Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice
Acasa » referate » matematica
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR




ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR

Capitolul 1 Notiuni Introductive

1.1. Camp de evenimente

Se numeste experienta orice realizare a unui complex de conditii, a, bine precizat. Prin efectuarea unei experiente se intelege alegerea unui element dintr-o multime data, printr-un procedeu susceptibil de a fi repetat.



O anumita realizare efectuata sau viitoare, a unei experiente, se numeste proba. Deci, proba nu se confunda cu experienta insasi ci cu unul din rezultatele sale previzibile. Uneori, in loc de probe ale unei experiente, vom spune cazuri posibile ale experientei.

In legatura cu o experienta aleatoare (intamplatoare) ne putem pune o serie de intrebari ale caror raspunsuri nu le putem cunoaste decat dupa efectuarea experientei. Toate situatiile legate de o experienta aleatoare si despre care putem afirma cu certitudine ca s-au produs sau nu dupa efectuarea experientei, le vom numi evenimente.

Evenimentul care poate fi realizat de o proba si numai de una se numeste eveniment elementar. Celelalte evenimente (care nu sunt elementare) le vom numi evenimente compuse.

Experientele se impart in doua categorii : cu un numar finit de rezultate posibile (sau probe) si cu o infinitate de cazuri posibile. De exemplu, aruncarea zarului este o experienta cu un numar finit de cazuri posibile (6). Are sase evenimente elementare, dar poate avea si altele (de pilda sau fata 6 sau fata 3, sau una din fetele 2, 3, 5, etc.). Numarul total de evenimente este C6° C C66

O multime de evenimente care pot aparea intr-o anumita experienta, se numeste sistem de evenimente si poate fi finit sau infinit, dupa cum contine un numar finit sau infinit de evenimente.

Evenimentul poate fi sigur (total) daca se realizeaza cu certitudine la fiecare efectuare a experientei sau imposibil daca nu se realizeaza la nici o efectuare a experientei. Evenimentele se noteaza de obicei cu litere mari ale alfabetului latin : A, B, C, . Evenimentul sigur se noteaza cu E, iar evenimentul imposibil cu O.

Fiecarui eveniment A ii corespunde evenimentul contrar (opus sau complementar) notat A sau CA. Evident ca E = O si O = E. Daca B A atunci si A B

Implicatia unui eveniment de catre alt eveniment. Zicem ca evenimentul A implica evenimentul B (AeB) daca B se realizeaza de fiecare data cand se realizeaza A. In caz contrar se va scrie : A(£B.

Proprietatile implicatiei

AeA (reflexivitate)

AeE, (V)A (ultimul element)

Daca AeB si BeC, atunci AeC (tranzitivitate)

OeA, (V)A (primul element)

Daca AeB si BeA atunci A=B, adica sunt echivalente (antisimetrie)

Reuniunea a doua evenimente. Daca A si B sunt evenimente legate de aceeasi

experienta, atunci AoB este evenimentul care consta in realizarea cel putin a unuia din cele doua evenimente (se citeste : A sau B).

Proprietatile reuniunii

AoB=BoA (comutativitate)

(A^B) ^C=A^(B^C) (asociativitate)

AeA^B, BeA^B

AuA=A (idempotenta)

AoE=E (proprietatile ultimului element)

AoO=A (proprietatile primului element)

Intersectia a doua evenimente : AnB este evenimentul care consta in realizarea ambelor evenimente (se citeste A si B).

Evenimente compatibile. Doua evenimente A si B sunt compatibile daca se pot realiza simultan, adica daca exista probe comune care realizeaza atat pe A cat si pe B (AnB^O). In caz contrar evenimentele sunt incompatibile (AnB=O, adica sunt disjuncte).

Proprietatile intersectiei

AnB=BnA (comutativitate)

(AnB) nC=An(BnC) (asociativitate)

An(B^C)=(AnB) ^(AnC) (distributivitate)

Definitia 1. Fie E o multime nevida. (E^O) si N o familie nevida de parti ale lui E. Cuplul (E,N) se numeste camp de evenimente (finit sau infinit) daca N verifica axiomele unui trib (algebra) respectiv a unui trib borelian (a- algebra)

a)    EgN Og N

b)   (V)A g N A g N

c)    A, Bg N A^jBg N, AhBg N

d)   A, Bg N Ac:B >BAg N unde B A = B n A (diferenta)

00

e) Daca N este infinit si Ag N, igN=> U Ai g N I Ai g N

i

Definitia 2. Sistemul de evenimente , i = 1,n, Bi g N , se numeste sistem complet



n

de evenimente daca : Bi 0, Bi I Bj = O (i j), U Bi E.

i

Definitia 3. Un eveniment Ag N se numeste eveniment compus daca exista doua evenimente B, Cg N diferite de A astfel incat A=BoC. Un eveniment care nu este compus si nu este imposibil, se numeste eveniment elementar sau atom.

1.2. Notiunea de probabilitate

Vom caracteriza printr-un numar rational 0<p<1, gradul de realizare (sansa realizarii) al fiecarui eveniment A dintr-un camp de evenimente N. Un astfel de numar notat P(A) se va numi probabilitatea evenimentului A.

nA

Definitia statistica P(A) = lim fn (A), unde fn (A) = - se numeste frecventa

n->oo  n

relativa a evenimentului A intr-o serie de n repetari a unei experiente ; nA este numarul aparitiei evenimentului A in cele n incercari.

m

Definitia clasica P(A) = - ; m este numarul de cazuri favorabile producerii

n

evenimentului A iar n este numarul cazurilor posibile, in ipoteza ca toate cazurile sunt posibile.

Aceasta definitie reduce notiunea de probabilitate la notiunea de egal probabilitate de aparitie a evenimentelor elementare, care fiind admisa ca notiune primara nu poate fi definita riguros matematic. Se presupune ca multimea evenimentelor atasate unei experiente poate fi construita prin operatia de reuniune a unor evenimente egal posibile.

Definitia clasica este insuficienta deoarece se aplica numai pentru campuri finite de evenimente, unde chiar si pentru acestea nu intotdeauna se poate vorbi de cazuri egal posibile (de exemplu zarul nu este perfect simetric).

Definitia geometrica extinde notiunea de probabilitate in cazul campurilor infinite.
Astfel, fie
Q o multime masurabila a unui spatiu euclidian n-dimensional, a carei masura
Lebesgue n-dimensionala este pozitiva si finita. Notam
OnQ clasa de parti masurabile ale
lui
Q si h(A) masura Lebesgue a multimii masurabile Ag OnQ. Se arunca la intamplare
un punct in multimea
Q si se cere sa se determine probabilitatea ca punctul respectiv sa
cada in multimea A. Se intuieste ca probabilitatea cautata este proportionala cu masura
multimii
u(A) - masura multimii A si nu depinde de forma si asezarea lui A, adica prin
definitie :

p(A)= ^TQ

Aceasta probabilitate verifica proprietatile observate atat la frecventa relativa cat si la probabilitatea data prin definitia clasica. De multe ori se considera in aplicatii cazul cand Q=[a,b] al dreptei reale, iar A este un subinterval inchis [a',b']. Atunci :

b'-a'

P(A)=t- b-a

Definitia axiomatica. Kolmogorov in anul 1931 pune bazele axiomatice ale teoriei
probabilitatilor, in stransa legatura cu teoria masurii si teoria functiilor de variabile
reale.

Numim probabilitate pe un camp de evenimente (E,N), o functie P:N-[0,1] cu proprietatile :

P(E)=1

An g N, n g N = O, m n PJIKJ = >(An)

Din definitie rezulta ca o probabilitate nu este altceva decat o masura pozitiva normata (ia valori numai in [0,1]) definita pe un trib (respectiv trib borelian). Daca E este o multime finita, rolul lui N este jucat de S(E) - multimea partilor lui E, pentru ca de

obicei in tratarea ansamblista atomii se reduc la elementele eeE numite evenimente elementare.

Daca (E,N) este un camp finit de evenimente, ale carui evenimente elementare sunt =E, din definitia axiomatica rezulta

n

P(ei) > 0, i = 1,n; £Pfe) P(E) = 1

Daca P(e1)=P(e2)=^=P(en) spunem ca evenimentele elementare ei sunt egal

-

probabile si in acest caz deducem : P(ei) = -, i = 1,n

Daca Ag N oarecare, A = ei1 JJei2J)---Uei ,

avem :

adica raportul dintre numarul evenimentelor elementare favorabile evenimentului dat si numarul total de evenimente elementare ale campului.

Astfel definitia clasica a probabilitatii este continuta, ca un caz particular, in definitia axiomatica.







Politica de confidentialitate







creeaza logo.com Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
PROIECT DE LECTIE CLASA A II-A, Educatie plastica, Tehnica marmorata
PROIECT DIDACTIC 5-7 ani activitate matematica - „Cum este si cum nu este aceasta piesa”
Proiect Circuite Digitale
Organizarea si conducerea procesului tehnologic proiectat

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
LUCRARE DE DIPLOMA - Rolul asistentului medical in ingrijirea pacientului cu A.V.C.
Spatiul romanesc, intre diplomatie si conflict in Evul Mediu
Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
Lucrare de diploma Facultatea de Textile – Pielarie - Tehnologia confectiilor din piele si inlocuitori - PROIECTAREA CONSTRUCTIV TEHNOLOGICA A UNUI PR

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
Lucrare de licenta educatie fizica si sport - sistemul de selectie in jocul de handbal pentru copii de 10-11 ani in concordanta cu cerintele handbalul
Lucrare de licenta - cercetare si analiza financiara asupra deseurilor de ambalaje la sc.ambalaje sa
LUCRARE DE LICENTA - Asigurarea calitatii la firma Trans

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
Lucrare atestat informatica - „administrarea gradinii botanice”
Lucrare atestat Tehnician operator tehnica de calcul - Sursa de tensiune cu tranzistoare npn
ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia

Erorile functiilor trigonometrice
Izometrii
Ecuatii diferentiale de ordinal intai
Metoda bisectiei (injumatatirii)
Siruri de functii
APLICAII LINIARE
Formula trapezelor
Puterea unui punct fata de un cerc



Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu