Operatori pe clase de algebre. Varietati.

Operatori pe clase de algebre. Varietati.

Prin operator vom intelege orice aplicatie definita pe o clasa de algebre de un anumit tip cu valori intr-o clasa de algebre de acelasi tip .

Prin K vom nota generic o clasa de algebre de un anumit tip.

In cele ce urmeaza vom pune in evidenta operatorii I, H, S, P, P_s, astfel:

Definitia 5.1.

. AII(K) daca si numai daca A este izomorfa cu o algebra de acelasi tip  din K.

. AIS(K) daca si numai daca A este izomorfa cu o subalgebra a unei anumite algebre din K.

. AIH(K) daca si numai daca A este izomorfa cu imaginea printr-un morfism a unei algebre din K.

. AIP(K) daca si numai daca A este izomorfa cu un produs direct al unei familii nevide de algebre din K.

. A I P_s(K) daca si numai daca A este izomorfa cu un subprodus direct al unei familii nevide de algebre din K.

Daca O₁, O₂ sunt doi operatori, prin O₁O₂ vom nota compunerea lor (care este tot un operator).

Vom scrie O₁ O₂ daca si numai daca O₁(K) O₂(K) pentru orice clasa K de algebre.

Operatorul O se va zice idempotent daca O² = O.

O clasa de algebre K se va zice inchisa fata de un operator O daca O (K) K

Daca notam prin O unul dintre operatorii I, S, H, P, P_S definiti mai inainte, observam ca O restrictionat la clasa algebrelor de un anumit tip verifica conditiile: K O (K), K₁ K₂ T O (K₁) O (K₂) si O (O(K)) = K pentru orice clase de algebre de acelasi tip K, K₁, K₂, de unde concluzia ca O poate fi privit ca operator de inchidere pe clasa tuturor algebrelor de un anumit tip.

De asemenea, daca A I K observam ca orice algebra izomorfa cu A apartine lui K. Simbolic vom scrie ca O = I O; avem de asemenea si egalitatea O I = O.

Lema 5.2. Operatorii HS, SP, HP si HP_S sunt operatori de inchidere pe clase algebrice de un anumit tip.

De asemenea: SH HS, PS SP, PH HP, P_SH HP_S si P_SP = P_S = PP_S iar P_SS = SP = SP_S.

Demonstratie: Este usor de vazut ca daca compunem doi operatori ce verifica conditiile K O (K) si K₁ K₂ T O (K₁) O (K₂) obtinem un operator cu aceleasi priprietati. Mai mult (restrictionand aceasta clasa de operatori) compunerea este o operatie asociativa si pastreaza ordinea

Astfel, operatorii HS, SP, HP si HP_S verifica imediat axiomele operatorilor de inchidere.

Pentru conditia de idempotenta putem folosi celelalte relatii (de exemplu daca acceptam ca SH HS, atunci (HS)² = (HS)(HS) = H(SH)S H(HS)S = HHSS = HS iar pe de alta parte HS = (HI) (IS) (HS) (HS) = (HS)²) asa ca este suficient ca sa probam una din inegalitatile de forma SH HS (celelalte probandu-se analog).

Sa probam de exemplu ca PH HP. Pentru aceasta fie K o clasa de algebre de acelasi tip si A I K. Atunci cu A_i I H(K) pentru orice i I I. Putem alege B_i I K si morfismele surjective f_i : B_i A_i pentru orice iII. Atunci avem morfismul surjectiv g: definit prin g((b_i)_iII) = (f_i(b_i))_iII. Cum fg : A este un morfism surjectiv, deducem ca A I HP(K).g

Definitia 5.3. Vom spune ca o clasa de algebre K de un anumit tip este varietate daca ea este inchisa relativ la operatorii H, S si P (adica H (K) K,  S (K) K si P (K) K).

Prin V (K) vom nota cea mai mica varietate (fata de incluziune) ce contine pe K si o vom numi varietatea generata de K (daca K contine o singura algebra A sau un numar finit A₁, , A_n atunci vom scrie V (A) sau V (A₁, , A_n) pentru V(K)). Obtinem in felul acesta un nou operator V.

Teorema 5.4. (Tarski). V= HSP.

Demonstratie: HHSP = SHSP = PHSP = HSP, de unde rezulta ca HSP (K) este o varietate ce contine pe K pentru orice clasa K. Pe de alta parte, daca este o varietate ce contine pe K, atunci HSP ( K ) HSP ( , adica HSP (K) este cea mai mica varietate ce contine pe K, de unde HSP = V.g

Propozitia 5.5. Fie K o clasa de algebre de un anumit tip iar A o algebra de acelasi tip.

i)  A I SP (K) exista o familie de congruente (q_i)_iII pe A astfel incat q_i D_A si A q_i I S (K) pentru orice i I I.

ii) A IHSP (K) exista o algebra B, congruentele (q_i)_{i II} si q pe B astfel incat B q A q q_i si B q_i I S (K) pentru orice i I I. g

Observatie: Operatorii I, H, S si P genereaza un monoid ordonat a carui structura a fost determinata in 1972 de Pigozzi si are urmatoarea diagrama Hasse: