Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice


Acasa » referate » matematica
Functii reale de mai multe variabile reale

Functii reale de mai multe variabile reale




Functii reale de mai multe variabile reale

§.1.Functii reale de mai multe variabile reale

Structura topologica a spatiului Rn

Fie X . Se numeste distanta (metrica) pe X, o functie d:X X R, cu proprietatile:




x,yIX  d(x,y) 0 si d(x,y)=0 x=y ;

x,yIX  d(x,y) = d(y,x) ;

x,y,zIX  d(x,z)d(x,y) + d(y,z).

Perechea (X,d), cu X si d metrica pe X se numeste spatiu metric.

Pe aceeasi multimea X se pot defini diverse metrice, deci mai multe structuri de spatiu metric.

Fie (X,d) un spatiu metric, x0IX si numarul real, oarecare, r>0. Multimea

Br(x0)=

se numeste bila deschisa cu centrul x0 si raza r.

Se numeste bila inchisa cu centrul in x0 si raza r, multimea notata Br[x0] si definita prin:

Br[x0] = .

In Rn distanta dintre doua puncte x=(x1,x2,…,xn) si y=(y1,y2,..,yn) se poate defini ca fiind numarul real d(x,y) = . Aceasta se numeste distanta euclidiana dintre cele doua puncte. Se poate verifica usor ca d este o metrica pe Rn. Pentru n=1 distanta euclidiana este d(x,y)=, iar pentru n=2, d(x,y)=

Fie (X,d) spatiu metric si x0IX.Se numeste vecinatate a lui x0, orice submultime V X, pentru care exista r >0, astfel incat Br(x0) V.

Definitia 1.6. O submultime D X se numeste deschisa daca x0ID, r > 0 astfel incat Br(x0) D ( D este vecinatate pentru fiecare punct al sau).

Pentru Rn, cu n=1, o bila deschisa cu centrul in x0IR este un interval deschis simetric fata de x0, de forma (x0-r, x0+r) ; o bila inchisa este intervalul inchis [x0-r, x0+r].

Pentru n=2, bila deschisa este un disc circular cu centrul in x0 si raza r, iar bila inchisa contine si circumferinta impreuna cu discul.

Pentru n=3, bila deschisa cu centrul in x0IR si raza r este interiorul sferei cu centrul in x0 si raza r, bila inchisa este formata din sfera si interiorul ei.

Fie (X,d) spatiu metric si A X. Un punct xIA se numeste punct interior multimii A, daca r >0 astfel incat Br(x) A.

Toate punctele interioare multimii A formeaza interiorul lui A , care se noteaza .

Fie (X,d) spatiu metric si A X. Un punct xIX se numeste punct aderent multimii A, daca r > Br(x) A

Toate punctele aderente multimii A formeaza inchiderea lui A, notata .

Multimea notata se numeste frontiera ( bordul) lui A.

Un punct xIX, aderent multimii A, cu proprietatea

r > Br(x) A

se numeste punct de acumulare al lui A.

Multimea punctelor de acumulare pentru A se noteaza A’ si se numeste multimea derivata a lui A.

O submultime A a spatiului metric (X,d) se numeste marginita daca r >0 si x0IX, astfel incat A Br(x0).

O clasa importanta de spatii metrice sunt spatiile vectoriale normate.

Fie X/K spatiu vectorial. Functia :X R, cu proprietatile:

, xIX si x qV

lIK, xIX ;

, x,yIX.

se numeste norma pe X.

Un spatiu vectorial X impreuna cu o norma definita pe X se numeste spatiu normat.

Un spatiu vectorial normat este un spatiu metric cu distanta indusa de norma sa astfel: d(x,y)= , x,yIX.

Daca X= Rn, n 1, , x=(x1,x2,…,xn)IRn ; iar pentru n=1, , xIR; astfel Rn este un spatiu vectorial normat.

O functie f:A Rn R, care asociaza fiecarui vector x=(x1,x2,…,xn)IRn numarul real f(x1,x2,…,xn) se numeste functie reala de n variabile reale.

Exemple.

1.f:Rn R , f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a2x2+…+anxn, cu a1,a2,.., anIR se numeste functie liniara de n variabile reale sau functionala liniara.

2.f:A R2 R , f(x,y)= este o functie reala de doua variabile reale. Multimea maxima de definitie este A= R2 .

3.Functia Cobb-Douglas f:D R2 R,f(x,y)=Axby1-b definita pe D= cu constantele A>0, bI(0,1).Ea reprezinta legatura dintre doi factori de productie x si y si volumul eficientei productiei f(x,y) pentru diferite valori ale acestor factori. De obicei, x reprezinta suma de bani cheltuita pentru forta de munca, iar y este suma de bani cheltuita pentru mijloace fixe cladiri, utilaje si mijloace de productie). Functia f masoara produsul final si de aceea se numeste functie de productie.

Limite si continuitate pentru functiile reale

Fie functia reala de n variabile reale f:A Rn R si fie a un punct de acumulare pentru A.

Numarul lIR se numeste limita functiei f in punctul aIRn si se noteaza l=, daca pentru orice vecinatate U a lui l exista o vecinatate V a punctului a astfel incat xIV A , f(x)IU.

Fie functia f:A Rn R, aIA un punct de acumulare pentru A si lIR. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

Numarul l este limita functiei f in punctul a

Pentru e> d>0, astfel incat xIA, x a cu proprietatea <d T f(x) – l < e

Pentru orice sir (xn)nIN de puncte din A, xn a cu T .

Consecinta. Daca exista doua siruri (xn) si (xn’) cu aceeasi limita a, astfel incat sirurile de valori ale functiei f, (f(xn))n si (f(xn’))n au limite distincte sau cel putin unul dintre aceste siruri nu este convergent, atunci functia f nu are limita in punctul a.

Exemple.1. Fie functia f :R2 R prin f(x,y) =3x–2y. Punctul a=(-1,2) este punct de acumulare pentru R2. Vom considera un sir xn= (xn1, xn2) R2 convergent catre a. El este format din sirurile de numere (xn1) si (xn2) 2. Calculam limita sirului = = -7, folosind operatiile cu siruri de numere reale. .

Continuitatea functiilor reale

Fie functia f:A Rn R, si fie a IA. Functia f se numeste continua in punctul a IA, daca pentru orice vecinatate U a punctului f(a), exista o vecinatate a punctului aIA, astfel incat pentru orice x IV A , f(x)IU.

Functia f:A Rn R se numeste continua pe multimea A daca este continua in orice punct al multimii A.

Un punct xIA, in care functia f nu este continua se numeste punct de discontinuitate al functiei f.

Fie functia f:A Rn R si a IA.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente



1. Functia f este continua in a IA

2. Pentru e> d>0, astfel incat xIA, x a cu proprietatea <d T f(x) – f(a) < e

3.Pentru orice sir (xn)nIN de puncte din A, xn a cu , sirul de valori (f(xn))n este convergent si are .

Daca aIA, este in plus si punct de acumulare pentru A, atunci definitia continuitatii coincide cu definitia limitei si deci f este continua in a .

Derivabilitatea functiilor reale

Reamintim, pentru inceput, cateva notiuni legate de derivabilitatea functiilor reale de o variabila reala, cunoscute din liceu.

Fie functia f:D R R si x0ID D’. Spunem ca functia f are derivata in punctul x0 , daca exista in , (sau notata ).

Aceasta limita se numeste derivata functiei f in x0. Daca derivata f ‘(x0) este finita, atunci spunem ca functia f este derivabila in punctul x0. Functia f:D R R se numeste derivabila pe A D, daca este derivabila in orice punct xIA.

Daca functia f este devabila pe A D, se poate defini functia f :A R, x f (x), numita derivata functiei f.

Fie I,J R, intervale de numere reale, f:I J, g:J R. Daca f este derivabila in x0 si g este derivabila in y0=f(x0)IJ,atunci g f:I R este derivabila in x0 si

(gf)(x0)=g (f(x0)) f (x0).

Fie f:D R R. Un punct x0ID se numeste punct de minim (respectiv de maxim) local pentru f, daca exista o vecinatate a lui x0, VIV(x0), astfel incat f(x) f(x0) (respectiv f(x) f(x0)) xID V.

Un punct x0ID se numeste punct de extrem local, daca este punct de minim local sau maxim local.

Teorema lui Fermat

Fie f:I R R, I interval. Daca x0I este punct de extrem local pentru f si f este derivabila in x0 atunci f (x0)=0.

Fie f:I R R, I interval. Un punct x0I, in care f este derivabila si f (x0)=0 se numeste punct critic (sau stationar) pentru f.

Reciproca teoremei lui Fermat nu este in general adevarata.

Fie f:I R R, I interval, f continua pe I, x0II astfel incat f este derivabila pe I si si este finita. Atunci f este derivabila in x0 si

f (x0) =.

Derivate de ordin superior ale functiilor reale de o variabila reala

Fie functia f:I R R , I este un interval deschis, f derivabila pe I si x0II.

Daca f este functie derivabila intr-o vecinatate VIV(x0) si functia derivata f este derivabila in x0, atunci derivata functiei f in punctul x0 se numeste derivata de ordinul doi a functiei f in x0 si se noteaza:

f ”(x0) = (x0) (1)

Recursiv, se obtine derivata de ordinul n 2 : daca exista functia derivata de ordinul n–1 a functiei f intr-o vecinatate VIV(x0), notata f(n–1), si este derivabila in x0, atunci derivata sa in x0 se numeste derivata de ordin n a functiei f in punctul x0 si se noteaza

f (n)(x0) = [f (n –1)] ’(x0) = = (x0) (2)

Fie f,g :I R R, doua functii reale. Daca f si g sunt functii derivabile de ordinul n I N* in x0 II si a bIR, atunci:

i) functia af + bg:I R R este derivabila de ordinul n in x0 si are loc egalitatea:

(af + bg)(n)(x0) = af (n)(x0) + bg (n)(x0)  (3)

ii) functia f g:I R R este derivabila de ordinul n in x0 si

(f g)(n)(x0)= (4)

Daca f :I R R este derivabila pana la ordinul n+1 pe I, iar aII este un punct pentru care:

f '(a) = f '(a) =…= f (n-1)(a) = 0 si f (n)(a) (5)

i)daca n este par T a este punct de extrem local pentru f si anume:

a)daca f (n)(a) > 0 T a este punct de minim local pentru f;

b)daca f (n)(a) < 0 T a este punct de maxim local pentru f;

ii)daca n este impar atunci a nu este punct de extrem local pentru f.

Derivate partiale de ordinul I ale functiilor reale de mai multe variabile

Fie f : D Rk R, k 2, x0 = (, , …, )I D un punct fixat in D si x = (x1, x2, …, xk)ID un punct curent. Pentru k 2, notiunea de derivata nu mai poate fi introdusa ca in cazul k = 1.

Derivatele functiilor reale de mai multe variabile reale (derivatele partiale) se introduc cu ajutorul derivatei dupa directia unui versor.

Fie s = (s1, s2, …, sk) I Rk cu ||s|| = 1. Construim o functie g : R R

g(t) = f(x0 + ts) = f(x10 + ts1, x20 + ts2, …, xk0 + tsk), t I R, astfel incat x0 + ts I D si s I Rk. (6)

Deoarece, D Rk si x0 I Rk rezulta ca r > 0 astfel incat Br(x0) D si pentru acest r > 0 T functia g din (6) este bine definita pe intervalul (– r, r)

g: (– r, r) R, g(t) = f(x0+ts), ( ) t I (– r, r).

Functia f :D Rk R se numeste derivabila in x0ID, dupa directia versorului sIRk daca functia g : (– r, r) R, g(t) = f(x0 + ts), t I (– r, r)

este derivabila in t = 0, iar numarul

g ‘(0) = = (7)

se numeste derivata functiei f in punctul x0 dupa directia versorului s.

Daca notam x = x0 + tsID, t I (– r, r), x0 I D, s I Rk vectorul curent, atunci t x x0 si (10) devine:

, x – x0 = ts. (8)



Fie D Rk, x0ID. Functia f :D Rk R se numeste derivabila partial in punctul x0 ID in raport cu variabila xi, i = , daca f este derivabila in punctul x0 I D dupa directia versorului unitar ei = I Rk .

In acest caz, numarul notat:

(x0) = (x0) =(x0), i =

se numeste derivata partiala a functiei f in punctul x0, in raport xi, i = .

Rezulta: (x0) =(x0) =

si daca notam xi = xi0 + t, i = , daca t T xi xi0, i = si deci:

(x0) = =(x0), i = (9)

Functia f : D Rk R derivabila partial in raport cu variabila xi in fiecare punct din multimea D se numeste derivabila partial in raport cu variabila xi, i = pe multimea D.

Functia f se numeste derivabila partial in x0ID, daca este derivabila partial in raport cu toate variabilele sale in punctul x0.

Daca pentru fiecare i =, consideram functiile partiale fi : xi a f(x1, …, xk), in care sunt fixate componentele x1, …, xi-1, xi+1,…, xk ale vectorului x=(x1,…,xi,…, xk)ID, atunci definitia derivatei partiale a functiei f in raport cu componenta xi, i =, este aceeasi cu definitia derivatei functiei partiale fi, functie reala de variabila reala xi .

Pe baza aceste observatii, regulile de derivare de la functii de variabila reala se aplica si pentru derivatele partiale ale functiilor de mai multe variabile reale, cu mentiunea ca, pentru acestea din urma, atunci cand se calculeaza derivata partiala in raport cu variabila xi aceste reguli se aplica pentru aceasta variabila xi si se considera constante celelalte k–1 variabile.

Functia f : D Rk R, k 2, se numeste derivabila partial (de ordinul I) pe multimea D daca este derivabila partial in fiecare punct din D (in raport cu toate componentele vectorului x = (x1, …, xk) I D).

Aceasta inseamna ca ( )x = (x1, …, xk) I D si ( i = , exista derivatele partiale de ordinul intai (x), i = .

Se pot construi k functii, notate : D R, i = , prin x a (x), x I D, numite functiile derivate partiale de ordinul I ale functiei f .

Daca D Rk, k 2, atunci f:D R se numeste de clasa C1 pe multimea D (se noteaza fIC1(D)), daca f este derivabila partial pe multimea D si toate functiile derivate partiale (de ordinul I), ,…, :D R, sunt functii continue pe D.

Exemplu. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I ale functiei

f(x,y)=.

Derivatele partiale de ordinul I sunt:

; =.

Diferentiala de ordinul I a unei functii reale

Functia f : D Rk R se numeste diferentiabila in x0ID daca exista A=(A1,A2,…,Ak)IRk si o functie h:D R cu proprietatea ca: , astfel incat:

f(x) – f(x0) = <A, x–x0> + ||x – x0|| h(x), x I D.  (20)

Functia f se numeste diferentiabila pe multimea D daca este diferentiabila in fiecare punct din multimea D.

Daca f : D Rk R este diferentiablia in x0 I D Rk, atunci forma liniara

<A, x – x0> = A1 (x1 – x10) + A1 (x2 – x20) + … + Ak (xk – xk0) (21)

se numeste diferentiala functiei f in x0 si se noteaza:

df(x0) = <A, x – x0> = A1 (x1 – x10) + A1 (x2 – x20) + … + Ak (xk – xk0).  (22)

Se poate demonstra ca diferentiala unei functii intr-un punct x0ID este unica si depinde numai de punct si de functie.

Daca f : D Rk R este diferentiabila in x0 I D, atunci:

I) f este continua in x0;

II) f este derivabila partial in x0 .

Daca f :D Rk R este diferentiabila pe multimea D, atunci f este derivabila partial pe multimea D.

Fie f :D Rk R, x0ID. Daca f este derivabila partial pe o vecinatate VIV(x0), V D si toate functiile derivate partiale (de ordinul I) sunt continue in x0 ID, atunci f este diferentiabila in x0 ID.

Orice functie elementara este diferentiabila pe orice deschis din multimea ei de definitie.

Diferentiala functiei f este forma liniara

df(x0)(h) = (h1+ h2 + … + hk, h=( h1, h2,…,hn)IRk

Orice aplicatie liniara L:Rk R este diferentiabila pe Rk si pentru x0IRk, dL(x0)=L.

In particular, proiectiile pri: Rk R, (x1,x2,..,xk) xi ,1 i n, sunt diferentiabile si

d pri (x0)= pri, x0IRk

Vom nota diferentialele acestor proiectii cu dxi , 1 i n.

Fie f:D Rk R, o functie diferentiabila pe multimea deschisa D. Pentru orice punct x0ID are loc egalitatea

df(x0) = dx1 + dx2 + … + dxk. (23)

Daca interpretam, in mod formal, functia derivata partiala, ,( i=) ca un produs intre si f, atunci formula (23) a diferentialei functiei f in x0 se scrie:

df(x0) = (dx1 + dx2 + … + dxk) f(x0). (24)

Exemplu. Sa se stabileasca expresia diferentialei de ordinul I a functiei f definita prin f(x,y)=ln(x2+y2), (x,y) intr-un punct oarecare din domeniul de definitie si in punctul x0=(1,2).

; ;

df(x,y)= +; iar df(1,2)=+.

Derivate partiale si diferentiale de ordin superior ale functiilor

Fie f :D Rk R, k 2. Presupunem ca f este derivabila partial pe multimea D si exista : D R, functiile derivate partiale de ordinul I ale functiei f in raport cu toate componenetele xi, in fiecare x = (x1, …, xk)ID.

Daca toate functiile derivate partiale de ordinul I ale functiei f, , …, sunt functii derivabile partial pe multimea D, atunci functiile derivate partiale ale acestora se numesc derivatele partiale de ordinul doi ale functiei f pe D si se noteaza:

= i = , numite functiile derivate partiale de ordinul doi in raport cu xi de doua ori;

= ;= , i, j = , i j, numite derivatele partiale de ordinul doi mixte ale functiei f in raport cu xi, xj si respectiv xj, xi.

Recursiv, se definesc derivatele partiale de ordinul n 2 ale functiei f, ca fiind derivatele partiale de ordinul I ale functiilor derivate partiale de ordinul n – 1.

Teorema lui Schwartz

Fie f :D Rn R o functie de clasa C2(D) ( fIC1(D) si toate derivatele partiale de ordinul intai sunt de clasa C1(D)). Atunci

, aID, .

Exemplu.Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul al doilea ale functiei

f(x.y)=3x2y + 5, (x,y)IR2, y si sa se verifice teorema lui Scwartz.

; .

Calculam derivatele de ordinul al doilea:

=6y ; =6x -;

=; =6x -.

Fie f:D Rn R , derivabila partial de doua ori in punctul x0ID. Matricea H(x0)=IMn(R) se numeste matricea hessiana a functiei f in punctul x0.

Exemplu. Sa se scrie Hessiana functiei f:D R2 R, f(x,y)=ln in punctul x0=(2,1).



Vom calcula derivatele partiale de ordinul I si II ale acestei functii.

; =;;= -1

= ; = 0;

=;;0; 1.

Hessiana in x0 este  H(x0)==.

Functia f :D Rk R se numeste diferentiabila de ordinul n 2 in x0ID daca toate functiile derivate partiale de ordinul n–1 exista intr-o vecinatate VIV(x0) si acestea sunt diferentiabile in x0.

Daca f :D Rk R este diferentiabila de ordinul n in x0I D, atunci derivatele partiale de ordinul n in x0 exista si ordinea de derivare pana la ordinul n in x0 este indiferenta.

Daca f:D Rk R este derivabila partial de ordinul n intr-o vecinatate VIV(x0) si toate functiile derivate partiale de ordinul n sunt continue in x0, atunci f este diferentiabila de ordinul n in x0.

Diferentiala de ordinul n a functiei f :D R R se defineste recursiv prin egalitatea:

dnf(x0, y0) = d(dn –1(f))(x0, y0) = f(x0, y0) undereprezinta puterea simbolica a n-a pentru operatorul de diferentiere.

Exemplu.  d2f(x0,y0)=f(x0,y0)=

=.

In general, daca f : D Rk R, k 2, este diferentiabila de ordinul n in x0ID, atunci diferentiala de ordinul n a functiei f in x0 se defineste prin :

dnf(x0)=f(x0) =.

Formula lui Taylor pentru functii de doua variabile

Fie f:D R2 R si (a,b) un punct interior din D. Presupunem ca f este de n ori diferentiabila in punctul (a,b), deci exista toate derivatele de ordin n in (a,b) si sunt continue.

Polinomul :

Tn(x,y)=f(a,b)++ ++

+..+

se numeste polinomul Taylor de gradul n atasat functiei f in (a,b).

Rn(x,y)= f(x,y)–Tn(x,y) se numeste restul de ordinul n al formulei lui Taylor.

Restul Rn(x) estimeaza eroarea aproximarii functiei f(x,y) prin polinomul lui Taylor de ordin n, Tn(x,y).

Daca functia f:D R2 R este diferentiabila de n+1 ori intr-o vecinatate a punctului interior (a,b)ID, atunci pentru orice punct (x,y) din aceasta vecinatate exista un punct x h) situat pe segmentul cu capetele (x,y) si (a,b), astfel incat

Rn(x,y)= (x h

Formula lui Taylor de ordinul n corespunzatoare lui f se va scrie

f(x,y)=f(a,b)++

+ (x h

Fie f:D R2 R o functie care are derivate partiale de ordinul al doilea intr-o vecinatate a punctului (a,b). Atunci exista o functie w(x,y) continua in (a,b) si astfel incat

R2(x,y)=.

§.3.Extremele functiilor reale de mai multe variabile reale

Multe dintre problemele care apar in practica sunt legate de determinarea valorilor extreme ale unei functii reala ce depinde de mai multe variabile. De exemplu, o functie poate reprezenta volumul productiei, care depinde de mai multe variabile reale este bine sa cunoastem pentru ce valori ale variabilelor volumul productiei este maxim.Valorile maxime sau minime ale unei functii se numesc extremele functiei. Am definit mai sus, notiunea de punct de minim si respectiv maxim local.

Fie f:D R2 R si x0=(a,b)ID.

Teorema (Conditiile necesare pentru existenta unui extrem)

Daca functia f admite derivate partiale de ordinul intai intr-o vecinatate a punctului x0 si x0 este punct de extrem local pentru functia f, atunci derivatele partiale ale lui f sunt nule in acest punct, adica:

, .

Punctele determinate de solutiile reale ale sistemului de ecuatii , se numesc puncte critice sau stationare.

Teorema ( Conditia suficienta de extrem)

Functia f: D R2 R, care admite derivate partiale de ordinul al doilea pe D, are un punct de extrem local in punctul stationar (a,b)ID, daca:

<

Punctul (a,b) este punct de maxim local daca < 0 si este punct de minim local al functiei f daca >

Notam cu a11=, a12= si a22 si putem scrie Hessiana lui f in acest punct Hf(x0).

Rezulta ca punctul stationar (a,b) este punct de minim local pentru f daca determinantii D a11 > 0 si D2>0 si

este punct de maxim local daca D < 0 si D >

Exemplu. Sa se determine punctele de extrem local ale functiei

f(x,y)=3x3+y2-9x2-27x+2.

Vom determina mai intai punctele stationare ale lui f, rezolvand sistemul de ecuatii

.

Exista doua puncte stationare M1 si M2(3,0). Pentru a vedea care dintre ele este punct de extrem local pentru f, va trebui sa calculam derivatele de ordinul al doilea ale lui f.

; ; care sunt functii continue pe R2.

In punctul M1 >0, deci nu este extrem.

In punctul M2(3,0): -72<0 si =36>0, deci M2 este punct de minim local al functiei f. Valoarea minima a functiei f este f(3,0)= -79.

Fie functia f:D Rn R de n variabile reale, n>

Un punct stationar pentru functia f este o solutie a sistemului de n ecuatii cu n necunoscute:

Vom considera a=(a1,a2,…,an)IA un punct stationar al lui f.   Presupunem ca f admite derivate partiale de ordinul doi continue intr-o vecinatate a acestui punct si le vom nota cu aij, i,j.

Hessiana lui f in punctul a este matricea H=(aij), ale carei elemente sunt definite mai sus. Notam determinantii principali ai matricei H cu ;

D a11 si D2 Dn=det H.

Daca D > D > Dn>0 atunci a este un punct de minim local pentru functia f

daca D < D > D <0….( semnele alterneaza incepand cu minus), atunci a este punct de maxim local. In celelalte cazuri punctele stationare nu sunt puncte de extrem.

Metoda aceasta de studiu a punctelor de extrem local ale unei functii reale de mai multe variabile reale consta in calculul diferentialei de ordinul al doilea a functiei in fiecare punct critic si daca este o forma patratica pozitiv definita atunci punctul critic studiat este minim local ; iar daca este negativ definita atunci este maxim local al functiei respective.

Probleme propuse

Fie functia f:D R2 R, f(x,y)=arctg.Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul intai si doi si df(-1,2), df(-1,2)(3,-2); d2f(-1,2);d2f(-1,2)(3,-2).

Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul intai si doi ale functiilor:

a)      f(x,y)=xy+, definita pe multimea A=;

b)      f(x,y)=, definita pe multimea A=R2;

c)      f(x,y,z)=, definita pe multimea A=R3;

d)     f(x,y)=arctg, definita pe multimea A=;

e)      f(x,y)=ln (x+y2), definita pe multimea A=;

f)       f(x,y,z)=+zln(x+y), definita pe multimea A=.

Sa se afle extremele functiilor: f:D R

a)      f(x,y)=xy2ex-y ;

b)      f(x,y)=xy(x+y-3) ;

c)      f(x,y)=xy+;

d)     f(x,y)=xy ln(x2+y2) ;

e)      f(x,y,z)=x3+y2+z2+12xy+2z ;

f)       f(x,y,z)=x+.

Folosind formula lui Taylor pentru functia f:D R2 R f(x,y)=xy

in jurul punctului (1,1) sa se aproximeze printr-un numar cu 3 zecimale.








Politica de confidentialitate


.com Copyright © 2021 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




Algoritm pentru aflarea coeficientilor unui polinom atunci cand se cunosc radacinile polinomului
Proprietatile functiilor de autocorelatie
Varianta (fluctuatia) dispersa sau abaterea medie patratica
Transformari liniare simetrice
Calcul cu numere reprezentate prin litere si formule de calcul
Metoda Newton
Referat la matematica Cauchy Augustin Louis - BIBLIOGRAFIE
Subspatii invariante ale unui endomorfism





Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu