Izometrii
Fie E un spatiu vectorial euclidian real.
DEFINITIA 1. Functia
T :
E E definita
prin T () =
+ a, a I
E, a fixat, se numeste translatie
de vector a pe E.
Observatia 1. Translatia de vector nul (0E) este identitatea pe E.
TEOREMA 1.5.8. (1) Daca T este translatie de vector a1 si T este translatie de vector a2, atunci T T T T este translatie de vector a1 + a2.
Daca T este translatie de vector a, atunci T exista si este translatia de vector - a.
Demonstratie (1)
(T T
)() = T (
) = (
) +
=
.
Analog (T T
)() =
si deci T T T T
Din T T I rezulta T T ())=
adica T (
)=
si facand
inlocuirea
avem T (
) =
.
Observatia 1.5.3. Produsul defineste pe multimea tuturor translatiilor pe E o structura de grup abelian, numit grupul translatiilor.
TEOREMA 1.5.9. Translatia pastreaza distanta euclidiana, adica
d (T (),T (
)) = d (
),
I E.
Demonstratie.
d(T (),T (
)) = || T (
) - T (
)||=||
||=||
||=
=d(),
I E.
DEFINITIA 1. O functie
surjectiva
F : E
E care pastreaza
distanta
euclidiana,
adica d(F (),F (
)=d(
),
I
E, se numeste izometrie.
Observatia 1. Transformarile ortogonale si translatiile sunt izometrii. De asemenea se dovedeste cu usurinta ca produsul a doua izometrii este o izometrie.
TEOREMA 1.5.10. O izometrie F : E E cu proprietatea ca F (0E) = 0E este o transformare ortogonala.
Demonstratie. Sa aratam ca F pastreaza normele
||||=||
||=d(0E,
) = d(F (0E), F (
)) =d(0E, F (
))=||F (
) - 0E|| = || F (
)||,
E.
Utilizand acest rezultat putem dovedi ca F pastreaza produsul scalar
d(F (),F (
))=d(
) ||
F (
) - F (
)||=||
||
(F (
) - F (
),F (
) - F (
))=(
,
)
F (),F (
)) = (
),
I E.
Aratam acum ca orice izometrie care pastreaza produsul scalar este o transformare liniara:
F(),F(
))=(
)T F(
),F(
))=(
)=
=
(F(
),F(
))= =(
F(
),F (
)) T F (
) -
F (
),F (
)) = 0, F (
),
R.
Facem F () = F (
) -
F (
) si rezulta F (
) -
F (
) = 0, adica F este omogena.
F (),F (
))=(
)=(
)+(
)=(F (
),F (
))+(F (
),F (
))=
F ()+F (
),F (
)) T F (
) - F (
) - F (
),F (
)) = 0, F (
). Deci F (
) - F (
) - F (
)= 0, adica F este aditiva.
TEOREMA 1.5.11. Daca F este o izometrie, atunci exista o translatie T si o transformare ortogonala R astfel incat F T R
Demonstratie. Fie T translatia de vector F (0E) si T translatia de vector - F (0E). Functia T F este o izometrie care pastreaza pe 0E. Conform cu T.1.5.10. izometria T F este o transformare ortogonala R , adica T F = R sau F T ◦ R .
Observatia 1. Compunerea defineste pe multimea tuturor izometriilor lui E o structura de grup.
Politica de confidentialitate |
![]() |
Copyright ©
2025 - Toate drepturile rezervate. Toate documentele au caracter informativ cu scop educational. |
Personaje din literatura |
Baltagul – caracterizarea personajelor |
Caracterizare Alexandru Lapusneanul |
Caracterizarea lui Gavilescu |
Caracterizarea personajelor negative din basmul |
Tehnica si mecanica |
Cuplaje - definitii. notatii. exemple. repere istorice. |
Actionare macara |
Reprezentarea si cotarea filetelor |
Geografie |
Turismul pe terra |
Vulcanii Și mediul |
Padurile pe terra si industrializarea lemnului |
Teoremele sumei si consecintele lor |
Valoarea medie a produsului |
TRANSFORMARI LINIARE |
Siruri de functii |
Izometrii |
Analiza combinatorie |
FORMULE |
ECUATII DIFERENTIALE |
Termeni si conditii |
Contact |
Creeaza si tu |