ASUPRA UNUI CRITERIU DE IREDUCTIBILITATE IN INELUL POLINOAMELOR

Polinoamele ireductibile ocupa un loc central in studierea problemelor de divizibilitate intr-un inel de polinoame, si au un rol important in studiul structurii unor clase de inele de polinoame precum si in problema rezolvarii ecuatiilor algebrice.

In cele ce urmeaza vom prezenta criteriul de ireductibilitate al lui Schönemann

Fie p2 un numar prim,iar FZ[X] un polinom de forma F=f+pg,unde f,gZ[X].Daca este ireductibil in Z[X] si nu-l divide pe ,atunci F=f+pg este ireductibil in Z[X

Demonstratie . Sa remarcam ca grad (F) <n grad(f) si F este un polinom unitar.Sa presupunem ca ar exista F,FZ[X], astfel incat grad(F), grad (F 1 si F=FF. Trecand la polinoamele reduse modulo p,obtinem .Cum este ireductibil in Z[X] rezulta ca , unde n+n= n. Prin urmare : F=f+pg ;F=f+pg,unde g,gZ[X],grad(g) =ngrad (f) (caci F este unitar).

Deci f+pg=(f+pg)(f+pg), de unde obtinem:

g=fg+fg+pgg.Dar n,n>0 si din aceasta ultima relatie rezulta ca ,cu hZ[X] deci ar divide pe , contradictie.Atunci :n=n sau n=n, adica grad(F)=grad(F) sau grad(F)=grad(F), deci F este ireductibil in Z[X].

Aplicatii

1.Polinomul F(X)=(X +5(X+10X+5) este ireductibil in Z[X].

Solutie:

Intr-adevar, sa consideram f=X+2, g=X+10X+5.Atunci =X este ireductibil in Z[X] (neavand radacini in Z),iar =X nu se divide prin X in Z[X], deci F(X) este ireductibil in Z[X].

2. Fie p un numar prim de forma p=4k+3 si a,b Z,astfel incat p/a,p/b-1 si pnu divide a, pnu divide (b-1).Atunci polinomul F(X)=X+aX+b este ireductibil in Z[X].

Solutie :

Intr-adevar, avem F(X)=(X +pg, unde :

g=cX+d=[C (X +C(X +..+C(X

c=, d=. Atunci =X este ireductibil in Z[X],iar nu se divide prin , deoarece X+0 nu se divide prin =X in Z[X].

Din teorema lui Schönemann rezulta ca F(X) este ireductibil in Z[X].

Bibliografie :

[1.]Beju,A.E.,Beju,I.,Compendiu de matematica,Editura Stiintifica si Enciclopedica,Bucuresti,1983.

[2.] Nastasescu,C.,Nita,C.,Vraciu,C.,Bazele algebrei,vol.I, Editura Academiei, Bucuresti,1986.

[3.] Gazeta Matematica, nr 6,1985.