Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice


Acasa » referate » matematica
Premii definite prin functii de pierdere

Premii definite prin functii de pierdere




Premii definite prin functii de pierdere

Definitie. O functie L : A ) cu proprietatea ca L(x,x) = 0 se numeste functie de pierdere. Semnificatia valorii L(x,y) este :”ce pierd daca inlocuiesc valoarea corecta x cu valoarea y ”. Din acest punct de vedere este natural sa postulam ca functiile h a L(x,x+h) si h a L(x,x- h) sunt crescatoare in h

Exemple. 1. L(x,y) = x-y p, p > 0. Cazul p = 2 se numeste „functie de pierdere patratica”.

2. L(x,y) = ehx-ehy p cu p > 0, h >

3. L(x,y) = (x – y)2ehx cu h >

Definitie. Fie L o functie de pierdere si X 0 o variabila aleatoare (un risc). Numarul AL(X) care minimizeaza functia f(t) = E(L(X,t)) se numeste L- aproximantul lui X. Intuitiv: daca am inlocui variabila aleatoare cu constanta AL(X) pierderea medie ar fi minima. Nu intotdeauna un asemenea numar existasau, daca exista, nu intotdeauna este unic. Pentru a gasi formule de calcul, este suficient in multe cazuri sa presupunem riscul X marginit.

Exemple. . f(t) = E( X - t p) . Daca p > 1, f  este derivabila si f’(t) = pE( X-t p- sign(X-t)). Mai mult, functia f este strict convexa deci are un unic punct de minim. Acesta este solutia ecuatiei

E X-t p- sign(X-t)) = 0.

Numarul AL(X) se numeste in acest caz p-aproximantul lui X. Este interesant cazul p = 2: ecuatia (5.1) devine E(X-t) = 0 T t = A2(X) = EX. Deci 2-aproximantul este chiar media – lucru cunoscut sub numele de „proprietatea de optim a mediei”. Cazul p = 1 face exceptie: functia modul nu este derivabila iar ecuatia (5.1) devenita E(sign(X-t)) = 0 P(X > t) = P(X < t) s-ar putea sa nu aiba solutii. O analiza directa a functiei f(t) = E X-t ne arata ca minimul ei se atinge pentru t = Median(X) . Mediana lui X este locul unde functia de repartitie a lui X ia valoarea ½ sau cuantila de 50%. Definitia se poate da si riguros, vezi cursul general. Daca p < 1 lucrurile se complica deoarece functia f nu mai este convexa, nici derivabila, poate avea mai multe puncte de minim dupa cum se poate vedea studiind cazul X , p = ½ ; atunci




f(t) = are minime locale (nederivabile) in punctele t = xn.

Acum f(t) = E( ehX-eht p). Notand Y = ehX, u = eht obtinem functia E( Y – u p) . Daca p > 1 atunci solutia ecuatiei (5.1) este u = Ap(ehX) de unde gasim

AL(X) =

Formula este valabila si daca p = 1. Pentru cazul p = 2 obtinem aproximantul AL(X) = . Dar acesta este chiar prima exponentiala Hh(X) ! (vezi lectia !). Stim din inegalitatea lui Jensen ca prima exponentiala este un principiu de calcul realist, deci Hp(X) EX. Daca p =1 obtinem ceva legat de mediana. Pentru h mic obtinem aproximatia Hh(X) ≈ ≈ EX + hEX2/2

. f(t) = E((X – t)2ehX) = t2EehX – 2tE(XehX) . Este o functie de gradul 2, deci tmin = AL(X) = .

Acesta se numeste premiul Esscher calculat cu coeficientul de aversiune la risc h. Pentru valori mici obtinem neglijind termenii in h2,  aproximatia AL(X) ≈ ≈ (EX + hEX2)(1 – hEX) ≈ EX + hVar(X). Ultimul se foloseste in actuariat sub numele de premiul variantei.

Vom demonstra ca si premiul Esscher este un premiu realist. Ne bazam pe un rezultat mai general, anume

PROPOZITIA 5.1. Fie f,g doua functii avind aceeasi monotonie (sau ambele crescatoare sau ambele descrescatoare) si X o variabila aleatoare cu proprietatea ca variabilele aleatoare f(X), g(X) si f(X)g(X) au medie . Atunci

E(f(X)g(X)) Ef(X) Eg(X)

Demonstratie. Folosim urmatoarea formula a carei verificare o lasam cititorului:

LEMA 5.2. Fie X,Y doua variabile aleatoare i.i.d. si f,g doua functii masurabile cu proprietatea ca variabilele aleatoare f(X), g(X) si f(X)g(X) au medie . Atunci

E[(f(X)- f(Y))(g(X) – g(Y))] = 2[E(f(X)g(X)) - Ef(X) Eg(X)]

Daca f si g au aceeasi monotonie, atunci membrul sting din (5.4) este pozitiv, ceea ce incheie demonstratia. E(f(X)g(X)) Ef(X) Eg(X)

COROLAR 5.3. EX

Demonstratie. In (5.3) luam f(x) = x si g(x) = ehx

Observatie. Inegalitatea (5.3) are o interpretare foarte naturala: daca f si g au aceeasi monotonie, atunci variabilele aleatoare f(X) si g(X) trebuie sa fie pozitiv corelate! Alta consecinta a inegalitatii ar fi : daca X este o variabila aleatoare pozitiva si a,b > 0 , atunci EXa+b EXaEXb (luam f (x) = xa, g(x) = xb)








Politica de confidentialitate


.com Copyright © 2021 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




Thales din Milet
Linie de regresie (Regresie liniara)
Spatii vectoriale
Conditionarea problemei si stabilirea algoritmilor
Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai
Forme biliniare
Transformari ortogonale
ARII SI VOLUME





Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu