv, considerand bobina un scurt-circuit, deoarece acesta este comportamentul lor dupa ce sunt incarcate la maxim (dupa o perioada de timp infinita).

Constanta de timp

Urmatorul pas este calcularea constantei de timp a circuitului: timpul necesar pentru ca valorile tensiunii si ale curentului sa varieze cu aproximativ 63% din valoarea finala, intr-o situatie tranzitorie. Constanta de timp se exprima in secunde si este simbolizata prin litera greceasca "tau", τ

Circuit RC serie

Intr-un circuit RC serie, constanta de timp este egala cu produsul dintre rezistenta totala in ohmi si capacitatea in Farad:

Circuit L/R serie

Pentru un circuit serie L/R, constanta de timp este egala cu raportul dintre inductanta totala in Henry si rezistenta totala in ohmi.

Explicatie

Cresterea si descresterea valorilor circuitului reactiv tranzitoriu, este asimptotica, curbele graficului sunt prin urmare exponentiale.

Dupa cum am spus mai sus, constanta de timp este durata de timp necesara pentru ca oricare dintre aceste valori sa varieze cu 63% fata de valoarea lor initiala spre cea finala. Cu fiecare constanta de timp, aceste valori se situeaza cu 63% mai aproape de valoarea lor finala. Formula matematica pentru determinarea precisa a procentelor variatiei este urmatoarea:

Litera e este constanta lui Euler, aproximativ 2,7182818. La formula de mai sus s-a ajuns cu ajutorul analizei matematice, dupa analiza asimptotica a valorilor circuitului. Dupa un timp egal cu o constanta de timp, procentul variatiei fata de valoarea initiala este de:

Dupa o perioada de doua constante de timp, procentul variatiei fata de valoarea initiala este:

Dupa zece constante de timp:

Cu cat perioada de timp de la aplicarea tensiunii bateriei la bornele bobinei/condensatorului este mai lunga, cu atat este mai mare valoarea numitorului fractiei, intreaga fractie fiind astfel mai mica, iar totalul scazut din valoarea 1 se apropie eventual spre 1, sau, 100%.

Formula universala a constantei de timp

Putem deduce o formula universala pentru determinarea valorilor curentului si ale tensiunii in circuitele tranzitorii, astfel:

unde,
final = valoarea variabilei dupa un timp infinit (valoarea finala)
initial = valoarea initiala a variabilei considerate
e = constanta lui Euler (2,7182)
t= timpul (s)
τ = constanta de timp a circuitului (τ

Analiza circuitului RC serie

Sa analizam circuitul RC serie de la inceputul capitolului:

Constanta de timp

Din moment ce constanta de timp (τ) a unui circuit RC serie este produsul dintre rezistenta si capacitate, valoarea obtinuta este de 1 secunda:

Calcularea tensiunii

Analizam in acest caz tensiunea deoarece este valoarea pe care condensatoarele incearca sa o mentina constanta. Cu toate ca formula se poate aplica la fel de bine si pentru curent, valorile finale si cele initiale pentru curent sunt de fapt derivate din tensiunea condensatorului, prin urmare, calcularea tensiunii este o metoda mai directa. Rezistenta este de 10 kΩ iar capacitatea de 100 µF (microfarad).

Daca initial condensatorul este complet descarcat (0 V), putem folosi aceasta valoare pentru tensiunea initiala. Valoarea finala va fi tensiunea bateriei, 15 V. Formula universala pentru tensiunea condensatorului in acest circuit arata astfel:

Dupa 7,25 de secunde de la aplicarea tensiunii la bornele condensatorului (prin inchiderea intrerupatorului), tensiunea va creste astfel:

Deoarece tensiunea initiala la bornele condensatorului a fost de 0 V, o crestere cu 14,989 V se traduce printr-o cadere de tensiune de 14,989 V la bornele condensatorului dupa 7,25 s de la inchiderea circuitului.

Calcularea curentului

Aceeasi formula poate fi folosita si pentru determinarea curentului din circuit. Stim ca un condensator descarcat se comporta precum un scurt-circuit, prin urmare, curentul initial va fi maximul posibil in circuit:

Stim de asemenea ca valoarea finala a curentului va fi zero, din moment ce condensatorul se va comporta eventual precum un circuit deschis, prin urmare, nu va exista curgere a electronilor prin circuit. Cunoscand valorile initiale si cele finale, putem folosi formula universala pentru determinarea valorii curentului dupa 7,25 de secunde de la inchiderea aceluiasi circuit RC de mai sus:

Observam ca valoarea obtinuta este negativa, nu pozitiva! Acest lucru inseamna o descrestere a curentului si nu crestere a acestuia in timp. Din moment ce am inceput cu un curent de 1,5 mA, aceasta descrestere de 1,4989 mA se traduce prin existenta unui curent de 0,001065 mA (1,065 µA) dupa un interval de timp de 7,25 de secunde de la inchiderea circuitului.

Am fi putut determina curentul prin circuit dupa 7,25 s, scazand tensiunea condensatorului din tensiunea bateriei pentru obtinerea tensiunii pe rezistor; aflam apoi curentul prin rezistor (si prin intreg circuitul) folosind legea lui Ohm (I =E / R). In ambele cazuri, ar trebui sa obtinem acelasi rezultat:

Analiza circuitului L/R serie

Sa analizam acum circuitul L/R serie de la inceputul capitolului:

Constanta de timp

Cu o inductanta de 1 Henry si o rezistenta serie de 1 ohm, constanta de timp a circuitului de fata este de 1 secunda:

Calcularea curentului

Deoarece este un circuit inductiv, iar bobinele stim ca se opun variatiei curentului, vom aplica formula universala folosind valorile initiale si finale ale curentului. Daca initial intrerupatorul este deschis, curentul este egal cu zero (valoarea initiala). Dupa o perioada de timp infinita, curentul va atinge valoarea sa finala, egala cu raportul dintre tensiunea sursei si rezistenta totala din circuit (I =E / R), 15 A in acest caz.

Daca vrem sa aflam valoarea curentului la 3,5 secunde dupa inchiderea intrerupatorului, aplicam formula universala astfel:

Din moment ce valoarea initiala a curentului a fost zero, valoare acestuia dupa 3,5 secunde este de 14,547 amperi.

Calcularea tensiunii

Avand doar un singur rezistor in circuit, calculam mai intai caderea de tensiune pe acesta pentru timpul de 3,5 s:

Facand diferenta intre tensiunea bateriei si cea a rezistorului, caderea de tensiune pe bobina este de 0,453 V pentru timpul de 3,5 s: