Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Tetraedre ortocentrice

Tetraedre ortocentrice



Tetraedre ortocentrice

* Am vazut ca analog triunghiului , un tetraedru oarecare admite o sfera circumscrisa, o sfera inscrisa , un centru de greutate. Dar, in general, ortocentrul nu are corespondenta deoarece inaltimile unui tetraedru oarecare nu sunt concurente nici macar doua dintre ele si analogia cu geometria triunghiului inceteaza. Ea poate fi restabilita pentru clasa particulara a tetraedrelor numite ortocentrice, care admit ortocentru.

Definitie: Un tetraedru se numeste ortocentric daca muchiile sale opuse sunt perpendiculare.

Definitii echivalente:

Teorema 35:

Urmatoarele proprietati ale unui tetraedru sunt echivalente:

  1. Perechile de muchii opuse sunt perpendiculare
  2. Inaltimile sunt concurente intr-un punct numit ortocentru
  3. Are loc relatia: AB2 + CD2 = AD2 + BC2
  4. Bimedianele sunt concurente
  5. Varfurile se proiecteaza in ortocentrele fetelor opuse
  6. Perpendicularele comune ale perechilor de muchii opuse sunt concurente in ortocentru.

Demonstratie:



Vom folosi urmatoarea schema de demonstratie


1

Teorema de caracterizare

Un tetraedru este ortocentric daca si numai daca inaltimile sale sunt concurente.

T

Se considera inaltimile AA1 si BB1 concurente intr-un punct H. Atunci CD AA1 ( deoarece AA1 (BCD)) si analog CD (AA1B), deci CD AB. Analog se demonstreaza perpendicularitatea celorlalte perechi de muchii opuse.

Punctul H de concurenta a inaltimilor unui tetraedru ortocentric se numeste ortocentrul tetraedrului.

T

Este suficient sa demonstram ca doua cate doua inaltimi sunt concurente . Vom arata de exemplu ca AA1 si BB1 sunt concurente: CD (AA1B) si CD (BB1A). Dar planele (AA1B) si (BB1A) au in comun dreapta AB. Cum printr-un punct trece un singur plan perpendicular pe o dreapta data , rezulta ca planele (AA1B) si (BB1A) sunt confundate, deci AA1 si BB1 sunt concurente.

Analog se arata ca BB1 si CC1 sunt concurente intr-un punct H . Cum AA1, BB1 si CC1 nu sunt coplanare , folosind teorema : „Daca in spatiu trei drepte se intersecteaza doua cate doua atunci ele sau sunt coplanare sau concurente”, deducem ca H=H . Asemanator demonstram ca HIDD1.

T

Intr-un tetraedru ortocentric [ABCD], AC2 + BD2 = CD2 +AB2 = BC2 +AD2.

Fie M,N,P,Q,R,S mijloacele muchiilor [AB], [BC], [CD], [AD],[AC], [BD].

Patrulaterul MNPQ este dreptunghi deoarece MQ || NP (ambele fiind paralele cu AC) si unghiul =90o. Rezulta ca diagonalele sunt congruente , deci intr-un tetraedru ortocentric bimedianele au aceeasi lungime. (1T

Aplicand teorema lui Pitagora in fiecare din dreptunghiurile care au ca diagonale bimedianele , se obtine:

MN2 + PN2 = QR2 +QS2 sau echivalent AC2 + BD2 = CD2 +AB2


Alta demonstratie.

Construim prin B,C,D paralele la [CD]; [BD] si [BC] si fie D ,B ,C punctele de intersectie ale acestor paralele. Fie AA1 (BCD), A1I(BCD), A1 este ortocentrul triunghiului [BCD], deci centrul cercului circumscris triunghiului [B C D ]. Rezulta :[AD s[AB s[AC ]. Cum AC B C , AD B C si AB C D aplicand teorema lui Pitagora in D ABD DACB si D ADC rezulta :

AB2 + BD = AC2 + CB = AD2 + C D2.

Tinand seama ca D BCD este triunghi median pentru DB C D rezulta

AB2 + CD2= AC2 + BD2 = AD2 + BC2.

Din prima demonstratie rezulta usor urmatorul enunt „ mijloacele celor sase muchii ale unui tetraedru ortocentric se afla pe o sfera ( sfera de centru G si raza lungimea unei jumatati de bimediana).

T

Egaland patratele lungimilor bimedianelor :

MN2=(AD2 +AC2 +BD2 + BC2 – DC2 – AB2 )

SQ2=(n2 +p2 +r2 +l2 – m2 – q2)

RT2=( m2 +r2 + q2 +l2– p2– n2)

Prim egalare obtinem

AB2 + CD2= AC2 + BD2 = AD2 + BC2

T

Daca DABC nu este dreptunghic ortocentrul sau H nu coincide cu nici un varf. Conditia AB CD impune lui A sa se situeze in planul ce trece prin B si este perpendicular pe (CD), deci este echivalenta cu A I(BHA). Analog AC BD este echivalenta cu A I(CHA). Se observa cum prin teorema „ Inaltimile din A si D ale tetraedrului [ABCD] sunt concurente daca si numai daca muchiile opuse [AD] si [ BC] sunt perpendiculare ” continuata cu consecintele :

a)Tetraedrul [ABCD]are inaltimile concurente daca si numai daca au loc conditiile AD BC, BA CD,AC BD.

b)Daca inaltimile (AA ), si (BB ) se intersecteaza in H, atunci perpendiculara comuna a muchiilor [AD] , [BC] contine punctul H.

Avem astfel (inaltimile concurente) (AB CD si AC BD) ( A IBHA si A ICHA) A =HA.

T

Din modul cum s-a facut demonstratia anterioara si combinat cu consecinte : Daca inaltimile (AA ) si (DD ) sunt secante atunci si celelalte doua inaltimi (BB ) si (CC ) sunt secante deoarece AA DD T AD BCT BB CC rezulta ca cele trei inaltimi sunt concurente si conform „2T1” avem ca muchiile opuse sunt perpendiculare.

Observatie :

Daca D BCD este dreptunghic in D , atunci HA=D si expunerea de mai sus nu este afectata. Daca DBCD este dreptunghic in B sau C se reformuleaza notatiile din demonstratie .


Teorema :

Inaltimile din A si D ale tetraedrului [ABCD] sunt secante daca si numai daca muchiile opuse [AD] si [BC] sunt perpendiculare.

Demonstratie :

Fie A si D proiectiile ortogonale ale punctelor A si D

in planele Af si Df. Daca (AA ) si (DD ) sunt secante fie

planul ce contine aceste drepte. Deoarece (AA ) este

perpendiculara pe planul (BCD) T BC AA

Analog BC DD , deci BC fiind perpendiculara pe doua

drepte din planul , este perpendiculara si pe dreapta AD

a acestui plan.

Daca AD BC, fie E piciorul perpendicularei din A pe BC

si BC AE rezulta ca BC este perpendiculara pe planul .

Perpendicularele pe BC ce trec prin A sunt incluse in , deci (AA . Analog (DD . Deci (AA ) si (DD ) sunt coplanare; ele se intersecteaza deoarece sunt inaltimile D ADE.

Consecinta :

Daca inaltimile (AA ) si (DD ) se intersecteaza in H, atunci perpendiculara comuna a muchiilor [AD] , [BC] contine punctul H.

Intr-adevar , daca planul ce contine (AA ), (DD ) taie BC in E in DADE , dreapta EH este cea de-a treia inaltime deci EH AD.( poate avea loc E=H cand ()=90o ). Pe de alta parte BC , deci EH BC.

Consecinta :

Inaltimile tetraedrului [ABCD] sunt concurente daca si numai daca au loc relatiile : AD BC, AB CD, AC BD.

Din cele trei conditii de perpendicularitate a muchiilor opuse , rezulta ca inaltimile sunt doua cate doua secante. Rezulta H=H si deci perpendicularele comune sunt concurente . Are loc si mersul reciproc al demonstratiei.

Teorema 36:

Daca intr-un tetraedru [ABCD] avem AB CD si AC BC, atunci AD BC.

Demonstratie :

Fie AA1 (BCD). Rezulta AA1 CD si cu AB CD avem

CD (AA1B) T CD BA1.

Analog din AA1 BD si AC BD avem BD CA1. Deci

BA1 si CA1 sunt inaltimi in DBCD. Rezulta BC (AA1D).

Acesta implica BC AD. Din modul cum s-a efectuat demonstratia rezulta afirmatia :” Intr-un tetraedru ortocentric inaltimile tetraedrului „cad” in ortocentrele fetelor opuse”.

Teorema 37:

Intr-un tetraedru ortocentric , centrul de greutate al tetraedrului se proiecteaza in centrele cercurilor lui Euler ale fetelor.

Demonstratie :

Fie tetraedrul [ABCD] , HD, GD, OD ortocentrul , centrul de greutate, centrul cercului circumscris , respectiv in DABC.

HDGD,=2GOD; DGD este mediana tetraedrului ,

DGD=4 GGD si fie W proiectia lui G pe planul

(ABC). Evident WI[HDOD]. Vom demonstra ca

W este mijlocul segmentului [HDOD] , deci este

centrul cercului lui Euler al fetei [ABC].

Din triunghiurile asemenea [DHDGD] si [GWGD]

rezulta T GDHD= 4 GDW T HDW=3GDW

WOD=WGD + GDOD= WGD =WGD+=3GDW .Deci W este mijlocul segmentului HDOD.

Teorema 38:

Cercurile lui Euler ele fetelor unui tetraedru ortocentric sunt situate pe o aceeasi sfera

( prima sfera a lui Euler).

Demonstratie :

Conform teoremei anterioare punctul G este egal departat de cercul lui Euler al unei fete si cum cercurile lui Euler ale fetelor au doua cate doua puncte comune rezulta ca G este centrul unei sfere pe care se afla cercurile lui Euler ale fetelor.

Teorema 39:

Intr-un tetraedru ortocentric , ortocentrul, centrul de greutate si centrul sferei circumscrise tetraedrului sunt coliniare .

Demonstratie :

H,G,O se afla in panul perpendicular pe fata (ABC) pe care o intersecteaza dupa dreapta lui Euler a DABC si analog , se afla in planul perpendicular pe fata (BCD) pe care o intersecteaza

dupa dreapta lui Euler a DBCD. Deci H,G,O sunt coliniare, fiind situate pe dreapta de intersectie a celor doua plane.

Observatie :

Punctul G este mijlocul segmentului [HO] deoarece G se proiecteaza in mijlocul segmentului [HDOD]. Rezulta ca ortocentrul tetraedrului este tocmai anticentrul sau , deci, intr-un tetraedru ortocentric dreapta lui Euler este generalizarea in spatiu a dreptei lui Euler din plan.

Teorema 40:

Intr-un tetraedru ortocentric centrele de greutate ele fetelor , ortocentrele si punctele care divid segmentele dintre varfurile tetraedrului si ortocentrul sau in raportul 2 sunt 12 puncte ale unei sfere cu centrul pe dreapta care uneste ortocentrul cu centrul sferei circumscrise tetraedrului si are raza egala cu o treime din R, raza sferei circumscrise ( a doua sfera a lui Euler)

Demonstratie :

Fie M mijlocul segmentului [NG] si proiectia sa

ortogonala E. Deci E este mijlocul segmentului [HDGD]

Fie sfera de centru M ce trece prin HD ,GD .

In DGMGD si D GOD :GO=3MG si DG=3GGD,

rezulta cu reciproca teoremei lui Thales ca MGD // DO

si ; DO=R, raza sferei circumscrise tetraedrului [ABCD].

DPNM D DHO iar si . Deci . Deci si P apartine sferei de centru M si raza ce trece prin HD si G.





loading...




Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE CLASA: a X a EDUCATIE MUZICALA - OPERA IN GERMANIA SI RUSIA
 PROIECT DIDACTIC 3-5 ani Limba si comunicare - Strugurele, de Maria Gaitan
 Proiect instalatii electrice - Sa se proiecteze instalatia electrica si de forta a unei microintreprinderi la alegerea studentului
 PROIECT - Ingineria reglarii automate - sistemul de reglare automata a unei actionari cu motor electric

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 LUCRARE DE DIPLOMA - Rolul asistentului medical in ingrijirea pacientului cu A.V.C.
 Relatiile diplomatice dintre Romania si Austro- Ungaria din a doua jumatate a secolului al XIX-lea
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
 Lucrare de licenta educatie fizica si sport - studiu asupra imbunataȚirii motricitaȚii in lectia de educatie fizica la clasele a v-a de la &
 Lucrare de licenta ecologie si protectia mediului - aspecte ecologice privind fauna de orthoptere si mantide din parcul national muntii macinului
 LUCRARE DE LICENTA - Asigurarea calitatii la firma Trans

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT INFORMATICA - GESTIONAREA STOCULUI UNEI FARMACII
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 Evidenta a clientilor dar si a serviciilor in Visual Fox pro 9 - Lucrare de atestat
 Lucrare atestat Tehnician in turism - CALITATEA SERVICIILOR TURISTICE




NUMERE COMPLEXE SUB FORMA TRIGONOMETRICA
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR
Piramida patrulatera regulata - Trunchiul de piramida
SIRURI RECURENTE - TACTICA si STRATEGIE
NUMERE REALE si Relatia de ordine
Numere complexe sub forma trigonometrica
Variatia si reprezentarea grafica a functiilor trigonometrice
MULTIMI - subiecte




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu