Teoremele lui Guldin-Pappus

Teoremele lui Guldin-Pappus

Se ocupa de suprafetele si respectiv volumele corpurilor de revolutie. O suprafata de revolutie este generata de rotatia unei curbe plane in jurul unei axe situata in planul curbei si nu intersecteaza curba, iar un corp de  revolutie este generat de o suprafata plana ce se roteste in jurul unei axe situata in planul suprafetei, dar pe care nu o intersecteaza.

Teorema I:

Suprafata generata de o curba plana, care se roteste in jurul unei axe situata in planul sau si pe care nu o intersecteaza, este egala cu produsul dintre lungimea liniei curbe si lungimea cercului descris de centrul sau de masa.

Pentru aceasta se va considera un element din aceasta linie de lungime dL (fig.2.27). Prin rotirea acestui element in jurul axei Ox se va genera suprafata elementara dA=2pydL.

Aria totala a suprafetei generate de linia de lungime L, este

(2.89)

deoarece, ∫ydL=y_cL, conform teoremei momentelor statice, y_c fiind ordonata centrului de masa a curbei. Aria generata de curba este identica cu aria laterala a unui cilindru circular drept de lungime L si raza y.

Teorema II:

Volumul generat prin rotirea unei suprafete plane in jurul unei axe situata in planul suprafetei si pe care nu o intersecteaza este egal cu produsul cercului descris de centrul de masa al acesteia.

Se va izola un element de arie dA din suprafata situata in planul xOy din fig.2.28, la distanta y de axa x fata de care se roteste toata suprafata. Volumul elementar al acestui inel de sectiune dA este dV=2pydL, iar volumul total este:

(2.90)

unde y este cota centrului de greutate al intregii suprafete plane, iar conform teoremei momentelor statice .

In eventualitatea ca suprafata sau volumul de revolutie generat nu sunt inchise, adica aceste corpuri sunt generate prin rotirea liniei sau suprafetei plane cu un unghi q mai mic decat 2p, atunci suprafata generata cu expresia (2.89) sau volumul obtinut cu (2.90) vor deveni in noua situatie, inlocuind 2p cu q. Relatiile in forma lor generala devin:

(2.91)

unde q este exprimat in radiani.

Aplicatia 2.5

Se cere sa se determine aria si volumul unei sfere de raza R prin aplicarea teoremelor lui Guldin-Pappus.

O suprafata sferica se obtine prin rotirea unui arc de semicerc in jurul diametrului sau (fig.2.29), iar un corp sferic prin rotirea unei suprafete semicirculare in jurul diametrului sau (fig.2.30).

Lungimea liniei semicirculare este L=pR, iar a cercului descris de centrul sau de masa este l=2py_c = 2p2R/p = 4R, deci:

A=l L=4R pR=4pR²

adica formula binecunoscuta a unei suprafete sferice.

Pentru volumul sferei, se cunoaste aria semicercului de raza R, pR²/2, si cota centrului de masa, y_c=4R/3p, obtinandu-se

,

(formula cunoscuta pentru volumul unei sfere).

TESTUL 2

1. Un sistem de forte coplanare se reduce in raport cu un punct 0 la:

a)     R - apartinand planului fortelor si M₀ - perpendicular pe planul fortelor;

b)     R - apartinand planului fortelor si M₀ - apartinand planului fortelor;

c)     R - perpendicular pe planul fortelor si M₀ - apartinand planului fortelor;

d)     R si M₀ - apartinand planului fortelor si perpendiculare intre ele;

e)     O rezultanta unica, perpendicular pe planul fortelor.

Ecuatia axei centrale in cazul sistemului de forte coplanare are expresia:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)    

3. Coordonatele centrului de masa (de greutate) sunt:

a)     , , ,

b)     , , ,

c)     , , ,

d)     , , ,

e)     , , ,

4. Teorema momentului static are forma matematica:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     .

Conditia ca un solid rigid liber sa fie in echilibru este ca sistemul de forte ce-l actioneaza sa indeplineasca conditiile:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)    

6. Un sistem de forte concurente se reduce la:

a)     un moment;

b)     o rezultantǎ;

c)     o rezultantǎ si un moment;

d)     la un cuplu;

e)     la un torsor nul.

Defineste momentul unei forte in raport cu un punct:

a)     un scalar de mǎrime F∙d;

b)     un vector egal cu produsul scalar F∙d;

c)     un vector egal cu produsul vectorial dintre r si F;

d)     un scalar egal cu produsul scalar dintre r si F;

e)     scalar egal cu produsul mixt r x F u.

Momentul unui cuplu este un:

a)     scalar;

b)     vector legat de punctual de aplicatie al unei forte;

c)     vector liber putand fi plasat oriunde in spatiu;

d)     un vector de mǎrime zero;

e)     un vector paralel cu fortele date.

Reducand un sistem de forte aplicate unui solid rigid in raport cu un punct se obtine:

a)     un moment rezultant;

b)     o fortǎ rezultantǎ;

c)     un cuplu;

d)     o fortǎ rezultantǎ si un moment rezultant;

e)     un torsor cu ambele elemente nule.

Axa centralǎ este:

a)     o dreaptǎ oarecare;

b)     o dreaptǎ fatǎ de care rezultanta fortelor este zero;

c)     o dreaptǎ in spatiu fatǎ de care momentul este nul;

d)     locul geometric al punctelor in care momentul si rezultanta sunt egale;

e)     locul geometric al punctelor de torsor minimal.

Un sistem de forte coplanare se reduce la:

a)     o rezultantǎ unicǎ situatǎ pe axa centralǎ;

b)     la un torsor cu ambele elemente nule in raport cu punctele de pe axa centralǎ;

c)     la un torsor cu ambele elemente diferite de zero in raport cu puncte de pe axa centralǎ;

d)     la un moment unic situat pe axa centralǎ;

e)     la un moment paralel cu rezultanta.

Coordonatele centrului fortelor paralele se determinǎ cu relatii de forma:

a)     , , ,

b)     , , ,

c)     , , ,

d)     , , ,

e)     , , .

Pozitia centrului de greutate pentru placa omogenǎ sub formǎ de sector circular este:

a)     x_c = 3/2 R;

b)     x_c = (R sin 45⁰) /α;

c)     x_c = (R sin α) / α;

d)     x_c = (2 R sin α) / 3α;

e)     x_c = 3/8 h.

Momentul unei forte in raport cu un punct este dat de relatia:

a)    

b)    

c)    

d)    

e)    

Marimea momentului unei forte in raport cu un punct:

a)    

b)    

c)    

d)    

e)    

Cuplul de forte este :

a)     un ansamblu de doua forte egale si paralele;

b)     un ansamblu de doua sau mai multe forte egale si de sensuri opuse;

c)     ansamblu de doua forte egale ca marime, paralele si opuse ca sens;

d)     doua forte egale si opuse;

e)     ansamblu de forte egale si paralele.

O forta se reduce intr-un punct la:

a)     o forta echivalenta;

b)     un moment;

c)     o forta echivalenta si un moment;

d)     un cuplu de forte;

e)     o rezultanta unica.

Torsorul de reducere al unui sistem de forte in raport cu un punct este:

a)     zero;

b)     format din rezultanta fortelor;

c)     format din momentul rezultant;

d)     format din rezultanta fortelor si momentul rezultant;

e)     format dintr-un moment rezultant perpendicular pe rezultanta fortelor.

Momentul unei forte in raport cu o dreapta este:

a)     un vector;

b)     un scalar;

c)     mereu zero;

d)     mereu diferit de zero;

e)     un vector perpendicular pe planul fortei si dreptei.

Care sunt invariantii unui sistem de forte odata cu schimbarea polului de reducere?

a)     vectorul rezultanta si vectorul moment rezultant;

b)     numai vectorul rezultanta;

c)     numai vectorul moment rezultant;

d)     vectorul rezultanta si constanta produsului scalar dintre vectorii rezultanta si moment rezultant;

e)     nu exista invarianti ai sistemului de forte la schimbarea polului de reducere.

Ecuatia axei centrale in cazul general este:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     .

Un sistem de cupluri actionand asupra solidului rigid, se reduce la:

a)     o rezultanta unica;

b)     un moment rezultant;

c)     un torsor diferit de zero;

d)     la o rezultanta perpendiculara pe vectorul moment;

e)     la un torsor avand ambele elemente nule.

Prima teorema a lui Guldiu-Pappus are enuntul:

a)          suprafata generata de o curba plana, care se roteste in jurul unei axe situata in planul sau si pe care nu o intersecteaza, este egala cu produsul dintre lungimea liniei curbe si lungimea cercului descris de centrul sau de masa;

b)          volumul generat de o curba plana, care se roteste in jurul unei axe situata in planul sau si pe care nu o intersecteaza, este egala cu produsul dintre lungimea liniei curbe si lungimea cercului descris de centrul sau de masa;

c)          suprafata generata de o curba plana, care se roteste in jurul unei axe nesituata in planul sau si pe care o intersecteaza, este egala cu produsul dintre lungimea liniei curbe si lungimea cercului descris de centrul sau de masa;

d)          volumul generat de o suprafata plana, care se roteste in jurul unei axe situata in planul sau si pe care nu o intersecteaza, este egala cu produsul dintre lungimea liniei curbe si lungimea cercului descris de centrul sau de masa;

e)          volumul generat de o suprafata plana, care se roteste in jurul unei axe situata in planul sau si pe care o intersecteaza, este egala cu produsul dintre lungimea liniei curbe si lungimea cercului descris de centrul sau de masa.