Ecuatia microscopica a miscarii fluidelor perfecte

Ecuatia microscopica a miscarii fluidelor perfecte

Se considera un element paralelipipedic de volum detasat dintr-un fluid perfect aflat in miscare. In centrele celor sase fete se introduc fortele de legatura , , , , , , care sunt forte de presiune, iar in centrul M al elementului se aplica forta masica si forta de inertie (figura 5.1). Notand cu acceleratia centrului paralelipipedului, se poate scrie conditia de echilibru dinamic al fortelor (3.61) in care, conform principiului al doilea al mecanicii (formulat de Newton), suma dintre fortele de presiune si forta masica este egala cu produsul dintre masa si acceleratie sau cu minus forta de inertie, a carei expresie este

(5.1)

Introducand in relatia (3.61) expresiile (3.12), (3.13) si (5.1), dupa reducerea termenilor asemenea si simplificarea cu  dx dy dz, se obtine ecuatia microscopica a dinamicii fluidelor perfecte, sub forma

(5.2)

Aceasta relatie este cunoscuta si sub numele de ecuatia impulsului, exprimand teorema microscopica a impulsului. Impulsul este produsul dintre masa si viteza. Daca masa elementului de volum este constanta in timpul dt rezulta ca

(5.3)

ceea ce arata ca formula (5.2) exprima teorema microscopica a impulsului.

Folosind variabilele Euler v_x, v_y, v_z si proiectand ecuatia (5.2) pe cele trei axe carteziene, rezulta urmatoarele ecuatii scalare:

(5.4)

cunoscute ca ecuatiile lui Euler din dinamica fluidelor perfecte.

Ecuatia (5.2), impreuna cu ecuatia continuitatii

(4.29)

si cu ecuatia de stare, formeaza un sistem de ecuatii determinat, in care necunoscutele sunt viteza v, presiunea p si densitatea .