Echilibrul  rigidului  supus  la  legaturi cu  frecare

1. Generalitati

In paragrafele precedente au fost prezentate legaturile fara frecare ale rigidului. Astfel s-a stabilit ca un rigid rezemat pe un alt rigid ar trebui sa se puna in miscare cand rezultanta fortelor exterioare ar avea o componenta oricat de mica  cuprinsa in planul tangent la cele doua corpuri in punctul comun de contact O.

In cazul legaturilor care nu suprima toate gradele de libertate ale rigidului se constata ca la tendintele de miscare corespunzatoare gradelor de libertate ramase, apar forte sau cupluri de forte de legatura care se opun miscarii rigidului.

Frecarea este pusa in evidenta in acele legaturi ale rigidului in care este permisa deplasarea relativa a celor doua corpuri aflate in contact.

Astfel in acest paragraf se va studia frecarea ce se produce in cazul urmatoarelor legaturi :

1. reazem simplu

2. articulatie

3. prindere cu fire

Tipurile de frecare ale solidului rigid sunt prezentate sintetizat in schema bloc din figura 21.

 

     Fig. 21

2. Aspectul general al frecarilor in cazul reazemului simplu

Consideram un rigid (C₁) actionat de un sistem de forte exterioare  , si care este simplu rezemat pe o suprafata (S) a unui corp (C₂) . Teoretic exista un singur punct de contact O pe o suprafata (S) ; in realitate insa cele doua corpuri se deformeaza si contactul se realizeaza pe o portiune de suprafata , in fiecare punct aparand cate o reactiune  de marime si directie necunoscute (fig. 22,a. )    

 

            Fig. 22, a

Reducand sistemul de forte exterioare  si de reactiuni  in punctul teoretic de contact O, se obtine schema de calcul din figura 22, b.

 

      Fig. 22, b Schema de calcul

Torsorul de reducere al fortelor exterioare  in punctul teoretic de contact O este :

(35)

Torsorul de reducere  in acelasi punct O al fortelor de legatura  este :

 

               (36)

Ecuatiile vectoriale de echilibru conform figurii. 22,b  sunt:

;         (37)

       (38)

Pentru a studia  aceste forte si momente , se descompune fiecare element al celor doua torsoare in cate doua componente obtinandu-se schema de calcul din figura 22,c.

 

      Fig. 22,c

Proiectand ecuatiile (37)  si (38) pe normala comuna n-n in O la suprafata (S) si pe planul tangent la aceasta suprafata  (fig. 22,c ) se obtin ecuatiile :

            (39)

 

si

        (40)

unde :

- componentele rezultantei a fortelor exterioare ;

- componentele rezultantei  a fortelor de legatura

 - reactiune normala  ; 

 - forta de frecare de alunecare ;

- componentele momentului   al fortelor date  fata de punctul O ;

- componentele momentului  rezultant  al fortelor de legatura  fata  de

                   punctul O ;  - moment de frecare de pivotare ,  - moment de frecare

                   de    rostogolire .

Componenta  tinde sa deplaseze  rigidul (C₁)  in sensul patrunderii in corpul (C₂) , deplasare careia i se opune reactiunea normala .

Componenta  tinde sa deplaseze rigidul (C₁) in planul  tangent la suprafata (S) , deplasare numita alunecare , careia i se opune forta de frecare de alunecare   .

Componenta  are tendinta de a roti rigidul (C₁) in jurul normalei  n-n, acestei rotatii numita pivotare i se opune momentul de frecare de pivotare   .

Componenta   are tendinta de a roti rigidul (C₁) in jurul axei t-t din planul tangent la suprafata (S) . Aceasta miscare de rotatie se numeste rostogolire si i se opune momentul de frecare de rostogolire .

Deci intr-un reazem simplu pot aparea trei tipuri de frecari calitativ diferite  si anume:

1. Frecarea de alunecare

2. Frecarea de pivotare

3. Frecarea de rostogolire

3. Frecarea de alunecare

Se considera un rigid (C₁) simplu rezemat in O pe corpul (C₂) prezentat in figura 23.

 

           Fig. 23

Se considera cazul cand torsorul de reducere al fortelor exterioare este alcatuit numai din forta rezultanta  .

Conform principiului actiunii si reactiunii va aparea reactiunea .

In cazul echilibrului cu frecare reactiunea  este inclinata cu unghiul α fata de normala

n-n, iar la limita cu unghiul φ.

Din analiza figurii 24 se constata ca :

            (41)

si la limita :

       (42)

 

     Fig. 24

Daca se noteaza , la fel ca la echilibrul punctului material :

     (42)

unde μ se numeste coeficient de frecare de alunecare , iar φ se numeste unghi de frecare, se obtin relatiile fortei de frecare de alunecare sub forma :

 pentru echilibru    (43)

si

 pentru echilibrul la limita          (44)

Forta de frecare de alunecare  are aceleasi caracteristici ca si forta de frecare de alunecare produsa in cazul punctului material si anume :

1. directia ei este cuprinsa in planul tangent la suprafetele care vin in contact si este perpendiculara pe reactiunea normala

2. sensul ei este opus tendintei de alunecare

3. nu depinde de marimea suprafetelor in contact a celor doua corpuri

4. depinde de natura suprafetelor in contact

5. marimea ei nu poate depasi o anumita valoare

Rotind suportul reactiunii  se obtine conul de frecare care are ca axa normala comuna n-n si unghiul la varf 2 φ. Atunci cand  respectiv , se afla in interiorul conului de frecare , sau, la limita, pe mantaua acestuia, corpul (C₁ ) se afla in echilibru.

Ecuatiile vectoriale de echilibru sunt :

         (45)

la care se adauga conditia de existenta a echilibrului cu frecare de alunecare:

  (46)

Din cele prezentate rezulta ca frecarea de alunecare nu este calitativ diferita de cea studiata in cazul punctului material.

Singura complicatie care poate interveni o constituie faptul ca rigidul poate fi rezemat in mai multe puncte , ceea ce conduce la utilizarea a mai multor inegalitati de tipul (46) .

Aplicatia 6

Se considera o scara AB de lungime l si greutate  ce se reazema cu frecare pe un perete fix si pe un plan orizontal  ca in figura 25, a. Cunoscand coeficientii de frecare de alunecare m₁ si m₂ sa se determine pozitia de echilibru la limita ( a_min ) si reactiunile din A si B .

 

   Fig. 25

Rezolvare 

Prin inlocuirea legaturilor din A si B  se obtin reactiunile  , si si  ; sistemul echivalent fiind prezentat in fig . 25 , b. Ecuatiile scalare de echilibru sunt :

S F_ix = 0    ;    N_B - T_A = 0

S F_iy = 0    ;    N_A + T_B - G = 0

S M_iA = 0  ;    G l cosa - T_B 2l cosa - N_B 2l sina = 0

             

La care se adauga conditiile (46) :

T_A m₁ N_A la limita    T_A = m₁ N_A

T_B m₂ N_B la limita     T_B = m₂ N_B

Din primele doua ecuatii rezulta :

Introducand valorile gasite pentru N_A si N_B in ultima ecuatie obtinem :

Deci  pentru echilibru :           tga    tga_min

 Frecarea de rostogolire

Frecarea de rostogolire se manifesta in zona de contact intre rotile unui vehicul si calea de rulare .

Se considera roata unui vagon din figura 26,a,  in ipoteza ca intre roata si planul orizontal contactul se realizeaza intr-un singur punct A.

 

         Fig. 26, a

Ecuatiile de echilibru sunt :

        (48)

Din analiza sistemului ( 48 ) rezulta F = 0 , adica cu o forta oricat de mica se poate pune in miscare un vagon , ceea ce este absurd .

De aici rezulta ca ipoteza introdusa privind contactul punctiform dintre roata si plan nu modeleaza in mod real fenomenul propus spre studiu . In realitate contactul se face dupa o mica suprafata, datorita deformarii celor doua corpuri , fortele de legatura formand un sistem de forte distribuite( pentru reactiuni normale si  pentru forte de frecare de alunecare) . Se obtine astfel schema de calcul din figura 26,b .

 

    Fig. 26,b

Sistemul de forte  admite ca sistem echivalent o rezultanta  aflata la o distanta  " d "  de punctul  teoretic de contact A . Sistemul de forte admite ca sistem echivalent o rezultanta, care trece prin punctul A . Se obtine un sistem echivalent prezentat in figura 26,c.

 

        Fig. 26,c Fig. 26, d

Prin reducerea sistemului de forte de legatura in punctul A se obtine schema prezentata in fig. 26,d , unde :

             (49)

reprezinta momentul de frecare de rostogolire obtinut prin reducerea fortei  in punctul O.

Ecuatiile scalare de echilibru sunt :

SF_ix = 0    ;    F - T = 0        (50)

SF_iy = 0    ;    G - N = 0       (51)

SM_iA = 0    ;    F R = M_r = d N      (52)

Din ecuatia (52) rezulta ca distanta " d " are o valoare limitata ; notand cu s = d_max , din pozitia limita de echilibru , rezulta ca pentru realizarea echilibrului este necesar sa fie satisfacuta relatia :

              (53)

unde s se numeste coeficient de frecare de rostogolire. Spre deosebire de m care este adimensional , s are dimensiunea unei lungimi .

Din cele prezentate anterior rezulta ca pentru studiul frecarii de rostogolire se va considera cazul echilibrului unui rigid (C₁) simplu rezemat pe un corp (C₂) , cand torsorul de reducere al fortelor exterioare in punctul teoretic de contact O este alcatuit din :

(54)

Torsorul de reducere al fortelor de legatura , ce apar in zona de contact, calculat in acelasi punct este :

 

     (55)

Conditiile vectoriale de echilibru sunt :

         (56)

La care se adauga conditia de echilibru cu frecare de rostogolire :

              (57)

Analiza echilibrului discului

Discul poate iesi din echilibrul static prin doua modalitati :

a) prin alunecare , daca  G > N , deci F  >  G

b) prin rostogolire , daca M^d  >  M_r  deci daca   

rezulta urmatoarele cazuri posibile :

2. -  alunecare fara rostogolire

3. - rostogolire fara alunecare

    - rostogolire cu alunecare

Aplicatia 7

Se considera o roata de raza R si greutate , care este trasa cu o forta  pe un plan inclinat avand unghiul a , ca in figura 27, a . Sa se studieze echilibrul rotii .

 

            Fig. 27, a

Inlocuind legaturile obtinem schema de calcul prezentata in figura 27, b.

 

   Fig. 27, b

Ecuatiile scalare de echilibru pentru figura 27,b sunt :

S F_ix = 0    ;    F - G sin a T = 0    T    T = F - G sin a

S F_iy = 0    ;    N - G cos a = 0    T    N = G cos a      ( I )

S M_iA = 0   ;    M_r - FR + GR sin a = 0

la care se adauga inecuatiile:

T m N          si        M_r sN             ( II )

Rezolvand sistemul ( I ) in raport cu T , N si M_r si introducand valorile gasite in ( II ) 

obtinem conditiile de echilibru :

F G ( sin a + m cos a )    ( III )

F G ( sin a + s R cos a ) (IV)

Discutie

a ) daca m = s R , si F creste , T alunecare  + rostogolire

b ) daca m < s R , si F creste , T alunecare

c ) daca m > s R , si F creste , T rostogolire

Aplicatia 8

Se considera roata de raza R si greutate  , care este actionata de cuplul motor de moment  pe un plan inclinat de unghi a . Cunoscand ca in centrul rotii actioneaza forta  provenita din tractarea unei remorci , precum si coeficientii de frecare μ si s , sa se studieze echilibrul rotii  din figura 28, a.

 

    Fig. 28,a               Fig. 28, b

Sistemul echivalent este prezentat in figura 28,b.

Pentru sistemul echivalent din fig. 28 ,b, ecuatiile scalare de echilibru sunt :

a F_ix = 0     ;  T - F - G sin a  = 0    T T = F + G sin a

a F_iy = 0     ;  N  - G cos a      = 0    T N = G cos a      (I)

a M_iA = 0     ;  M_r - M_m + G R sin a + F R = 0   

si     T m N        ;      M_r s N

Rezolvand sistemul ( I ) se obtine :

F G ( m cos a - sin a )        (II)

  (III)

Analiza echilibrului rotii motoare este efectuata sintetizat in tabelul 2.

    Tabelul 2 . Studiul rotii motoare

unde :

              A = G ( m cos a - sin a )       (IV)

                      (V)

Observatii

1. Din relatia (II ) rezulta valoarea minima a coeficientului de frecare la alunecare μ pentru care remorcarea este posibila :

      (VI)

2. Daca m este mai mic decat cel dat de ( VI ) remorcarea nu este posibila oricat de mare este valoarea cuplului motor M_m .

3. Valoarea fortei de frecare  poate fi marita prin : cresterea coeficientului de frecare m (iarna se imprastie pe drumurile alunecoase nisip ) si prin marirea greutatii

      ( autocamioanele au centrul de greutate mai aproape de rotile din spate care sunt roti 

      motoare ) .

5. Frecarea de pivotare

              Frecarea de pivotare sta la baza functionarii ambreiajelor si a franelor cu disc ( figura  29, a , b ) a pivotilor de macara ( figura  30 ) si a lagarelor cu inele ( figura  31 ) .  

 

          Fig. 29, a           Fig. 29, b

 

      Fig. 30  Pivot de macara        Fig. 31 Lagar cu inele

Se considera corpul ( C₁ ) rezemat pe corpul ( C₂ ) dupa suprafata ( S ) si rezultanta fortelor aplicate ce actioneaza asupra corpului ( C₁ ) dirijata dupa normala comuna n-n , ca in figura 32.

Conform principiului  actiunii si  reactiunii in punctul  teoretic de contact dintre (C₁ ) si (C₂ ) va apare reactiunea  egala si direct opusa lui  . Corpul ( C₁ ) pe care il analizam , va fi in echilibru .

 

Fig. 32

Se aplica corpului (C₁) un cuplu de moment  dirijat dupa normala comuna n-n . Sub actiunea  cuplului de moment  , corpul ( C₁ ) va tinde sa se roteasca in jurul normalei n-n , pastrand neschimbata suprafata de contact ( S ) , adica va tinde sa pivoteze . Se observa si in acest caz , ca in toate cazurile de rezemare cu frecare analizate , ca  miscarea  nu se produce atata timp cat marimea lui  ramane inferioara unei valori limita maxime  .

Rezulta deci ca din cauza frecarilor dintre corpurile (C₁ ) si (C₂ ) pe suprafata de rezemare (S)  se  produce un cuplu de moment egal si direct opus lui  a carui marime variaza de la zero la valoarea maxima . Valoarea maxima a momentului de frecare de pivotare notata , reprezinta suma momentelor fortelor elementare de frecare de alunecare maxime in raport cu axa n-n de pivotare .

Daca se considera pe suprafata ( S ) , o arie elementara dA ( figura 33) in care actioneaza rezultanta fortelor elementare de frecare  , atunci momentul de pivotare maxim

este dat de relatia :

       (58)

Fig. 33

Relatia (58) poate fi scrisa  si in modul obtinand :

(59)

Putem scrie :

     (60)

unde p reprezinta presiunea exercitata de rezultanta fortelor date  ce actioneaza prin intermediul corpului ( C ₁ ) pe suprafata de contact ( S ) .

Inlocuind (60) in ( 59 ) obtinem :

            (61)

Momentul de frecare de pivotare maxim se calculeaza cu relatia ( 61 ) care poate fi exprimata si sub forma :

M_pmax = nN              (62)

unde n se numeste coeficient de frecare de pivotare si are dimensiunea unei lungimi ca si coeficientul de frecare de rostogolire s .

Conditia de echilibru pentru un rigid care sub actiunea fortelor date tinde sa aiba o miscare de pivotare este :

             (63)

Din cele prezentate anterior rezulta ca pentru studiul frecarii de pivotare se va considera cazul echilibrului unui rigid (C₁) simplu rezemat pe un corp (C₂) , cand torsorul de reducere al fortelor exterioare in punctul teoretic de contact O este alcatuit din :

        (64)

Torsorul de reducere al fortelor de legatura , ce apar in zona de contact, calculat in acelasi punct este :

 

        (65)

Conditiile vectoriale de echilibru sunt :

        (66)

La care se adauga conditia de echilibru cu frecare de pivotare :

             (67)

Aplicatia 9

Sa se calculeze  M_{p max}  la un arbore vertical ( C ₁ ) de sectiune circulara sprijinit intr-un lagar axial ( C₂ ) de raza R avand coeficientul de frecare de alunecare m , si aflat sub actiunea greutatii proprii    ( figura 34 a ) .

 

   

      Fig. 34,a

                  Fig. 34,b

 

  Fig. 34, c

Rezolvare

Se aplica relatia (61) , in care se exprima dA tinand cont de schema de calcul din figura 34 , c .

Obtinem astfel :

De unde rezulta :

Daca  M_pmax astfel aflat se pune sub forma (62) si se tine cont ca N = G , se poate obtine coeficientul de frecare de pivotare ν. Astfel avem :

 dar N = G, rezulta :

Aplicatia  10

Sa se calculeze coeficientul de frecare  pentru arborele vertical de sectiune inelara din figura 35. .

Rezolvare

                    Fig. 35

Pentru aceasta sectiune in formula precedenta se vor schimba : limitele de integrare pentru r de la [ 0 , R ] la [ R₁ , R₂ ] si aria suprafetei S = p (R₂² - R₁²) .

Momentul de pivotare maxim devine :

de unde se obtine :

 Frecarea in articulatii si lagare 

In aplicatiile tehnice intervin articulatiile cilindrice (plane) sub forma lagarelor radiale . Piesele aflate in miscare de rotatie sunt fixate pe arbori sau pe osii , care la randul lor se reazema pe lagare . Portiunile din arbori sau din osii in contact cu lagarele se numesc fusuri si sunt prezentate in. figura 36 .

 

Fig. 36

Se considera un lagar cu joc , contactul dintre fus si lagar fiind realizat in punctul A . Cunoscand  r  raza fusului , m coeficientul de frecare de alunecare si s coeficientul de frecare de rostogolire precum si torsorul fortelor date se pune problema stabilirii valorii momentului de frecare in lagar .

 

              Fig. 37

Conform figurii 37, torsorul fortelor de legatura in raport cu punctul A este :

     (68)

Ecuatiile scalare de echilibru sunt :

S F_ix = 0      ;    T - F sina = 0          (69)

S F_iy = 0      ;    N - F cosa = 0          (70)

S M_iA = 0    ;    M_r - M_m + F r sina = 0       (71)

la care se adauga conditiile de echilibru cu frecare :

T mN     ;     M_r sN          (72)

Rezolvand sistemul (69)-(71) si introducand solutiile in (72) se obtine :

F sina    m F cosa     T     tg a    m           (73)

M_m - F r sina    s F cosa    T   M_m F ( r sina  +  s cosa )           (74)

la limita :  tg a  = tgφ = m  , iar (72) devine :

    (75)

unde :

 se numeste coeficient de frecare in lagar            (76)

Observatii

1. Unghiul α fiind mic, se pot face aproximatiile:

        (77)

Introducand (77) in (76) obtinem :

              (78)

2. Datorita principiului actiunii si reactiunii , momentul de frecare din articulatie (lagar) notat  este egal si direct opus lui  . Analog forta  este egala si de sens opus reactiunii din articulatie , care conform tabelului 1 ( tipuri de legaturi ) se descompune in spatiul

E₃  in trei componente, iar in plan in doua componente si .

Tinand seama de aceasta , se obtin expresiile momentului de frecare in articulatie :

a. in articulatii si lagare cilindrice :

           (79)

b. in articulatii sferice :

  (80)

Aplicatia 11

 Se considera un troliu de raze R₁ si R₂ , greutate , raza fusului r  si coeficientul de frecare in articulatie m din figura 38, a . Troliul este actionat de greutatile  si . Sa se determine valorile fortei  pentru care troliul este in echilibru .

 

  Fig. 38, a

Rezolvare

Se inlocuiesc legaturile si se trateaza problema pentru Q_max , ceea ce determina sensul lui  din figura 38 , b .

 

  Fig. 38, b

Ecuatiile de echilibru sunt :

S F_ix = 0     ;     H = 0             (a)

S F_iy = 0     ;     V - G - P - Q  = 0    T    V = G + P + Q           (b)

S M_iO = 0   ;     M_f  + PR₂ - QR₁ = 0    T   M_f = QR₁ - PR₂     (c)

la limita :

              (d)

egaland valorile lui M_f din (c) si (d) obtinem :

  (e)

Pentru cealalta tendinta de miscare , Q_min rezulta din (e) facand m = m   :

   (f)

Deci valorile fortei Q pentru care troliul este in echilibru se obtin din :

Q_min    Q    Q_max (g)

Aplicatia 12

Schema unei macarale de perete este reprezentata in fig. 39 , a . In A exista un lagar axial si unul radial . Cunoscand greutatile  si , dimensiunile : a , b , h , razele r₁ si  r₂ , coeficientii de frecare m₀ si m₁ pentru lagarul axial si cel radial din A , iar m₂ in lagarul radial din B , sa se determine marimea cuplului minim  M_m  ce trebuie aplicat pentru a roti macaraua in jurul axei verticale ce trece prin AB .

Rezolvare

Inlocuind legaturile , schema echivalenta este redata in fig. 39 , b .

Ecuatiile de echilibru sunt :

S M_Az = 0     ;    M_m = M_fA + M_fB + M_pA        (1)

S M_Ax = 0     ;    R_By h = Qb - Ga              (2)

S M_Ay = 0     ;    R_Bx h = 0    T    R_Bx = 0      (3)

S M_By = 0    ;    R_Ax h = 0    T    R_Ax = 0     (4)

S M_Bx = 0    ;    R_Ay h = Qb + Ga   (5)

S F_iz = 0        ;    R_Az = G + Q             (6)

la care se adauga expresiile momentelor de frecare in articulatie si de pivotare :

      (7)

     (8)

  (9)

 

           Fig. 39, a

Introducand din (2) , (5) si (6) expresiile reactiunilor R_Ay , R_By si R_Az , (7) , (8) si (9) devin :

       (10)

       (11)

        (12)

Introducand (10) , (11) si (12) in (1) se obtine :

     (13)

 

            

          Fig. 39, b Schema de calcul

7.   Frecarea firelor  (Frecarea de infasurare)

Un alt caz  de frecare intalnit in mod frecvent in tehnica il reprezinta frecarea firelor. Aceasta frecare apare atat in cazul cand roata pe care este infasurat firul este fixa si firul are tendinta de miscare, cat si in cazul cand firul este fix si roata are tendinta de miscare.

Consideram un fir care vine in contact cu un cilindru fix ca in figura 40,a, pe arcul AB avand unghiul la centru q . La capetele firului actioneaza fortele  si  , cu S₂ > S₁ cand tendinta de miscare este de la A la B deoarece intre fir si cilindru exista frecare de alunecare cu coeficientul m .

 

      Fig. 40,a Fig. 40,b

 Pentru a determina relatia intre (forta motoare) si | (forta rezistenta ) se studiaza echilibrul arcului elementar MM , avand unghiul la centru dj si actionat de fortele :  ,,  si . Forta de frecare de alunecare are valoarea limita T = mN .

Pentru fig. 40,b , ecuatiile scalare de echilibru sunt :

          (81)

           (82)

In cazul in care dj este foarte mic pot fi facute aproximatiile :

              (83)

Atunci (81) si (82) devin :

dS = mN     ;     N = Sdj    (84)