Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Transformari ortogonale

Transformari ortogonale



Transformari ortogonale

Fie E, E doua K - spatii euclidiene.

DEFINITIA 1. O transformare liniara F I L (E, E ) se numeste ortogonala daca pastreaza produsul scalar, adica




(F (),F ()) = (), x,y I E.

Notatie. Lort (E, E

Exemple. 1. Transformarea identica I : E E este ortogonala deoarece pentru orice I E avem I () = si conditia (1) este deci indeplinita.

2. Transformarea F : E E care asociaza fiecarui I E, opusul sau , este ortogonala deoarece din relatia de definitie F () = pentru orice I E, rezulta conditia (1).

TEOREMA 1. Conditia necesara si suficienta ca o transformare liniara F IL (E, E ) sa fie ortogonala este ca ea sa pastreze lungimea vectorilor, adica

|| F () || = || ||, I E.

Demonstratie. Daca F I Lort (E, E ) atunci (F (),F ())=() (conform cu (1)),din care rezulta || F () || = ||||, I E.

Reciproc, daca || F() || = ||||, I E, consideram

F F

F F F F F (( F F )2 - -F F ( F F ). 

Consecinta 1. Orice transformare ortogonala este injectiva.

Intradevar, daca F I L (E, E ), din F () = 0E rezulta, conform cu relatia (2), ca

|||| = || F () || = || 0E || = 0, adica Ker (F ) = , adica F injectiva (cf.T.1.3.6).

TEOREMA 1. (1) Produsul a doua transformari ortogonale este tot o transformare ortogonala.

Inversa unei transformari ortogonale surjective este tot o transformare ortogonala.

Demonstratie. (1) Fie F : E E si F : E E doua transformari ortogonale si F F F : E E produsul lor. Dupa proprietatea1.3.3.1, F este liniara si tinand seama de relatia (2), avem || F () || = || F F ()) || = || F () || = ||||, I E deci F este ortogonala.

Fie F ILort(E, E ), F surjectiva , atunci F este bijectiva si deci exista F : E E care este, conform proprietatii 1.3.3.5, transformare liniara. Punand F (v’) = v sau echivalent v F (v) si tinand seama de (2) obtinem || F (v ) || = || v || = || F (v) || = || v v I E adica F este ortogonala.





Din Teorema 1.5.2. rezulta

Consecinta 1. Operatia de compunere determina pe multimea endomorfismelor ortogonale surjective ale unui spatiu vectorial euclidian E pe el insusi o structura de grup.

Acest grup se numeste grupul ortogonal al spatiului euclidian E si-l vom nota G O (E). El este subgrup al grupului liniar G L (E) - grupul format de multimea endomorfismelor lui E.

TEOREMA 1.5.3. Conditia necesara si suficienta ca F I Lort (E, E ) este ca matricea M(F ; B,B ) a transformarii F in raport cu orice baze ortonormate B si B din E, respectiv, E sa verifice egalitatea

Mt(F ; B,B M(F ; B,B ) = In ,

unde In este matricea unitate de ordinul n = dimE.

Demonstratie. Presupunem ca F ILort(E, E ) atunci I E, || F () || = ||||, rezulta (F (),F ())=() atunci [F ()]tB F ()]B =[]tB[]B si, cum [F ()]B = M(F ; B,B )[]B ,rezulta []tB Mt(F ; B,B M(F ; B,B []B = []tB In []B , de unde rezulta (3).

Reciproc, presupunem adevarata relatia (3) si parcurgand in sens invers demonstratia precedenta rezulta || F () || = ||||, adica F I Lort (E, E

DEFINITIA 1. Matricea patrata A I M (n, n, R) se numeste ortogonala daca satisface relatia

(4) A At = At A = In .

Consecinte 1.5.3. (1) Daca F ILort(E, E) atunci M(F ; B) este matrice ortogonala.

Daca A este matrice ortogonala, atunci det A =

Daca A si B sunt doua matrice ortogonale, atunci si matricea A B este o matrice ortogonala.

Inversa unei matrice ortogonale este o matrice ortogonala.

Daca A si B sunt matrice ortogonale, atunci si matricea este ortogonala.

Demonstratie. (1) este evidenta.

Tinand seama de proprietatea ca det (A B) = det (A) det (B), avem din relatia (4)

det (A At) = det In T detA det At = 1

si, cum det A = det At, rezulta (det A)2 = 1 T det A =

Din ipoteza A At = In, B Bt = In , rezulta

(AB) (AB)t = (AB) (BtAt)= A (BBt) At = A In At = AAt = In .

Fie B = A-1 si AAt = In. Avem succesiv

B Bt = (A-1) (A-1)t = A-1 (At)-1 = (A At)-1 = In-1 = In.

Tinand seama de (3), avem pe rand

Observatie 1. In C.1.5.3.(5) nu este necesar ca cele doua matrice sa fie de acelasi ordin.

DEFINITIA 1. Un endomorfism ortogonal F se numeste rotatie daca

detM(F ; B)= 1, unde M(F ; B) este matricea lui F asociata bazei B a spatiului vectorial.








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




TRIUNGHIUL - Test 1
CONCEPTE PROBABILISTICE DE BAZA ALE SECURITATII SISTEMELOR
Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai
PREMISELE FORMALIZARII RISCULUI
REPARTITIA NORMALA MULTIDIMENSIONALA
Sisteme de ecuatii si transformari liniare. (Regula lui Cramer)
Transformari ortogonale
Transformari sinusoidale – transformata Fourier - Probleme rezolvate




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu