Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice
Acasa » scoala » matematica
Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi

Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi


Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi

Definitia 1.1. Fie (Mi)iII o familie nevida de multimi. Numim produsul direct  al acestei familii un dublet (P,(pi)iII) unde P este o multime nevida iar (pi)iII este o familie de functii pi :P Mi pentru orice iII astfel incat este verificata urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru oricare alt dublet (P ,(p i)iII) format din multimea P si familia de functii p : P Mi (iII ), exista o unica functie u : P P astfel incat piu = p i pentru orice iII.

Teorema 1.2. Pentru orice familie nevida de multimi (Mi)iII exista produsul sau direct care este unic pana la bijectie.

Demonstratie: Unicitatea produsului direct. Daca P,(pi)iII si P′,(p′i)iII sunt doua produse directe ale familiei (Mi)iII, conform proprietatii de universalitate exista u : P P si v : P P astfel incat pi u = p i si piv = pi pentru orice iII .

Deducem imediat ca pi (uv) = pi iar p i(vu) = p i pentru orice iII. Cum si  pi1p=pi, p i1p = p i pentru orice iII, datorita unicitatii din proprietatea de universalitate deducem ca uv = 1p si vu = 1p , adica u este bijectie.

Existenta produsului direct. Fie P = iar pi : P Mi, pi(f) = f(i) pentru iII si fIP.

Se probeaza imediat ca dubletul P,(pi)iII verifica proprietatea de universalitate a produsului direct de multimi (Mi)iII g

Observatie: Dubletul P, (pi)iII ce reprezinta produsul direct al familiei (Mi)iII de multimi se va nota prin Mi sau Mi.

In cazul in care I este finita, produsul direct se va numi si produs cartezian.

Pentru jII, pj : Mi Mj poarta numele de a j - a proiectie. De multe ori prin produs direct vom intelege doar multimea subiacenta P (neglijand deci mentionarea proiectiilor).

Deoarece orice functie f : I Mi este determinata de f(i) pentru orice iII, notand f(i)=xiII, vom scrie formal:

Mi

Astfel, pj :Mi Mj este definita  prin pj (xi)iII = xj, jII. Fie acum (Mi)iII si (M i)iII doua familii nevide de multimi iar (fi)iII o familie de aplicatii fi:Mi M i (iII

Aplicatia f :Mi M i f((xi)iII) = (fi(xi))iII pentru orice (xi)iII IMi poarta numele de produsul direct al familiei (fi)iII de aplicatii; vom nota f = fi sau f=fi.



Aplicatia f este unica cu proprietatea ca p if = fi pi   pentru orice iII

Se verifica imediat ca = si ca daca mai avem o familie de multimi (M i)iII si o familie (f)iII de aplicatii cu f:M i M i (iII), atunci  ( f ◦ fi) = (f)◦(fi).

In cadrul teoriei multimilor, notiunea duala celei de produs direct al unei familii de multimi este aceea de suma directa.

Definitia 1.3. Numim suma directa a familiei (nevide) (Mi)iII de multimi, un dublet (S,(ai)iII format dintr-o multime nevida S si o familie de aplicatii ai:Mi S(iII) ce verifica urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru oricare alta multime S′ si familie (a i)iII de aplicatii cu ai :Mi S′(iII), exista o unica aplicatie u:S S′ a. i. uai ai pentru orice iII

Teorema 1.4. Pentru orice familie (Mi)iII de multimi exista si este unica pana la o bijectie suma sa directa.

Demonstratie: Unicitatea sumei directe se probeaza analog ca in cazul produsului direct.

Pentru a proba existenta, pentru fiecare iII, consideram =x si S=(observam ca pentru i j, = ). Definind pentru orice iII a: Mi S prin a (x) = (x, i) (xIMi) se verifica imediat ca dubletul (S, (a)iII) este suma directa a familiei (Mi)iII g

Observatie: Suma directa a familiei  (Mi)iII o vom nota prin (ea mai poarta numele si de reuniune disjuncta a familiei (Mi )iII

Aplicatiile ( )se vor numi injectiile canonice (ca si in cazul produsului direct - de multe ori prin suma directa vom intelege doar multimea subiacenta, injectiile canonice subintelegandu-se).

Analog ca si in cazul produsului direct, daca avem o familie de aplicatii (fi)iII cu fi : Mi M′i (iII), atunci aplicatia f : definita prin f((x,i))=(fi(x),i) pentru orice iII si xIMi este unica aplicatie cu propietatea ca a ifi = fai pentru orice iII; vom nota f =fi si vom numi pe f suma directa a aplicatiilor (fi)iII.

Se probeaza imediat ca iar daca mai avem o familie (f)iII cu f :M′i M′′i (iII), atunci:

(fi fi fi )





Politica de confidentialitate


creeaza logo.com Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.