Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Limite remarcabile. Aplicatii

Limite remarcabile. Aplicatii



Limite remarcabile. Aplicatii

1 Propozitiile 1 si 2 de mai sus sunt de fapt limite remarcabile. Le ilustram cu exercitiile care urmeaza.

E1. .

E .

E3. ;.

E4. ;

2 Fie si numerele reale , . Atunci are loc egalitatea:




Intr-adevar:

Formula de mai sus se poate utiliza ca atare sau se poate utiliza rationamentul folosit.

E1. Calculati urmatoarele limite : a) ; b) .

Solutii a) . b) = .

Fie si numerele reale , . Atunci avem: .

Justificarea acestei afirmatii urmeaza metoda expusa la 2 dar este util sa fie aplicata direct (in special cazul ). Limita de mai sus elimina cazul in anumite situatii.

E1. Calculati urmatoarele limite: a) ; b) .

Solutii Suntem in primul caz de la 3 deci ambele limite sunt egale cu 0(gradul numaratoru­lui este mai mic decat gradul numitorului). Detaliem calculele cu titlu de exemplu. Astfel :

si analog .

E Calculati urmatoarele limite: a) ; b) ;

c) ; d) ; e) .

Solutii a) Suntem in cazul al doilea de la 3 deci (gradele sunt egale si limita este egala cu raportul coeficientilor termenilor cu gradul cel mai mare). De altfel avem .

b) Avem: , deci .c) Avem: si apoi Atunci: . d)

=

== . Intrucat , deducem ca . e) Avem : = . Atunci: + .

E3. Calculati urmatoarele limite: a) ; b) ;

c) ; d) ; e) .

Solutii Suntem in cazul al treilea de la 3 deci limitele sunt infinite. a) Aplicand regula amintita avem: .Intr-adevar daca efectuam calculele avem .b) . Atunci:

. c) = . Atunci avem:

. d)

; e) . Prin urmare .

Fie arbitrar alese. Avand in vedere Propozitia 2 deducem ca avem : . Intrucat nu este necesar sa studiem cazul . Aceste observatii permit eliminarea cazului in anumite situatii.

E1. Calculati urmatoarele limite: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

Solutii a) ; b) ; c) 0; d) ; e) Notam si pentru calculul limitei suntem in cazul de exceptie . Analizam trei cazuri: .

I) Daca atunci avem:

==0

II) Daca atunci avem: .

III) Daca atunci analizam cazurile: .

i) Daca atunci avem:

.

ii) Daca atunci avem: .

iii) Daca atunci avem:

.

In concluzie: .

f) Notam si analizam cazurile: .

I) Pentru avem : .

II) Pentru avem: .

III) Pentru avem: .

In concluzie: .

Rationamente de tipul celor utilizate la 3 pot fi utilizate pentru a elimina un caz de tipul

si in anumite situatii in care apar functii irationale.

E1. Calculati: a) ; b) ; c) .

Solutii a) ;

b) .

c) .

La 2 am aratat cum se elimina cazul intr-o situatie simpla. Ilustram cum se poate elimina acest caz in alte situatii precizand ca uneori revine la a elimina cazul .

E1. Calculati urmatoarele limite :

a) ; b) ; c) .

Solutii a)

b)

c) Utilizand formula , avem:

E Calculati : a) ; b) ; c)

Solutii a)

b)

c) Daca incercam ca la a) si b) avem care conduce la cazul de exceptie . In aceasta situatie inmultim si impartim cu conjugata :

E3. Calculati urmatoarele limite: a) ; b)

c);d);e) .

Solutii a)

b) ; c) Rationamentul de mai sus conduce la , deci la cazul de exceptie . Procedam ca mai sus:

d)

e)

E4. Calculati urmatoarele limite :

a); b)

Solutii a)

b)

E5. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ; c) ; d) (am notat cu partea fractionara a numarului real ).

Solutii a) Pentru orice numar real avem , deci. Pe de alta parte avem: din care deducem inegalitatile : deci din care deducem . Pentru calculul limitei suntem in cazul care este caz de exceptie deci trebuie eliminat. Avem: si deci .

b) Avem: din care deducem inegalitatile deci si prin urmare obtinem: , deci

c) Din deducem . Dar . Avem : , deci .

d) Avem si prin urmare . Deci , pentru orice . Atunci . Deoarece deducem ca .

E6. Determinati constantele reale a,b astfel incat sa aiba loc egalitatile:

a) ; b) ;

c) .

Solutii a) Fie . Atunci . Dar . Daca , atunci , imposibil. Deci si . Dar , deci se impune adica .

b) Fie. Atunci .

Notam si avem . Daca atunci ,ceea ce nu convine. Deci si Dar deci avem: .

c) .

Daca , atunci . Deci se impune adica si avem . Deci se impune din care avem si prin urmare .

Fie sunt doua siruri astfel incat . Avand in vedere ca si ca deducem ca, uneori, cazul se poate reduce la cazul . De asemenea daca atunci din deducem ca, uneori, cazul se reduce la cazul . Exercitiile E3, E4 si E5 de la 6 pun in evidenta astfel de situatii. In continuare dam alte exemple pentru eliminarea cazului . Vom utiliza propozitia de mai jos(numita adeseori „lema clestelui”).





Propozitia 3 Daca sunt trei siruri astfel incat sunt convergente cu si , atunci si este convergent si .

E1. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ; c)

Solutii a) Avem , deci pentru calculul limitei suntem in cazul . Avem: . Dar ,. Deducem si pentru ca obtinem ca .

b) Ca si la a) avem , deci pentru calculul limitei sirului suntem in cazul . Evident . Dar deci si pentru ca deducem ca . Prin urmare avem .c) Avem , deci pentru calculul limitei sirului suntem in cazul . Dar: . Pe de alta parte: , deci si pentru ca

obtinem .

E Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ;

c) ;d) .

e) ; f) .

Solutii Sa observam ca termenul general al acestor siruri este o suma de n termeni dintre care fiecare are limita egala cu 0. Prin urmare pentru calculul limitei oricaruia dintre ei suntem in cazul de exceptie .

a) Evident avem inegalitatile . Scriind aceste inegalitati pentru obtinem:

. Adunand membru cu membru aceste inegalitati, obtinem: . Intrucat ,deducem

. b) Din inegalitatile deducem :

. Adunand membru cu membru aceste inegalitati, obtinem: . Deoarece obtinem:

. Dar , deci .

c) Din inegalitatile , prin adunare membru cu membru, deducem: , adica . Deoarece si ,avem .

d) Din inegalitatile , prin inmultire cu k, avem si deci adica

. Dar si atunci obtinem:

. Deoarece si , avem . e) Avem , deci:

Dar , deci . f) ,

deci si din deducem

.

E3. Fie arbitrar. Calculati limita sirului dat prin formula termenului general:

Solutii Din inegalitatile , valabile pentru orice , avem . Dar , deci avem . Insumand dupa k aceste inegalitati se obtine . Inmultind cu obtinem . Avem si . Atunci .

Deducem ca .

In exercitiul urmator vom utiliza afirmatiile din propozitiile care urmeaza.

Propozitia 4 Daca este un sir convergent cu, atunci : si

.

Propozitia 5 Daca , atunci .

E4. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b);c) ;d) .

Solutii Deoarece pentru calculul limitelor suntem in cazul , pe care il aducem la cazul eliminat de Propozitia 4.

a) ; b) ;

c) ; d)

In principiu pentru a elimina cazul de exceptie se utilizeaza teorema de mai jos.

Teorema Sirul dat prin este convergent si limita sa este un numar situat in intervalul .

Observatie Se noteaza .

Corolar Fie doua siruri astfel incat . Atunci:

.

E1. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ; c) ; d) .

Solutii a) deoarece .

b) deoarece .

c) .

d) .

E Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ; c) ; d) .

Solutii a) Avem:

.

b) .

c) Avem:

d) Avem:

E3. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ;

c) ; d) .

Solutii a) Calculam suma:

.

Deci avem : .

b) . Deoarece:

avem :

si prin urmare .

c) .

d) Calculam suma:

si .

Exercitiul de mai jos este important pentru eliminarea cazului .

E1. Aratati ca .

Solutie Pentru notam. Evident . Atunci: si deci , adica din care deducem . Asadar si pentru ca , avem . Dar si obtinem din care deducem .

Observatie Avem evident si ceea ce justifica afirmatia ca E1 este un mod de a elimina cazul .

E Calculati .

Solutie Cum , deci pentru calculul limitei suntem in cazul .

Avem si pentru ca deducem .

E3. Calculati unde este fixat.

Solutie Evident este o generalizare a exercitiului precedent si procedam analog.

. Deoarece : , deducem .

Alte exemple de eliminare a cazului sunt date de exercitiul urmator.

E4. Sa se calculeze: a);b);c);

d) ; e) .

Solutii a) si, deoarece , deducem

; b) Fie . Atunci . Deducem ca:

si, cum , deducem .

c) Fie . Atunci: . Dar

, deci ;

d) . Din deducem .

e) Notam . Atunci , din care deducem . Intrucat , deducem ca .

Cazul apare mai rar in calculul limitelor de siruri intrucat daca

, atunci . Pentru ca: deducem ca trebuie sa eliminam un caz de forma . De asemenea , ceea ce arata ca acest caz se poate reduce la cazul .

E1. Calculati: a) ; b) ; c) ; d) .

Solutie Vom folosi rezultatele obtinute la E1 si E4 din 9.

a) ; b) ;

c) ; d)

( vezi 9, exercitiul E4.b).








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




Ecuatii diferentiale de ordinal intai
Transformari liniare simetrice
Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai
Conditionarea problemei si stabilirea algoritmilor
Limite remarcabile. Aplicatii
Transformari sinusoidale – transformata Fourier - Probleme rezolvate
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV
Analiza Matematica – Functii




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu