Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice
Acasa » referate » matematica
Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi

Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi




Produsul direct (suma directa) a unei familii de multimi

Definitia 1.1. Fie (Mi)iII o familie nevida de multimi. Numim produsul direct  al acestei familii un dublet (P,(pi)iII) unde P este o multime nevida iar (pi)iII este o familie de functii pi :P Mi pentru orice iII astfel incat este verificata urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru oricare alt dublet (P ,(p i)iII) format din multimea P si familia de functii p : P Mi (iII ), exista o unica functie u : P P astfel incat piu = p i pentru orice iII.

Teorema 1.2. Pentru orice familie nevida de multimi (Mi)iII exista produsul sau direct care este unic pana la bijectie.

Demonstratie: Unicitatea produsului direct. Daca P,(pi)iII si P′,(p′i)iII sunt doua produse directe ale familiei (Mi)iII, conform proprietatii de universalitate exista u : P P si v : P P astfel incat pi u = p i si piv = pi pentru orice iII .

Deducem imediat ca pi (uv) = pi iar p i(vu) = p i pentru orice iII. Cum si  pi1p=pi, p i1p = p i pentru orice iII, datorita unicitatii din proprietatea de universalitate deducem ca uv = 1p si vu = 1p , adica u este bijectie.

Existenta produsului direct. Fie P = iar pi : P Mi, pi(f) = f(i) pentru iII si fIP.

Se probeaza imediat ca dubletul P,(pi)iII verifica proprietatea de universalitate a produsului direct de multimi (Mi)iII g

Observatie: Dubletul P, (pi)iII ce reprezinta produsul direct al familiei (Mi)iII de multimi se va nota prin Mi sau Mi.

In cazul in care I este finita, produsul direct se va numi si produs cartezian.

Pentru jII, pj : Mi Mj poarta numele de a j - a proiectie. De multe ori prin produs direct vom intelege doar multimea subiacenta P (neglijand deci mentionarea proiectiilor).

Deoarece orice functie f : I Mi este determinata de f(i) pentru orice iII, notand f(i)=xiII, vom scrie formal:

Mi

Astfel, pj :Mi Mj este definita  prin pj (xi)iII = xj, jII. Fie acum (Mi)iII si (M i)iII doua familii nevide de multimi iar (fi)iII o familie de aplicatii fi:Mi M i (iII

Aplicatia f :Mi M i f((xi)iII) = (fi(xi))iII pentru orice (xi)iII IMi poarta numele de produsul direct al familiei (fi)iII de aplicatii; vom nota f = fi sau f=fi.



Aplicatia f este unica cu proprietatea ca p if = fi pi   pentru orice iII

Se verifica imediat ca = si ca daca mai avem o familie de multimi (M i)iII si o familie (f)iII de aplicatii cu f:M i M i (iII), atunci  ( f ◦ fi) = (f)◦(fi).

In cadrul teoriei multimilor, notiunea duala celei de produs direct al unei familii de multimi este aceea de suma directa.

Definitia 1.3. Numim suma directa a familiei (nevide) (Mi)iII de multimi, un dublet (S,(ai)iII format dintr-o multime nevida S si o familie de aplicatii ai:Mi S(iII) ce verifica urmatoarea proprietate de universalitate:

Pentru oricare alta multime S′ si familie (a i)iII de aplicatii cu ai :Mi S′(iII), exista o unica aplicatie u:S S′ a. i. uai ai pentru orice iII

Teorema 1.4. Pentru orice familie (Mi)iII de multimi exista si este unica pana la o bijectie suma sa directa.

Demonstratie: Unicitatea sumei directe se probeaza analog ca in cazul produsului direct.

Pentru a proba existenta, pentru fiecare iII, consideram =x si S=(observam ca pentru i j, = ). Definind pentru orice iII a: Mi S prin a (x) = (x, i) (xIMi) se verifica imediat ca dubletul (S, (a)iII) este suma directa a familiei (Mi)iII g

Observatie: Suma directa a familiei  (Mi)iII o vom nota prin (ea mai poarta numele si de reuniune disjuncta a familiei (Mi )iII

Aplicatiile ( )se vor numi injectiile canonice (ca si in cazul produsului direct - de multe ori prin suma directa vom intelege doar multimea subiacenta, injectiile canonice subintelegandu-se).

Analog ca si in cazul produsului direct, daca avem o familie de aplicatii (fi)iII cu fi : Mi M′i (iII), atunci aplicatia f : definita prin f((x,i))=(fi(x),i) pentru orice iII si xIMi este unica aplicatie cu propietatea ca a ifi = fai pentru orice iII; vom nota f =fi si vom numi pe f suma directa a aplicatiilor (fi)iII.

Se probeaza imediat ca iar daca mai avem o familie (f)iII cu f :M′i M′′i (iII), atunci:

(fi fi fi )







Politica de confidentialitate







creeaza logo.com Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 Folosirea altor instrumente de evaluare (investigatia, proiectul, protofoliul)
 PROIECT DIDACTIC - Cunoasterea numarului cinci
 Proiect iluminat electric si instalatii
 Organizarea si conducerea procesului tehnologic proiectat

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 PROIECT DE DIPLOMA CHIRURGIE ORO-MAXILO-FACIALA - SUPURATIILE LOJELOR PROFUNDE DE ETIOLOGIE ODONTOGENA
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma Facultatea de Textile Pielarie - Tehnologia confectiilor din piele si inlocuitori - PROIECTAREA CONSTRUCTIV TEHNOLOGICA A UNUI PR

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta educatie fizica si sport - studiu asupra imbunataȚirii motricitaȚii in lectia de educatie fizica la clasele a v-a de la &
 Lucrare de licenta - cercetare si analiza financiara asupra deseurilor de ambalaje la sc.ambalaje sa
 LUCRARE DE LICENTA MANAGEMENT CRESTEREA VANZARILOR PRIN METODA IMBUNATATIRII SERVICIILOR CATRE CLIENTI

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 ATESTAT LA INFORMATICA - Baza de date relationala aplicata intr-o biblioteca scolara
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 GENERATOR DE TESTE GRILA - Proiect atestat Visual FOX PRO
 Proiect atestat - comercializarea produselor turistice balneare in statiunea sangeorz - bai

Limite de functii reale de o variabila reala
Determinantul
Cercetari Operationale si Teoria Deciziei - Probleme de programare liniara
Erorile functiilor trigonometrice
Fisa de lucru - progresii geometrice
Campuri scalare, campuri vectoriale, derivata dupa directie, gradient, rotor, divergenta
Aplicatii ale portilor logice
Modele parametrice si modele neparametrice



Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu