Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Functii reale de mai multe variabile reale. Limite, continuitate, uniform continuitate

Functii reale de mai multe variabile reale. Limite, continuitate, uniform continuitate



Functii reale de mai multe variabile reale. Limite, continuitate, uniform continuitate

1. Definitie. Fie o multime si un punct de acumulare pentru si o functie reala de - variabile reale, . Numarul real este limita functiei in punctul si scriem , daca pentru orice vecinatate exista o vecinatate a.i. .



2. Observatie. (1). Fie si . Atunci si uneori scriem .

Se observa ca in punctul functia nu este neaparat definita si daca este definita atunci in definitia limitei se ia .

Daca se tine seama de definitia vecinatatii unui punct, atunci este limita functiei in punctul daca si numai daca pentru orice vecinatate exista o vecinatate a.i. oricare ar fi si sa avem .

Numarul este limita functiei in punctul daca si numai daca oricare ar fi sirul de puncte din , cu si sa avem .

Limita exista si este finita daca si numai daca astfel incat oricare ar fi , si sa avem .

Limita functiei in punctul este egala cu (respectiv cu ) si scriem , daca si numai daca astfel ca, oricare ar fi , cu sa avem (respectiv ) sau echivalent pentru orice interval exista sfera a.i. oricare ar fi , , sa avem .

3. Propozitie. Fie o multime, si un punct de acumulare pentru si . Presupunem ca functiile si au limite finite in punctul . Atunci

functiile au limita in punctul si avem

daca pentru orice si , atunci functia are limita in si avem

.

4. Definitie. Fie o multime, si un punct de acumulare pentru , atunci functia este continua in daca si numai daca are limita in punctul .

Altfel spus, functia este continua in punctul daca si numai daca a.i. oricare ar fi cu sa avem .

5. Definitie. Fie o multime, . Functia este uniform continua pe daca si numai daca a.i. pentru orice cu .

Limite iterate

6. Definitie. Fie o multime deschisa si functia , si fie punctul . Daca este punct de acumulare al multimii

,

atunci putem considera limita functiei ,

,

ca in cazul unei singure variabile. Aceasta limita este un numar ce depinde de celelalte - variabile reale, diferite de .

Se poate considera limita

,

care este un numar ce depinde de celelalte - variabile reale, diferite de si . Analog, putem considera limita functiei in raport cu toate variabilele luate pe rand. Aceasta limita este un numar care nu mai depinde de nici una din variabilele . Aceasta limita se numeste limita iterata a functiei .

De exemplu, pentru functiile de doua variabile, , putem scrie limitele iterate

si . (1)

Asadar, pentru o functiie de doua variabile, , putem considera limitele:

si . (2)

Urmatoarea propozitie arata legatura intre limita si limitele iterate:

Propozitie. Fie , . Daca exista limita functiei intr-un punct si limitele iterate in acel punct, atunci ele sunt egale.

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea, vom considera cazul functiilor de doua variabile, , . Fie un punct de acumulare pentru . Presupunem ca exista limita si limita iterata si dunt finite. Aratam ca .

Notam cu , proiectia multimii pe axa si presupunem ca este punct de acumulare pentru . Fie oarecare. Atunci, pentru orice , exista limita simpla in raport cu , . Prin ipoteza, functia are limita in si putem scrie . Fie oarecare, dar fixat. Deoarece , atunci exista o vecinatate a.i. sa avem , oricare ar fi , cu . Cum pentru fiecare , fixat, exista , atunci pentru a.i. , prin trecerea la limita in inegalitatea , avem , pentru orice cu .

Asadar, putem scrie , si cum este oarecare, .

8. Observatie. (1). Daca exista numai una din cele trei limite

sau ,

nu rezulta ca si celelalte doua limite exista (este posibil ca numai una sau doua din aceste limite sa existe).

De exemplu, functia definita prin , are limita in punctul ; . Exista limita iterata si este egala cu zero insa limita iterata nu exista.

Solutie. Pentru , putem scrie

, cand ;

si avem , care evident nu exista si ;

Asadar, nu exista, insa .

(2). Functiile definite prin

si respectiv ,

au in origine numai una din cele trei limite.

(3). Daca nu exista limita atunci limitele iterate pot exista si sa fie diferite.

De exemplu, pentru functia definita prin , exista limitele iterate in origine si acestea sunt diferite; si .

(4). Este posibil ca punctul sa fie punct de acumulare pentru insa, multimea proiectia a multimii pe axa , sa nu aiba pe ca punct de acumulare oricare ar fi si, atunci nu are sens . De exemplu, daca este formata dintr-un segment de dreapta paralel cu axa , atunci proiectia pe axa se reduce la un punct.


(5). Exista functii pentru care limita exista uniforma in raport cu , limita exista uniforma in raport cu si avem dar nu exista ; de exemplu, pentru functia definita prin , exista uniforma in raport cu si .

Limite si continuitatea functiilor vectoriale de variabile vectoriale

Fie si un punct de acumulare pentru si fie functiile reale , . Atunci functia vectoriala este definita si complet determinata prin componentele sale reale .

.9. Definitie. Functia are limita in punctul , daca exista cu proprietatea ca

pentru a.i. oricare ar fi cu sa avem .

Este evident ca daca limita exista atunci ea este unica.

In cazul functiilor reale de variabile vectoriale, , limita poate fi si .

10. Definitie. Functia vectoriala este continua in punctul de acumulare daca si numai daca functia are in punctul limita egala cu .

Altfel spus, functia este continua in punctul daca si numai daca a.i. oricare ar fi cu sa avem .

Daca functia este continua in orice punct atunci spunem ca functia este continua pe

11. Propozitie. Functia vectoriala este continua intr-un punct daca si numai daca fiecare din componentele sale reale este functie continua in .

Demonstratie. Deoarece au loc inegalitatile

, ,

atunci aplicand, de exemplu, definitia cu si rezulta ca afirmatia propozitiei este adevarata.

12. Definitie. Functia vectoriala este uniform continua pe daca si numai daca a.i. oricare ar fi cu sa avem .

13. Propozitie. Functia vectoriala este uniform continua pe daca si numai daca fiecare din componentele sale reale este uniform contiua continua pe .

14. Propozitie. Daca functia vectoriala este uniform continua pe atunci este contiua continua pe .

15. Propozitie. Fie o multime compacta. Daca functia vectoriala este continua pe atunci este uniform contiua continua pe .

Demonstratie. Prin ipoteza, multimea este compacta, deci este inchisa si marginita. Presupunem ca nu este uniform continua pe . Atunci, negand definitia uniform continuitatii, putem scrie:

a. i. pentru orice (suficient de mic) in particular, putem alege , , exista sirurile cu proprietatea sa avem .

Deoarece, multimea este marginita atunci sirul este marginit, deci contine un subsir convergent. Fie acesta si . Cum este inchisa si este punct limita pentru multimea termenilor subsirului considerat, deci pentru , rezulta ca . Analog gasim . Din inegalitatile , trecand la limita rexulta ca . Folosind continuitatea lui deducem ca si .

Din evaluarile

deducem ca diferenta , incepand de la un anumit rang, ramane mai mica decat , ceea ce contrazice presupunerea facuta.

Continuitatea partiala a functiilor vectoriale de variabile vectoriale

16. Definitie. Functia vectoriala , este continua partial in raport cu punctul in punctul de acumulare daca si numai daca pentru orice , exista a.i. oricare ar fi cu si sa avem

,

Propozitie. Daca functia este continua intr-un punct (deci este continua in ansamblul variabilelor), atunci ea este continua in acest punct in raport cu fiecare variabila.

Exemple. (1). Fie si functia , definita prin . Aratati ca .

Solutie. Fie , oarecare, fixat. Daca alegem , atunci pentru si , putem avea (de exemplu, pentru orice ) si atunci deducem

.

Aratati ca .

Solutie. Fie oarecare. Deoarece , putem alege si pentru avem

in orice vecinatate a punctului , de forma .

Aratati ca functia , nu are limita in punctul .

Solutie. Consideram sirul de puncte , cand . Atunci sirul valorilor , . Alegand un alt sir de puncte, de exemplu, sirul , cand atunci sirul valorilor , . Asadar, observam ca pentru doua siruri diferite, care tind catre punctul , atunci se obtin limite diferite, ceea ce contrazice unicitatea limitei functiei intr-un punct.

Aratati ca functia , nu are limita in punctul .

Indicatie. Alegem, de exemplu, directiile , cu si . Atunci limita

, evident, depinde de .

(5). Fie functia , . Aratati ca este continua pe .

Solutie. In orice punct diferit functia este continua deoarece este definita printr-un raport de functii continue. Din inegalitatile succesive,

,

rezulta ca si deci este continua si in punctul .

Fie un spatiu metric. Functia distanta , , este o functie continua in ambele variabile .

Demonstratie. Fie sirurile si . Atunci, putem scrie

si 

.

Asadar, avem , deci , ceea ce arata continuitatea functiei distanta.





loading...




Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




APLICAII LINIARE
CODURI CONVOLUTIONALE
Legi de compozitie
Produs scalar. Norma. Distanta
Valori medii ale unor functii de variabila aleatoare
Sisteme de ecuatii si transformari liniare. (Regula lui Cramer)
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV
Spatii vectoriale


loading...

Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu