Proprietațile mulțimilor fuzzy

Proprietațile mulțimilor fuzzy

In teoria fuzzy, multimile clasice sunt numite crisp (tari), pentru a le distinge de noile multimi cu care aceasta opereaza. O multime fuzzy A este caracterizata prin mai multe marimi:

este suportul multimii;

defineste latimea, daca multimea este convexa;

Nucleus (A) = este nucleul multimii;

este inaltimea. Daca hgt(A)=1, multimea este normala.

Punctul in care valoarea de apartenenta este 1 se numeste valoare de varf.

Egalitatea si incluziunea a doua multimi fuzzy deriva din teoria clasica:

A=B daca si numai daca

daca si numai daca

Pentru ca teoria fuzzy transforma cele doua valori de adevar certe (adevarat si fals) in afirmatii graduale, determinate de functiile caracteristice, reuniunea, intersectia si complementul unor multimi fuzzy nu mai pot fi definite tot atat de simplu ca in algebra booleana. Totusi, Zadeh a propus definitiile clasice pentru cele trei operatii, date de relatiile (3.2). Ulterior s-au propus definitii alternative, cum ar fi normele triunghiulare T si S.

T- normele si S- normele desemneaza operatorii generali pentru intersectie, respectiv reuniune fuzzy. Exista mai multe familii de operatori, denumite clase. In controlul fuzzy sunt frecvent utilizate clasa T_p de T-norme, produsul Hamacher (sau clasa H_l de T-norme), clasa Sugeno de S-norme (clasa S_l), cat si clasele Frank (F_s), Yager (Y_q) si Dubois - Prade (s_a) de T-norme. Aceste clase sunt definite astfel:

(3.14)

O multime de n-tuple ordonate (x₁,..,x_n ) este numita in matematica relatie. Spre exemplu, multimea desemneaza pe domeniul numerelor naturale NxN relatia binara 'mai mare sau egal'. Daca R este o relatie clasica n-ara definita pe X₁ x X₂ xx X_n, atunci ea poate fi descrisa printr-o functie caracteristica

(3.15)

Similar, o relatie fuzzy este o multime fuzzy de n-tuple, fiecare din acestea avand un grad de apartenenta intre 0 si 1. Daca U si V sunt doua universuri continue si , atunci o relatie fuzzy binara pe U x V este:

(3.16)

Semnul desemneaza toate perechile din U x V. In cazul in care U si V sunt universuri discrete (numarabile), avem:

(3.17)

Intr-un exemplu simplu, daca U =, atunci "aproximativ egal" este relatia fuzzy binara: , cu functia de apartenenta:

(3.18)

Daca vom considera - intr-un alt exemplu - un controler fuzzy cu legea de reglare data de regula "daca e este PB si este PS atunci este NM", unde PB, PS si NM sunt multimi fuzzy definite restrictiv pe universurile E, DE si DU, atunci aceasta regula se poate reprezenta prin relatia fuzzy ternara:

(3.19)

Relatia (3.19) semnifica faptul ca fiecarui triplet i se asociaza un grad de apartenenta egal cu minimul valorilor

Operatiile cu relatii fuzzy sunt foarte importante in controlul fuzzy, pentru ca ele descriu interactiunile intre variabile, mai ales in regulile de tip "daca - atunci". Daca R si S sunt relatii binare definite pe X x Y, intersectia si reuniunea acestora se definesc astfel:

(3.20)

(3.21)

In locul operatorilor min si max se pot utiliza T-norme sau S-norme.

Operatorul de proiectie aplicat unei relatii R genereaza o alta relatie V, cu rang mai mic decat R (adica transforma relatii ternare in binare, binare in multimi fuzzy sau multimi fuzzy intr-o valoare crisp). Daca R :X x Y, avem:

(3.22)

Operatorul de extensia cilindrica este opusul celui de proiectie. Daca F:Y este o multime fuzzy, extensia cilindrica a lui F pe X x Y este multimea tuturor perechilor (x, y) X x Y, pentru care gradul de apartenenta este

(3.23)

Operatia de compozitie () consta in combinarea multimilor si relatiilor fuzzy prin proiectie si extensia cilindrica. Daca A:X este o multime fuzzy si R:X x Y o relatie fuzzy, atunci compozitia A R furnizeaza o multime fuzzy B:Y, definita astfel:

(3.24)

Daca intersectia se executa cu operatorul maximum si proiectia cu minimum, obtinem compozitia max-min:

(3.25)

Daca intersectia se executa cu operatorul maximum si proiectia cu produs, obtinem compozitia max-produs sau max-punct.

Intersectia a doua relatii R:X x Y si S:Y x Z nu se poate calcula (pentru ca sunt definite pe domenii diferite). Daca insa ele sunt extinse pe X x Y x Z, operatia se poate face si rezultatul va fi proiectat pe X x Z:

(3.26)

Matematic, daca:

(3.27)

atunci:

(3.28)

(3.29)

(3.30)

Relatia (3.30) defineste o operatie de mare importanta in teoria fuzzy, numita compozitia sup-min. Daca A:X este o multime fuzzy si R:X x Y este o relatie binara, compozitia sup-min devine:

(3.31)

Relatia (3.31) arata ca mai intai se efectueaza intersectia lui R cu extensia lui A, iar apoi aceasta este proiectata pe axa Y.

O metoda generala de combinare a conceptelor non-fuzzy si fuzzy este furnizata de catre principiul de extensie, care interpreteaza multimile fuzzy ca numere fuzzy si permite definirea unei aritmetici fuzzy.

Daca A₁,..., A_n sunt multimi fuzzy definite respectiv pe U₁,.U_n, iar este o functie non-fuzzy, aria de operare a lui f se poate extinde asupra multimilor A₁,..., A_n utilizand compozitia sup-min. Compozitia returneaza extensia lui f, care este o multime fuzzy F:V, avand urmatoarea functie de apartenenta:

(3.32)

In cazul binar, pe domenii discrete sau compacte, ecuatia (3.32) devine:

(3.33)

Controlul fuzzy utilizeaza principiul inlocuind compozitia sup-min cu min-max si apeland la S-norme, T-norme sau max-produs ca operatori de extensie.