Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice
Acasa » referate » matematica
Premii definite prin functii de pierdere

Premii definite prin functii de pierdere




Premii definite prin functii de pierdere

Definitie. O functie L : A ) cu proprietatea ca L(x,x) = 0 se numeste functie de pierdere. Semnificatia valorii L(x,y) este :"ce pierd daca inlocuiesc valoarea corecta x cu valoarea y ". Din acest punct de vedere este natural sa postulam ca functiile h a L(x,x+h) si h a L(x,x- h) sunt crescatoare in h

Exemple. 1. L(x,y) = x-y p, p > 0. Cazul p = 2 se numeste "functie de pierdere patratica".

2. L(x,y) = ehx-ehy p cu p > 0, h >

3. L(x,y) = (x - y)2ehx cu h >

Definitie. Fie L o functie de pierdere si X 0 o variabila aleatoare (un risc). Numarul AL(X) care minimizeaza functia f(t) = E(L(X,t)) se numeste L- aproximantul lui X. Intuitiv: daca am inlocui variabila aleatoare cu constanta AL(X) pierderea medie ar fi minima. Nu intotdeauna un asemenea numar existasau, daca exista, nu intotdeauna este unic. Pentru a gasi formule de calcul, este suficient in multe cazuri sa presupunem riscul X marginit.

Exemple. . f(t) = E( X - t p) . Daca p > 1, f  este derivabila si f'(t) = pE( X-t p- sign(X-t)). Mai mult, functia f este strict convexa deci are un unic punct de minim. Acesta este solutia ecuatiei

E X-t p- sign(X-t)) = 0.

Numarul AL(X) se numeste in acest caz p-aproximantul lui X. Este interesant cazul p = 2: ecuatia (5.1) devine E(X-t) = 0 T t = A2(X) = EX. Deci 2-aproximantul este chiar media - lucru cunoscut sub numele de "proprietatea de optim a mediei". Cazul p = 1 face exceptie: functia modul nu este derivabila iar ecuatia (5.1) devenita E(sign(X-t)) = 0 P(X > t) = P(X < t) s-ar putea sa nu aiba solutii. O analiza directa a functiei f(t) = E X-t ne arata ca minimul ei se atinge pentru t = Median(X) . Mediana lui X este locul unde functia de repartitie a lui X ia valoarea ½ sau cuantila de 50%. Definitia se poate da si riguros, vezi cursul general. Daca p < 1 lucrurile se complica deoarece functia f nu mai este convexa, nici derivabila, poate avea mai multe puncte de minim dupa cum se poate vedea studiind cazul X , p = ½ ; atunci



f(t) = are minime locale (nederivabile) in punctele t = xn.

Acum f(t) = E( ehX-eht p). Notand Y = ehX, u = eht obtinem functia E( Y - u p) . Daca p > 1 atunci solutia ecuatiei (5.1) este u = Ap(ehX) de unde gasim

AL(X) =

Formula este valabila si daca p = 1. Pentru cazul p = 2 obtinem aproximantul AL(X) = . Dar acesta este chiar prima exponentiala Hh(X) ! (vezi lectia !). Stim din inegalitatea lui Jensen ca prima exponentiala este un principiu de calcul realist, deci Hp(X) EX. Daca p =1 obtinem ceva legat de mediana. Pentru h mic obtinem aproximatia Hh(X) ≈ ≈ EX + hEX2/2

. f(t) = E((X - t)2ehX) = t2EehX - 2tE(XehX) . Este o functie de gradul 2, deci tmin = AL(X) = .

Acesta se numeste premiul Esscher calculat cu coeficientul de aversiune la risc h. Pentru valori mici obtinem neglijind termenii in h2,  aproximatia AL(X) ≈ ≈ (EX + hEX2)(1 - hEX) ≈ EX + hVar(X). Ultimul se foloseste in actuariat sub numele de premiul variantei.

Vom demonstra ca si premiul Esscher este un premiu realist. Ne bazam pe un rezultat mai general, anume

PROPOZITIA 5.1. Fie f,g doua functii avind aceeasi monotonie (sau ambele crescatoare sau ambele descrescatoare) si X o variabila aleatoare cu proprietatea ca variabilele aleatoare f(X), g(X) si f(X)g(X) au medie . Atunci

E(f(X)g(X)) Ef(X) Eg(X)

Demonstratie. Folosim urmatoarea formula a carei verificare o lasam cititorului:

LEMA 5.2. Fie X,Y doua variabile aleatoare i.i.d. si f,g doua functii masurabile cu proprietatea ca variabilele aleatoare f(X), g(X) si f(X)g(X) au medie . Atunci

E[(f(X)- f(Y))(g(X) - g(Y))] = 2[E(f(X)g(X)) - Ef(X) Eg(X)]

Daca f si g au aceeasi monotonie, atunci membrul sting din (5.4) este pozitiv, ceea ce incheie demonstratia. E(f(X)g(X)) Ef(X) Eg(X)

COROLAR 5.3. EX

Demonstratie. In (5.3) luam f(x) = x si g(x) = ehx

Observatie. Inegalitatea (5.3) are o interpretare foarte naturala: daca f si g au aceeasi monotonie, atunci variabilele aleatoare f(X) si g(X) trebuie sa fie pozitiv corelate! Alta consecinta a inegalitatii ar fi : daca X este o variabila aleatoare pozitiva si a,b > 0 , atunci EXa+b EXaEXb (luam f (x) = xa, g(x) = xb)







Politica de confidentialitate







creeaza logo.com Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
PROIECT DE LECTIE CLASA A II-A, Educatie plastica, Tehnica marmorata
PROIECT DIDACTIC 5-7 ani activitate matematica - „Cum este si cum nu este aceasta piesa”
Proiect Circuite Digitale
Organizarea si conducerea procesului tehnologic proiectat

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
LUCRARE DE DIPLOMA - Rolul asistentului medical in ingrijirea pacientului cu A.V.C.
Spatiul romanesc, intre diplomatie si conflict in Evul Mediu
Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
Lucrare de diploma Facultatea de Textile – Pielarie - Tehnologia confectiilor din piele si inlocuitori - PROIECTAREA CONSTRUCTIV TEHNOLOGICA A UNUI PR

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
Lucrare de licenta educatie fizica si sport - sistemul de selectie in jocul de handbal pentru copii de 10-11 ani in concordanta cu cerintele handbalul
Lucrare de licenta - cercetare si analiza financiara asupra deseurilor de ambalaje la sc.ambalaje sa
LUCRARE DE LICENTA - Asigurarea calitatii la firma Trans

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
Lucrare atestat informatica - „administrarea gradinii botanice”
Lucrare atestat Tehnician operator tehnica de calcul - Sursa de tensiune cu tranzistoare npn
ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia

Thales din Milet
Linie de regresie (Regresie liniara)
Spatii vectoriale
Conditionarea problemei si stabilirea algoritmilor
Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai
Forme biliniare
Transformari ortogonale
ARII SI VOLUME



Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu