Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Produs scalar. Norma. Distanta

Produs scalar. Norma. Distanta



Produs scalar.  Norma.  Distanta

 

 Elementele introduse nu permit studierea unor aspecte ale spatiilor vectoriale   legate de notiunile de unghi si de distanta. Aceasta  se poate face inzestrand spatiul  vectorial  cu  un  tip de  produs  numit  produs  scalar.

DEFINITIA  1.2.1  Fie  K = C , R   si  V  un  K  - spatiu   vectorial.   O   aplicatie       ( · | · ): V× V ® K  se  numeste   produs   scalar  daca:

i)  aplicatia   este  liniara ,

ii)  , (daca  K = R ,  atunci  ), adica

(|)(|)(|),

iii)  .

Notatii  

Observatii  1.2.1    .

Intr - adevar,  ,  deci  .

                                        

care  este  imediata  din  Definitia  1.2.1 iii)  si  Observatia  1.2.1.

                                                 C,  

Intr-adevar     ƒ

Exemple. 1. Fie K = C si   V = Kn =K, .

Pentru  orice  Kn  si  Kn  punem

                            

Daca  K = R  avem

                            

2.  In spatiul vectorial  al functiilor continue pe intervalul

[a, b] R,  produsul  scalar  este

                            

DEFINITIA 1.2.2  Un  spatiu  vectorial  pe  care  s-a  definit  un  produs  scalar  se  numeste  spatiu  vectorial  euclidian.

TEOREMA 1.2.1 (Inegalitatea  lui  Schwarz  sau  inegalitatea  lui  Cauchy - Buneakovski)

                                            .                                     (1.2.1)

Demonstratie. Folosind Observatia 1.2.1)  si  proprietatea  i)  din  Definitia  1.2.1, avem

                                                                                                            C.

In particular, pentru  cu , inegalitatea de mai sus devine

                                                             .

Deci

                                                                                         ƒ                 

 DEFINITIA 1.2.3  Fie  K = C, R  si  V   un  K - spatiu  vectorial.   O  aplicatie              ║ ∙║R  se  numeste  norma  daca

(i)         ,

(ii)      K   si   (omogenitate),

(iii)         ,      ( inegalitatea triunghiului).

Observatia 1.2.2   

Intradevar,  folosind  proprietatile  (i), (ii), (iii)  obtinem

                      

deci  

                                                        

DEFINITIA 1.2.4  Perechea   se  numeste  spatiu  normat.

TEOREMA  1.2.2  Orice  produs  scalar  determina  o  norma  prin  egalitatea

                                        

Demonstratie.  Verificam  cele  trei  axiome  din  Definitia  1.2.3 :

  (conform axiomei (iii) din Def. 1.2.1).

                         

                          .           

Deci

                                          

si  folosind   inegalitatea  lui  Schwarz  obtinem

Prin urmare

                                                                             

Exemple  de  norme  pe  Kn.

        ( K=C ) ;

             ( K=R ) ;

 ;

.

Precizari.  1.  Norma lui  se mai numeste si  lungimea vectorului .

                  2.  Norma din exemplul 1 (sau  2) se numeste norma euclidiana  pe  Kn.

Cu  ajutorul  normei  se  poate  da  urmatoarea  definitie:

DEFINITIA  1.2.5  Fie En  un spatiu vectorial euclidian de dimensiune n. Un  vector ,  cu  proprietatea  ca , se  numeste  vector  unitate  sau  versor.

Observatii  1.2.3  1.  Cu  aceasta   notiune,  pentru  ,  avem

                                        .

2.  Cu  ajutorul  normei,  inegalitatea  Cauchy - Schwarz  se  mai  scrie

                                                                                                                 (1.2.1’)

sau,  daca   , ,

                                                     .                                                                 (1.2.1”)

DEFINITIA  1.2.6 Se numeste unghi neorientat al vectorilor x si y numarul   dat  de  relatia

                            

DEFINITIA   1.2.7   Fie  .  Se   numeste  metrica  sau  distanta  o  functie             d: En×En  R  care  are  proprietatile:

   D1.         (pozitivitate);

   D2.         (simetrie);

   D3.         (inegalitatea  triunghiului).       

DEFINITIA 1.2.8 Un spatiu vectorial inzestrat cu o distanta se numeste spatiu  metric.

DEFINITIA 1.2.9 Distanta definita cu ajutorul normei euclidiene se numeste  distanta euclidiana.

TEOREMA 1.2.3 Fie  normat cu norma euclidiana. Functia reala R definita  prin

                                                                                          

este  o  distanta  (metrica)  pe  En.

Demonstratie.  Evidenta  prin  verificarea  axiomelor  din  Definitia  1.2.7.









Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Ecuatii diferentiale de ordinal intai
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV
Transformari sinusoidale – transformata Fourier - Probleme rezolvate
Produs scalar. Norma. Distanta
Binomul lui Newton. Puterea unui polinom
Conditionarea problemei si stabilirea algoritmilor
TRANSFORMARI LINIARE
FORMULE


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu