Control in spatiul starilor

Modelul matematic liniarizat in spatiul starilor :

Expresia numerica :

eig(A) = 0, 5.1819, -1.8572, -5.3017

Controlabilitate si observabilitate

; ; r=rank(Cm)=4.

; ; r=rank(Om)=4.

Legea de reglare prin reactie pe stare este un produs matriceal dintre matricea de castig K si vectorul de stare al sistemului.

Sinteza legii de reglare dupa stare se poate efectua in doua moduri :

Clasic prin alocare de poli : se specifica locatiile dorite ale celor N poli ai sistemului in bucla inchisa si se calculeaza ponderile matricei (vectorului) K printr-o procedura clasica gen procedura Ackerman.

Modern prin minimizarea unui indice de perfomanta impus : se specifica indicele de perfomanta ce trebuie minimizat si se calculeaza matricea (vectorul) K printr-o procedura moderna de control optimal gen lqr care calculeza ponderile optimale ale legii de reglare K.

Pentru se cere gasirea matricei de reactie dupa stare care sa minimizeze criteriul de performanta impus , unde si - matrici simetrice continuue si in plus pentru - intervalul de conducere. Matricile Q si R se ajusteaza triall-and-error pe proces.Comanda care minimizeaza indicele de performanta impus este , unde P este solutia EMAR .Un caz interesant in aplicatii apare atunci cand vom alege T . problema urmaririi optimale a traiectoriei x_r s-a transformat in acest caz in problema urmaririi optimale a referintei y_r.)

, si R= z

Estimarea starii

Diferentiere finita

;

Diferentiere filtrata

Observer redus pe stare

T T

T ,

T TTT .

Observer complet pe stare

.

L se determina prin alocare de poli in functie de polii sistemului in bucla inchisa.

Schemele de control

Componenta Nbar pentru scalarea referintei :

Raspunsul sistemului in bucla inchisa utilizand alocarea de poli (cu observer redus)

si T .

K =[9.4100 8.9925 39.7666 7.7339]; Nbar = -9.4100;

x=50,y=10, z=7, K=[ 2.6726 5.6843 31.5156 6.1013 ] , Nbar = -2.6726;

Raspunsul sistemului in bucla inchisa utilizand controlul optimal (cu observer redus)

5. Discretizarea sistemului.

Alegerea perioadei de esantionare

T ;=3 rad/sec T T T T_s 100ms.Pentru simulari am ales T_s 20ms.

Modelul matematic al procesului in timp discret

, cu ,

Translatarea performantelor din timp continuu in timp discret

clp= TT clpd = [ 0.0461j 0.9051 0.8872]

Kc =[9.4100 8.9743 39.7666 7.7339] T T_s T K_d=[8.1959 8.1528 36.8133 7.1571]

Discretizarea observerelor de stare :

Control optimal in timp discret

Se da .Se cere care sa minimizeze indicele de performanta impus , unde N - dimensiunea intervalului de conducere, si - matrici simetrice pozitiv definite ce se ajusteaza triall-and-error pe proces. , .

6. Regulator de "swing-up"

Perioada de oscilatie a unui pendul gravitational

Pentru a aduce pendulul din pozitia sa naturala in pozitia sa de echilibru instabil trebuie sa ii crestem energia cinetica .Pentru un pendul de lungime l energia sa cinetica este . O metoda de a face acest lucru este sa aplicam o forta cartului proportionala cu viteza unghiulara de tipul

u = Forta aplicata cartului (N)

k = Factor de amplificare

w == Viteza unghiulara (rad/sec)

7. Logica fuzzy

PID Fuzzy