Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice
Acasa » referate » matematica
Relatii binare pe o multime

Relatii binare pe o multime




Relatii binare pe o multime

Definitia 2.1. Numim relatie binara pe multimea M orice submultime a produsului cartezian M M.

Vom nota prin Rel (M) multimea relatiilor binare ale lui M.

Relatiile DM (numita si diagonala produsului cartezian MM), ca si M = MM fac parte din Rel (M); orice relatie din Rel (M) diferita de DM si M se zice netriviala.

Pentru r I Rel (M) definim :

r si

r r (r r se zice compunerea relatiilor r si r ). Se verifica imediat ca (Rel(M), ) este monoid in care elementul neutru este DM r~ nu este inversul lui r fata de compunerea relatiilor binare

Pentru Rel(M) si nZ definim:

daca  n>0

 

daca  n<0

 

daca  n=0

 

Daca m, n I si r I Rel (M) atunci ( rm)n = rm·n iar rm rn rm+n. De asemenea, daca r r I Rel (M) si r r , atunci r r )~ si r d r d pentru orice d I Rel (M) iar (r d d p

Definitia 2.2. Fie r I Rel (M). Vom spune despre r ca este:

i) reflexiva daca DM r

ii) simetrica daca r r

iii) antisimetrica daca r r DM

iv) tranzitiva daca r r

v) totala daca r r M

O relatie r IRel (M) care este simultan reflexiva, simetrica si tranzitiva se zice relatie de echivalenta pe M. Vom nota prin Echiv(M) multimea relatiilor de echivalenta de pe M; evident Echiv (M) Rel (M).

Daca r IEchiv (M), atunci r r si r = r iar daca (ri)iII este o familie de relatii de echivalenta de pe M, atunci ri IEchiv (M).

Propozitia 2.3. Fie r, rI Echiv (M). Atunci:

i) r r I Echiv(M) daca si numai daca r r = r r

ii) r r I Echiv (M) daca si numai daca rr, rr r r  Demonstratie:

i) Daca r r IEchiv (M), atunci (r r r r si cum (r r r r = r r deducem ca r r r r Reciproc, sa presupunem ca r r r r . Cum DM r si DM r deducem ca DM r r , adica r r este reflexiva.

Din r r r r deducem ca (r r r r r r r r adica r r este simetrica.

De asemenea, (r r r r r r r r r r r r adica r r este si tranzitiva, deci r r I Echiv (M).

Sa remarcam ca in acest caz r r2 = ρ .

ii) Totul rezulta din observatia ca daca r r I Rel (M), atunci

r r ) ˛ = r r r r r r g



Propozitia 2.4. Fie r I Rel (M) si q DM r r . Atunci :

i) q este cea mai mica relatie reflexiva si simetrica ce contine pe r

ii) = q este cea mai mica relatie de echivalenta ce contine pe r

(deci este relatia de echivalenta generata de r

Demonstratie:

i) Evident r q iar daca r este o alta relatie reflexiva si simetrica astfel incat r r atunci, cum DM r si r r r deducem ca q r

ii) Din i) deducem ca q este reflexiva si simetrica. Cum (q) q)= q deducem ca pentru orice nIN q este simetrica. Atunci rezulta imediat ca si este simetrica.

Pentru tranzivitate, fie (x, y), (y, z) I. Exista deci m, n I N astfel incat (x, y) I rm si (y, z) I rn. Atunci (x, y) I r r r si acum totul este clar. g

Definitia 2.5. Fie rIEchiv (M) si x I M. Multimea x r poarta numele de clasa de echivalenta a lui x relativa la r (sau modulo r), iar M r poarta numele de multimea cat (sau factor) a lui M prin r

Propozitia 2.6. Fie r I Echiv (M). Atunci:

i) x I x r

ii)    (x r M

iii)  x r y r daca si numai daca (x, y) Ir

iv)   Daca x yIM, atunci x r y r sau (x r (y r

Aplicatia p : M M r p x x r pentru orice xIM poarta numele de surjectia canonica a lui M pe multimea factor M r







Politica de confidentialitate







creeaza logo.com Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
PROIECT DE LECTIE CLASA A II-A, Educatie plastica, Tehnica marmorata
PROIECT DIDACTIC 5-7 ani activitate matematica - „Cum este si cum nu este aceasta piesa”
Proiect Circuite Digitale
Organizarea si conducerea procesului tehnologic proiectat

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
LUCRARE DE DIPLOMA - Rolul asistentului medical in ingrijirea pacientului cu A.V.C.
Spatiul romanesc, intre diplomatie si conflict in Evul Mediu
Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
Lucrare de diploma Facultatea de Textile – Pielarie - Tehnologia confectiilor din piele si inlocuitori - PROIECTAREA CONSTRUCTIV TEHNOLOGICA A UNUI PR

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
Lucrare de licenta educatie fizica si sport - sistemul de selectie in jocul de handbal pentru copii de 10-11 ani in concordanta cu cerintele handbalul
Lucrare de licenta - cercetare si analiza financiara asupra deseurilor de ambalaje la sc.ambalaje sa
LUCRARE DE LICENTA - Asigurarea calitatii la firma Trans

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
Lucrare atestat informatica - „administrarea gradinii botanice”
Lucrare atestat Tehnician operator tehnica de calcul - Sursa de tensiune cu tranzistoare npn
ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia

Proprietatile functiilor de autocorelatie
Vectori proprii. Valori proprii. Definitii. Proprietati
Proiect de lectie Matematica - Probleme care pot fi rezolvate prin metoda grafica (figurativa)
Conversia la o locatie de alte dimensiuni
Estimare spectrala si analiza timp-frecventa in matlab
Aplicatii la Criteriul integral al lui Cauchy
ASUPRA UNUI CRITERIU DE IREDUCTIBILITATE IN INELUL POLINOAMELOR
Solutia generala. Curbe integrale



Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu