Polinom caracteristic

Polinom caracteristic

In cele ce urmeaza ne vom ocupa de determinarea valorilor proprii si a vectorilor proprii pentru F IL (E, E).

Fie I endomorfismul unitate, I (), . Egalitatea (1) este echivalenta cu

(3) (F - I )() = 0_E .

Fie B o baza in E, M(F ; B) si M (I ; B) = I_n, unde I_n este matricea unitate de ordinul n = dim E. La randul ei, egalitatea (3) este echivalenta cu

(M(F ; B) - I_n)[]_B = [0_E]_{B ,}

unde []_B este matricea coloana formata din coordonatele lui in baza B.

DEFINITIA 1. Egalitatea data de relatia (4) se numeste ecuatia vectorilor proprii.

Aceasta este folosita pentru determinarea coordonatelor () ale vectorului propriu atunci cand se cunoaste valoarea proprie .

Ecuatia matriceala (4) se scrie explicit sub forma

, (unde 0=0_K)

care este echivalenta cu sistemul

de n ecuatii liniare si omogene in necunoscutele , pentru care solutia banala nu convine deoarece I E . Deci valorile proprii sunt acele valori ale lui pentru care determinantul atasat matricei sistemului este nul.

DEFINITIA1. Polinomul

P() = det (M(F ; B) - I_n)

se numeste polinomul caracteristic al endomorfismului F , iar P()=0 se numeste ecuatia caracteristica a lui F

TEOREMA 1. Polinomul caracteristic al unui endomorfism F este un invariant la schimbarea bazei spatiului vectorial E.

Demonstratie. Fie B si doua baze in E, F IL (E,E) cu M(F ; B), M(F , ) matricele asociate lui F in cele doua baze si polinoamele caracteristice ale lui F in cele doua baze

( M(F ; B), respectiv, ( M(F , ).

Conform egalitatii (14), a teoremei 1.3.10,

M(F , ) M(F ; B),

unde M(B, ) este matricea de trecere de la B la . Avem in mod evident ca

I_n = M^-1(B, ) I_n M(B, )

si prin urmare

M(F ; B) -

( M(F ; B)

( M(F ; B),

deoarece determinantul produsului a doua matrice patrate de acelasi ordin este egal cu produsul determinantilor celor doua matrice patrate.

Acest rezultat justifica de ce P() a fost numit, simplu, polinomul caracteristic al lui F si nu polinomul caracteristic al lui F in baza B.

TEOREMA 1. Fie E un K - spatiu vectorial si F I L (E, E). Daca K este un corp algebric inchis, endomorfismul F admite valori proprii si vectori proprii.

Demonstratie. P() este un polinom cu grad P() si cu coeficientii din corpul K. Daca K este algebric inchis, ecuatia P admite cel putin o solutie K . Printr-un procedeu cunoscut, din aproape in aproape se obtine descompunerea

cu . Valorile proprii ale endomorfismului F sunt, cu ordinele de multiplicitate .

Unei valori proprii ii corespunde o infinitate de vectori proprii care au coordonatele in baza B date de sistemul (5), in care este inlocuit cu .

In particular, daca K = C, orice endomorfism F I L (E, E) admite valori proprii si vectori proprii. Daca K = R, nu orice F I L (E, E) admite valori proprii si vectori proprii.