Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Produs scalar. Norma. Distanta

Produs scalar. Norma. Distanta



Produs scalar. Norma. Distanta

Elementele introduse nu permit studierea unor aspecte ale spatiilor vectoriale legate de notiunile de unghi si de distanta. Aceasta se poate face inzestrand spatiul vectorial cu un tip de produs numit produs scalar.

DEFINITIA 1. Fie K = C , R si V un K - spatiu vectorial. O aplicatie ( · | · ): V× V K se numeste produs scalar daca:

i) aplicatia este liniara ,

ii) , (daca K = R , atunci ), adica

(|)(|)(|),

iii) .

Notatii

Observatii 1. .

Intr - adevar, , deci .

care este imediata din Definitia 1.2.1 iii) si Observatia 1.2.1.

C,

Intr-adevar

Exemple. 1. Fie K = C si V = Kn =K, .

Pentru orice Kn si Kn punem

Daca K = R avem

In spatiul vectorial al functiilor continue pe intervalul

[a, b] R, produsul scalar este

DEFINITIA 1. Un spatiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu vectorial euclidian.

TEOREMA 1.2.1 (Inegalitatea lui Schwarz sau inegalitatea lui Cauchy - Buneakovski)

. (1.2.1)

Demonstratie. Folosind Observatia 1.2.1) si proprietatea i) din Definitia 1.2.1, avem

C.

In particular, pentru cu , inegalitatea de mai sus devine

  .

Deci

DEFINITIA 1. Fie K = C, R si V un K - spatiu vectorial. O aplicatie ║ ∙║R se numeste norma daca

(i) ,

(ii) K si (omogenitate),

(iii) , ( inegalitatea triunghiului).

Observatia 1.

Intradevar, folosind proprietatile (i), (ii), (iii) obtinem

deci

DEFINITIA 1. Perechea se numeste spatiu normat.

TEOREMA 1.2.2 Orice produs scalar determina o norma prin egalitatea

Demonstratie. Verificam cele trei axiome din Definitia 1.2.3 :

(conform axiomei (iii) din Def. 1.2.1).

.

Deci

si folosind inegalitatea lui Schwarz obtinem

Prin urmare

Exemple de norme pe Kn

( K=C ) ;

( K=R ) ;

;

.

Precizari. 1. Norma lui se mai numeste si lungimea vectorului .

2. Norma din exemplul 1 (sau 2) se numeste norma euclidiana pe Kn.

Cu ajutorul normei se poate da urmatoarea definitie:

DEFINITIA 1.2.5 Fie En un spatiu vectorial euclidian de dimensiune n. Un vector , cu proprietatea ca , se numeste vector unitate sau versor

Observatii 1. 1. Cu aceasta notiune, pentru , avem

.

2. Cu ajutorul normei, inegalitatea Cauchy - Schwarz se mai scrie

(1.2.1’)

sau, daca , ,

. (1.2.1”)

DEFINITIA 1. Se numeste unghi neorientat al vectorilor x si y numarul dat de relatia

DEFINITIA 1.2.7 Fie . Se numeste metrica sau distanta o functie d: En×En R care are proprietatile:

D1. (pozitivitate);

D2. (simetrie);

D3. (inegalitatea triunghiului).

DEFINITIA 1. Un spatiu vectorial inzestrat cu o distanta se numeste spatiu metric.

DEFINITIA 1. Distanta definita cu ajutorul normei euclidiene se numeste distanta euclidiana.

TEOREMA 1.2.3 Fie normat cu norma euclidiana. Functia reala R definita prin

este o distanta (metrica) pe En.

Demonstratie. Evidenta prin verificarea axiomelor din Definitia 1.2.7.





loading...




Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE CLASA: a X a EDUCATIE MUZICALA - OPERA IN GERMANIA SI RUSIA
 PROIECT DIDACTIC 3-5 ani Limba si comunicare - Strugurele, de Maria Gaitan
 Proiect instalatii electrice - Sa se proiecteze instalatia electrica si de forta a unei microintreprinderi la alegerea studentului
 PROIECT - Ingineria reglarii automate - sistemul de reglare automata a unei actionari cu motor electric

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 LUCRARE DE DIPLOMA - Rolul asistentului medical in ingrijirea pacientului cu A.V.C.
 Relatiile diplomatice dintre Romania si Austro- Ungaria din a doua jumatate a secolului al XIX-lea
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
 Lucrare de licenta educatie fizica si sport - studiu asupra imbunataȚirii motricitaȚii in lectia de educatie fizica la clasele a v-a de la &
 Lucrare de licenta ecologie si protectia mediului - aspecte ecologice privind fauna de orthoptere si mantide din parcul national muntii macinului
 LUCRARE DE LICENTA - Asigurarea calitatii la firma Trans

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT INFORMATICA - GESTIONAREA STOCULUI UNEI FARMACII
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 Evidenta a clientilor dar si a serviciilor in Visual Fox pro 9 - Lucrare de atestat
 Lucrare atestat Tehnician in turism - CALITATEA SERVICIILOR TURISTICE




Ecuatii diferentiale de ordinal intai
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV
Transformari sinusoidale – transformata Fourier - Probleme rezolvate
Produs scalar. Norma. Distanta
Binomul lui Newton. Puterea unui polinom
Conditionarea problemei si stabilirea algoritmilor
TRANSFORMARI LINIARE
FORMULE




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu