Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Relatii de congruenta. Teoremele de izomorfism.

Relatii de congruenta. Teoremele de izomorfism.



Relatii de congruenta. Teoremele de izomorfism

Definitia 1. Fie A o algebra de tip t = ( n1, n2, , no (t

Numim relatie de congruenta pe A orice relatie q I Echiv (A ) ce verifica asa zisa proprietate de substitutie : 



Pentru fiecare i I , daca ( aj, aj I q pentru j = 1, 2, ni, atunci (fi (a1, ), fi (a ))I q

Vom nota prin Con (A) multimea congruentelor lui A (evident DA A I Con(A))

Exemplu. Fie A, B algebre de acelasi tip t iar f I Hom (A, B). Nucleul lui f, notat prin Ker(f) se defineste ca fiind relatia binara de pe A:(a, a IKer(f) f(a)=f(a

Propozitia Daca f I Hom (A, B) atunci Ker (f) I Con (A).

Demonstratie: Fie 1 i t) si ( aj, a j I Ker (f) pentru 1 j ni ; atunci f(aj)=f(a j Deducem imediat ca fi(f (a1), , f ()) = fi(f(a′1), , f( f(fi(a1, ))=f(fi(a1, (fi(a1, ), fi(a′1, IKer (f), adica  Ker (f) I Con (A).g

Teorema 3. Pentru orice algebra A, (Echiv (A), ) este latice completa iar Con (A) este sublatice completa a lui Echiv (A).

Demonstratie: Evident (Echiv (A), ) este latice deoarece pentru r r IEchiv(A), r r r r I Echiv (A) iar r r relatia de echivalenta generata de r r Descrierea lui r r este data de: ( ai b ) I r r daca si numai daca exista un sir de elemente a1, a2, , an I A astfel incat a = a1, b = an iar pentru orice 1 i n – 1 , ( ai, ai+1 ) I r sau ( ai, ai+1 ) I r

Mai mult, Echiv (A) este latice completa deoarece pentru o familie (qi)iII de elemente din Echiv (A), q i = qi iarqi

Deoarece intersectia unei familii oarecare de relatii de congruenta de pe A este de asemenea o congruenta pe A deducem ca Con (A) este inf - semilatice completa si totodata inf - sublatice a lui Echiv (A).

Fie acum (qi)iII o familie de relatii de congruenta de pe A iar f o operatie n-ara pe A. Daca (a1, b1), , (an, bn) Iq i, atunci putem gasi i0, i1, , ik I I astfel incat (ai, bi) I i n), de unde (f(a1, , an), f( b1, , bn)) I adica q i I Con (A), deci Con (A) este si sublatice sup - completa (deci completa) a lui Echiv (A). g

Observatie: Deoarece orice multime ordonata A care este inf-completa este latice completa era suficient sa probam ca Echiv (A) (ca si Con (A)) este inf-completa pentru a trage concluzia ca este latice completa. Am probat si sup-completitudinea pentru a prezenta o caracterizare a lui qi cu qi I Con (A) : (x, y) Iqi daca si numai daca exista un sir de elemente din A, x = a1, , an = y astfel incat pentru orice  1 j n-1, (aj, aj+1) I qi cu i I I .

Teorema 4. Pentru orice algebra A exista un operator algebric de inchidere pe A A astfel incat submultimile inchise ale lui A A sunt exact congruentele lui A.

Demonstratie: Vom organiza pe A A ca algebra astfel:

In primul rand, pentru fiecare operatie n - ara f de pe A consideram operatia n-ara g de pe A A definita astfel :

g((a1, b1), , (an, bn)) = (f(a1, , an), f(b1, , bn)).

Daca la operatiile astfel obtinute de pe A A mai adaugam operatia binara t definita prin :

t((a, b), (c, d)) =

precum si operatiile nule (a, a) pentru fiecare a I A, atunci se verifica ca q este subalgebra a lui A A daca si numai daca q I Con (A), astfel ca daca notam prin C operatorul Sg , avem ca Con (A) = (A A)C.

Corolar 5. Pentru orice algebra A, Con (A) este latice algebrica. g

Definitia 6. Pentru o algebra A si a1, , an I A vom nota prin Q (a1, , an) relatia de congruenta de pe A generata de (adica cea mai mica congruenta de pe A, relativ la incluziune, astfel incat a1, a2, , an sunt in aceeasi clasa de echivalenta).

Congruenta Q (a1, a2) se zice congruenta principala.

Pentru o multime Y A prin Q (Y) vom nota congruenta generata de YY.

Exemple.

. Daca G este un grup si a, b, c, d I G, atunci (a, b) I Q (c, d) daca si numai daca ab-1 este un produs finit de conjugati ai lui cd-1 si conjugati ai lui dc-1.

Daca A este un inel unitar si a, b, c, d I A, atunci ( a, b ) I Q ( c, d ) daca si numai daca a-b = ri (c-d) si cu ri, si I A, 1 i n.

Teorema 7. Fie A o algebra a1, b1, an, bn IA si q I Con A). Atunci:

i Q (a1, b1) = Q (b1, a1)

ii) Q ((a1, b1), , (an, bn)) = Q (a1, b1) Q (an, bn)

iii) Q (a1, , an) = Q (a1, a2) Q (a2, a3) Q (an-1, an)

iv) q

v) q

Demonstratie:

i) Cum (b1, a1 I Q (a1, b1) deducem ca Q (b1, a1) Q (a1, b1) si analog Q(a1, b1) Q(b1, a1), de unde egalitatea Q (a1, b1) = Q (b1, a1)

ii) Pentru 1 i n, (ai, bi) I Q ((a1, b1), ,(an, bn)) (caci Q ((a1, b1), , (an,bn)) este relatia de congruenta de pe A generata de multimea deci Q (ai, bi) Q ((a1, b1), , (an, bn)), de unde incluziunea Q (a1, b1) Q(an,bn) Q ((a1, b1), (an, bn)).

Pe de alta parte, pentru 1 i n, (ai, bi) I Q (ai, bi) Q ((a1, b1) Q(an, bn), astfel ca Q ((a1, b1) Q (an, bn), deci  Q ((a1,b), (an, bn)) Q ((a1, b1) Q (an, bn), de unde egalitatea ceruta.

iii) Pentru 1 i n-1 , (ai, ai+1) I Q (a1, , an), deci Q (ai ai+1) Q(a1,,an) astfel ca Q (a1, a2) Q (an-1, an) Q (a1, , an).

Invers, pentru 1 i < j n, (ai, aj) I Q (ai, ai+1) Q (aj-1, aj), adica (ai,aj) I Q (ai , ai+1) Q (aj-1, aj), de unde (ai, aj) I Q (a1, a2) Q (an-1, an).

In conformitate cu (i), Q (a1, , an) Q (a1, a2) Q (an-1, an), astfel ca Q (a1, an) = Q(a1, a2) Q (an-1, an).

iv) Pentru (a, b) I q evident (a, b) I Q (a, b) q, astfel ca  q q deci  q



v) Analog ca pentru iv).g

Fie A o algebra de tip t, de univers A si n I N *.

Definitia 8. Polinoamele n – are de tip t se definesc ca functii de la An in A astfel:

i)Proiectiile pi,n : A n A, pi,n (a1, , an) = a ( 1 i n ) sunt polinoame n - are.

ii)Daca p1, , pn sunt polinoame n - are iar fi este operatia algebrica ni - ara, atunci si functia fi (p1, , pn) : An A, fi (p1, , pn) (a1, , an) = fi (p1 (a1, , an), , pn(a1, , an)) este polinom n - ar.

iii)Oricare alt polinom n - ar se obtine prin procedeele i) si ii) aplicate de un numar finit de ori.

Daca p : An A, (1 k n) este un polinom n - ar iar k variabile ale lui p au fost substituite cu anumite constante din A, obtinem astfel o functie de la An-k la A numita functie algebrica.

Exemple

. Daca ( L, ) este o latice, atunci singurul polinom unar a lui L este 1L

Iata exemple de polinoame binare: p : A2 A, p (x, y) = x, q : A2 A, q(x, y) = x y.

Daca (A, +, . , 0, 1) este un inel unitar, atunci orice polinom unar este de forma p (x) = n0 + n1x + + nmxm unde m I N iar ni este zero sau 1 + + 1 de un numar finit de ori.

. Daca (G, ) este un semigrup, atunci toate polinoamele unare ale lui G sunt de forma p (x) = xn (cu n I N).

Teorema 9. Fie A o algebra de univers A si H A o submultime nevida.

Atunci (c, d) I Q (H) daca si numai daca exista nIN, un sir de elemente  c = z0, z1, , zn = d si perechile de elemente (ai, bi) I H H si functiile algebrice unare pi astfel incat pentru 1 i n.

Demonstratie: Este suficient sa demonstram aceasta teorema doar in cazul H = , iar pentru aceasta sa notam prin r relatia de pe A definite prin conditiile din dreapta ale echivalentei din enunt.

Deoarece polinoamele au proprietatea de substituire, daca r I Con (A) si (a,b) I r, atunci pentru sirul (z1) n de elemente din A alese ca in enuntul teoremei avem ca I r, astfel ca (c, d) I r

Astfel, pentru a proba egalitatea Q (a, b) = r (tinand cont de faptul ca Q (a, b) este congruenta generata de (a, b)) este suficient sa probam ca rICon (A) si (a, b)Ir (atunci Q (a, b) r si cum r Q (a, b) vom avea egalitatea ceruta).

Faptul ca (a, b) I r este banal (putem alege sirul a, b si functia unara p (x)=x, x I A) ca si acela ca r I Echiv (A).

Ramane sa mai aratam ca r are proprietatea de substituire.

Fie deci fi operatia ni – ara si (a0, b0), ,(an, bn) I r ( 1 i t

Conform definitiei lui r avem sirurile:

a0 = z, , z= b

a = z, , z= b de elemente din A si

p, , p

p, , p de functii algebrice unare de pe A ce verifica conditiile impuse de definirea lui r

Vom proba prin inductie dupa i ca:

(fi (a0, , an-1), fi (b0, , bn-1)) I r

Acest lucru este evident pentru i = 0; sa presupunem ca el este adevarat pentru i < ni.

Deoarece (ai, bi) I r, exista sirurile a1 = z0, , zm = b1 de elemente din A si p0, , pm-1 de polinoame unare de pe A astfel incat j m-1.

Considerand acum sirurile :

t0 = fi (b0, , bi-1, z0, ai+1, , an-1)

t1 = fi (b0, , bi-1, z1, ai+1, ,an-1)

tm = fi (bo, , bi-1, zm, ai+1, , an-1) de elemente din A si

q0 = fi (b0, , bi-1, p0, ai+1, , an

q1 = fi (b0, , bi-1, p1, ai+1, , an

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

qm-1 = fi (b0, , bi-1, pm-1, ai+1, , an-1) de functii algebrice unare ale lui A, rezulta imediat (tinand cont de ipoteza de inductie) ca:

(fi (b0, , bi-1, ai, ai+1, , an-1), fi (b0, , bi-1, bi, ai+1, , an-1)) I r si prin tranzitivitatea lui r ca

(fi(a0, , an-1), fi (b0, .. ,bn-1)) I r, astfel ca r I Con (A) si totul este probat.g

Corolar 10. (c, d) I Q (a, b) daca si numai daca nIN*, un sir de elemente c = z0, , zn = b ale lui A si un sir de functii algebrice unare p0, p1, ,pn-1 astfel incat pentru 0 i n-1.

Exemple

. Daca (G, ) este un grup si a, b, c, d I G, atunci (c, d) I Q (a, b) daca si numai daca exista un polinom unar p de pe G astfel incat p (a) = c si p (b) = d.

Daca A este un inel, cum o congruenta de pe A este si congruenta pe grupul aditiv (A, +), deducem ca pentru Q (a, b) pe inelul A avem aceeasi caracterizare ca in cazul grupurilor.

Definitia 11. O algebra A se zice congruent – modulara distributiva) daca (Con (A), ) este latice modulara (distributiva).

Vom spune despre A ca este congruent – permutabila daca oricare doua congruente ale lui A comuta.

Lema 1 Pentru o algebra A si q q I Con (A), urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

i) q q q q

ii) q q q q

iii) q q q q

Teorema 13. (Birkoff). Daca A este o algebra congruent - permutabila, atunci A este congruent - modulara.

Demonstratie: Fie q q q I Con (A) cu q q Pentru a demonstra legea de modularitate este suficient sa probam incluziunea q q q q q q iar pentru aceasta fie (a, b) I q q q Conform lemei anterioare, q q q q deci exista c I A astfel incat (a, c) I q si (c, b) I q Atunci (c, a) I q q deci (c, a) I q si cum (a, b) I q deducem ca (c, b) I q adica (c, b) I q q

Din (a, c) I q si (c, b) I q q deducem ca (a, b) I q q q deci (a, b) I q q q de unde rezulta egalitatea din legea de modularitate.g

Fie A o algebra de tip t si q I Con (A).

Atunci A q devine algebra de tip t definim operatia ni - ara de pe A q prin:

fqi : (A q n A q

fqi (a1 q an q (fi (a1, , an)) q ( unde fi este operatia algebrica ni-ara a lui f, 1 i t)).

Corectitudinea definirii lui fqi ne este asigurata de faptul ca q I Con (A).

Aplicatia pq : A A q pq (a) = a q (a I A) este morfism surjectiv.

Vom prezenta cateva teoreme cunoscute in Algebra Universala sub numele de “teoremele de izomorfism “ (folosim conventia ca atunci cand spunem ca o aplicatie  f : A B este morfism de algebre vom subintelege ca A si B sunt algebre de acelasi tip t iar f este morfism de algebre de tip t

Vom nota pentru f I Hom (A, B) prin Im (f) imaginea lui A prin f, adica Im(f)= B.

Teorema 14. (Prima teorema de izomorfism). Fie A, B algebre si fIHom(A, B). Atunci A Ker (f) Im (f).

Demonstratie: Fie q Ker (f) I Con (A) si j : A Ker (f) Im (f), j (a q)= = f (a). Sa aratam ca j este izomorfismul cautat.


Intr-adevar, pentru a, b I A din echivalentele a q=b q (a, b)Iq f(a)=f(b) deducem ca j este corect definita si ca functia este bijectie. Cum bijectivitatea lui j este imediata mai avem de probat faptul ca j este morfism. Pentru aceasta fie fi o operatie algebrica ni-ara de pe A (1 i t t fiind tipul lui A si B) si a1, , anIA.

Atunci fqi j (a1), , j (an)) = fqi (a1 q, …, an q) = (fi (a1, …, an)) q = =j(fqi (a1, …, an)), adica j este morfism.g

Corolar 15. Daca f : A B este morfism surjectiv de algebre, atunci  A Ker (f) B.

Fie A o algebra si f q I Con (A) cu q f

Daca notam f q I (A q (a, b) I f , se probeaza imediat ca f q I Con (A q

Teorema 16. (A doua teorema de izomorfism)

Daca f q I Con (A) si q f atunci (A q f q A f

Demonstratie: Definim j : A f A q prin j (a q) = a f (a I A).

Daca a, b I A si a f = b f, atunci (a, b) I q f, adica a f = b f, deci j este corect definita.

Daca fi este o operatie ni - ara de pe A si a1, , an I A (1 i t)), atunci j(fqi (a1 q), , (an q j ((fI (a1, .., an)) q) = (fi (a1,…, an)) f = (ffi (a1 f), …, (an f)) = ffi j (a1 q j (an q)), adica j este morfism (evident, surjectiv). Cum pentru a, b I A avem (a q b q I Ker (j j (a q j (b q a f = b j (a, b) I f (a q b q I f q deducem ca Ker (j f q si totul rezulta acum din corolarul anterior. g

Fie acum A o algebra, B A si q I Con (A).

Notam prin Bq subalgebra lui A generata de iar prin q B q B (daca B A atunci q B I Con (B)).

Teorema 17. (A treia teorema de izomorfism)

Daca B A si q I Con (A), atunci B q B Bq q Bq

Demonstratie: Se probeaza imediat ca izomorfismul cautat este aplicatia

j : B q B Bq q Bq j (b q B = b q Bq pentru orice b I B.g

Teorema 18. (Teorema de corespondenta)

Fie A o algebra si q I Con (A).

Atunci Con (A) q A] (ca latici).

Demonstratie: Vom proba ca a q A Con (A q a f f q f I q A]) este izomorfism de latici. Daca f I q A f ψ atunci putem spune ca exista a, b I A astfel incat (a, b) I f ψ (diferenta de multimi!). Atunci (a q, b q I f q q , adica a f a deci a este injectie.

Pentru ψ I Con (A q) daca vom considera f = Ker (pY pq ICon (A q , atunci (a q, b q I f q (a, b ) I f q, b q I f q ψ, adica a este si surjectie. Cum faptul ca a este morfism de latici, deducem ca a este izomorfism de latici.g

Observatie: Considerand cazul grupurilor sau inelelor, obtinem cunoscutele teoreme de izomorfism din algebra pentru grupuri si inele.

Definitia 19. Fie K o clasa de algebre de acelasi tip. Vom spune despre K ca are proprietatea de extindere a congruentei daca pentru orice A I K, orice B A si q I Con (B) exista f I Con (A) astfel incat f B q

Observatie: O clasa ecuationala K are proprietatea de extindere a congruentei daca si numai daca pentru orice morfism injectiv f : A B si g : A C morfism surjectiv exista morfismul surjectiv h : B D si morfismul injectiv k : C D astfel incat h f = k g:









Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




Volumul tetraedrului
Transformari sinusoidale – transformata Fourier - Probleme rezolvate
Functii armonice
NUMERE REALE si Relatia de ordine
SERII DE NUMERE REALE
Polinom caracteristic
Elemente ale tetraedrului. Definitii. Notatii.
Tetraedre ortocentrice




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu