ECUATII DIFERENTIALE

ECUATII DIFERENTIALE

Definitia 1. Se numeste ecuatie diferentiala de ordinul I, o relatie intre variabila independenta x, o functie necunoscuta si derivata acesteia, .

Spre deosebire de ecuatiile algebrice, care au solutii numere reale sau complexe, ecuatiile diferentiale au solutii functii. Din definitia de mai sus, putem spune ca o relatie de forma

(1)

poate fi considerata o ecuatie diferentiala.

1.Determinati ecuatia diferentiala pe care o verifica fiecare dintre curbele date mai jos:

Solutie:

Pentru inceput trebuie precizat ca, ori de cate ori apare y, vom intelege ca este vorba de o functie de argument x, y = y(x).

a) Exprimam constanta C din forma lui y si avem:

Derivam aceasta egalitate si obtinem, tinand cont ca y este functie de x si C este o constanta:

.

Ultima egalitate reprezinta ecuatia diferentiala pe care o satisface curba data in ipoteza.

b) La fel ca la punctul precedent, exprimam constanta C:

(derivam) .

Ultima egalitate, rezultata in urma simplificarii lui , reprezinta ecuatia diferentiala cautata.

Observatia 1. Deseori, pe parcursul acestui capitol, vom utiliza notatia lui Leibnitz,

Observatia 2. ?n anumite ecuatii diferentiale, pot lipsi x sau y, dar niciodata y'.

sunt cateva exemple de ecuatii diferentiale.

Definitia 2. Se numeste solutie a unei ecuatii diferentiale pe un interval oarecare , o functie y astfel inca aceasta functie inlocuita, impreuna cu derivata sa, in relatia (1), sa transforme aceasta relatie intr-o identitate.

Definitia 3. Graficul solutiei unei ecuatii diferentiale se numeste curba integrala.

Daca in relatia (1) se poate exprima y' in functie de x si y, fapt care nu este posibil intotdeauna, se obtine o relatie de forma

.

Definitia 4. Relatia (2) poarta numele de forma normala a unei ecuatii diferentiale.

Definitia 5. O problema Cauchy relativa la o ecuatie diferentiala este problema determinarii solutiei ecuatiei (2) care satisface in plus o conditie de forma , numita conditie initiala, unde sunt numere reale date. Problema Cauchy se va nota astfel:

.

O ecuatie diferentiala are de obicei mai multe solutii.

Definitia 6. Se va numi solutie generala a unei ecuatii diferentiale scrisa in forma generala (1), o functie y= y(x, C), unde C este o constanta care se determina utilizand o problema Cauchy. Desigur, de obicei pentru fiecare pereche de conditii initiale se determina cate o valoare a constantei C, pentru aceeasi solutie generala.

Definitia 7. Se numeste solutie particulara a ecuatiei diferentiale (2), orice solutie a acestei ecuatii diferentiale obtinuta din solutia generala prin particularizarea constantei C.

?n majoritatea situatiilor, functia y nu apare explicit in raport cu y si C.

Definitia 8. Daca urmarea rezolvarii unei ecuatii diferentiale de tipul (1) obtinem o relatie de forma R( x, y, C)= 0 (3), unde y este solutia ecuatiei diferentiale, aceasta relatie (3) se numeste integrala generala.

Definitia 9. Daca particularizam constanta C dandu-i o valoare , obtinem din (3) o integrala particulara.

Observatii 3.

A rezolva o ecuatie diferentiala inseamna a-i gasi integrala generala sau, atunci cand este posibila explicitarea, chiar solutia generala.

A rezolva o problema Cauchy inseamna a-i gasi o integrala particulara si, daca este posibil, o solutie particulara.

?n afara de integralele generale si particulare, de solutiile generale si particulare, pentru anumite tipuri de ecuatii diferentiale mai exista si solutii singulare. Despre asta vom vorbi la ecuatiile de tip Clairaut. Este de mentionat doar faptul ca solutiile singulare nu se obtin din solutiile generale prin particularizarea constantei C

2.Sa se arate ca functia definita pe intervalul , este solutie pentru ecuatia diferentiala y'+y =0.

Solutie:

Pentru rezolvare, calculam , apoi inlocuim in ecuatia diferentiala care devine:

.

Prin urmare relatia se verifica, deci este solutie a ecuatiei date. Se arata imediat ca ecuatia diferentiala este verificata de toate functiile de forma , C constanta.

3. Sa se arate ca y = x + C este solutie generala pentru ecuatia diferentiala y'= 1 si ca y= x este o solutie particulara.

Solutie:

Derivam y= x+ C si obtinem:

y'=(x+ C)'= 1.

Prin urmare, y=x+ C este solutie generala pentru ecuatia diferentiala data. Pentru C= 0, obtinem solutia particulara y= x.

4. Sa se verifice daca functiile scrise in dreptul ecuatiilor diferentiale de mai jos sunt sau nu solutii pentru acestea:

Solutie:

a) Ecuatia diferentiala este . Pentru ca functia data de ipoteza, , sa fie solutie a acestei ecuatii, trebuie sa o verifice. Calculam derivata lui y: .

Inlocuim in ecuatia data:

.

Ultima egalitate este adevarata, deci functia y data in enunt este solutia ecuatiei diferentiale de la 1).

b)   Calculam si inlocuim in ecuatia diferentiala:

Dar, ultima egalitate ar trebui sa aiba loc indiferent de valoarea reala a lui x, ceea ce vine in contradictie cu exemplul urmator: daca x = 1, obtinem 4 = 5, fals.

Prin urmare, nu este solutie a ecuatiei din enunt.

5. Sa se determine solutiile particulare ale ecuatiilor urmatoare, pentru care se dau integralele generale si conditiile initiale specificate:

Solutie:

a) reprezinta integrala generala a ecuatiei diferentiale . Solutia particulara presupune determinarea constantei C in conditiile initiale date, adica: . Pentru aceasta, facem x = 0 in integrala generala ti obtinem:

.

Prin urmare, solutia particulara a ecuatiei diferentiale de la 11), satisfacand conditiile initiale , este

b) Fie, deci, x = 0 in integrala generala:

.

Solutia particulara corespunzatoare conditiilor initiale date este:

.

Vom prezenta in cele ce urmeaza cateva tipuri de ecuatii diferentiale care se pot rezolva direct, cu ajutorul integralelor. Aceste ecuatii diferentiale se numesc "rezolvabile (integrabile) prin cuadraturi". Vom porni de la ipoteza ca functiile care intervin in cele ce urmeaza sunt functii continue, derivabile si integrabile ori de cate ori conditiile vor cere aceste proprietati. Aceasta presupunere ne asigura de existenta solutiilor pentru ecuatiile diferentiale care apar.

Rezolvarea ecuatiilor diferentiale ce nu contin x

6. Sa se rezolve ecuatiile diferentiale:

Solutie:

a) ?n cele ce urmeaza, vom tine cont de faptul ca y este o functie de x, deci vom aplica formulele de integrare ale functiilor compuse de argument x:

b) Analog cu cazul precedent, trecem tot ce contine y intr-un membru, astfel ca derivata lui y sa nu apara la numitor:

Explicitarea efectiva a lui y se poate face logaritmand ultima egalitate in baza a si impunand membrului din dreapta al egalitatii sa fie pozitiv.

c)

d)

Pentru calculul integralei din stanga, descompunem in fractii simple fractia dupa cum urmeaza:

unde A si B sunt doua constante care urmeaza a fi determinate.

Ultima egalitate este integrala generala a ecuatiei diferentiale date in enunt. Conditia initiala y(0)=- 1 conduce la valoarea constantei C astfel:

Ultima egalitate reprezinta solutia particulara a ecuatiei diferentiale date, pentru conditia initiala y(0)= -1.

Rezolvarea ecuatiilor diferentiale cu variabile separabile

Forma generala a acestui tip de ecuatii este:

.

Pentru rezolvare, folosim notatia lui Leibnitz: pe care o inlocuim in relatia (1):

Relatia (2) poarta numele de integrala generala a ecuatiei (1), unde G(y) este o primitiva a lui , iar F(x) este o primitiva a lui f(x). Daca este posibila, in relatia (2), exprimarea lui y in functie de x si C, obtinem solutia generala a ecuatiei (1).

7. Sa se rezolve problema Cauchy:

.

Solutie:

Prima etapa de rezolvare este sa determinam integrala generala a ecuatiei sau, daca este posibil, solutia generala:

Notam C= lnK, unde K este o constanta reala pozitiva. Notatia este valabila deoarece logaritmul este o functie surjectiva, deci pentru orice valoare reala C se poate determina un argument K real pozitiv astfel ca lnK= C. ?nlocuim in integrala generala:

Ultima relatie reprezinta integrala generala in forma finala.

Pentru a rezolva efectiv problema Cauchy, tinem cont de a doua conditie data in enunt, adica y(0)=1 si facem x=0 in integrala generala:

Solutia problemei Cauchy este: .

8. Rezolvati ecuatiile diferentiale cu variabile separabile:

Solutie:

a)   Ecuatia diferentiala se scrie in forma echivalenta:

Pentru x = 1, obtinem, in baza conditiei initiale y(1) = 1:

.

Prin urmare, integrala generala devine:

.

b)   Aducem la acelasi numitor in membrul din dreapta:

Ultima egalitate reprezinta integrala generala a ecuatiei diferentiale date.

Ecuatii diferentiale omogene.

O ecuatie diferentiala de forma se numeste ecuatie diferentiala omogena daca functia f este omogena de grad 0.

Aceasta inseamna, conform definitiei functiei omogene de grad m=0, ca:

. (1)

9. Sa se arate ca ecuatia diferentiala este o ecuatie diferentiala omogena.

Solutie:

Dovedim ca functia verifica relatia (1):

Pentru rezolvarea ecuatiilor diferentiale omogene facem substitutia .

10 Propunem spre rezolvare ecuatia diferentiala de la exemplul precedent.

Solutie:

Scriem ecuatia diferentiala sub forma echivalenta:

.

Fie . Rezulta: .

Ecuatia diferentiala se scrie, urmarea schimbarii de variabila:

Revenind la notatia in y, rezulta:

VI. 11. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale omogene:

Solutie:

a) Pentru ecuatia diferentiala data, este evidenta notatia , de unde:

.

Inlocuim in ecuatia diferentiala data si rezulta:

b) Aducem ecuatia diferentiala la o forma care sa ne permita schimbarea de variabila de mai sus:

Prin urmare, fie , la fel ca mai sus. in mod analog,

.

inlocuim:

12. Sa se rezolve ecuatiile diferentiale omogene:

Solutie:

a) Ecuatia se scrie in forma echivalenta:

b) Ecuatia diferentiala devine:

Cu substitutia cunoscuta de la exemplele anterioare, avem:

c) Rescriem ecuatia diferentiala sub formele echivalente:

Notam . inlocuim:

Existenta ultimei egalitati presupune excluderea a doua functii constante, z = 0 si z = 2, din multimea de solutii pe care o cautam mai departe.

z = 0 , care este solutia ecuatiei diferentiale din enunt

.

Ecuatia din enunt se particularizeaza:

, adevarat.

Deci, y = 0 si y = 2x sunt solutii particulare pentru ecuatia data.

Continuam rezolvarea:

Fie . Atunci,

este solutie a ecuatiei din enunt.

Ecuatii diferentiale omogene generalizate

Ecuatiile diferentiale omogene generalizate au forma:

.

Pentru a determina substitutia care conduce la rezolvarea lor, calculam determinantul: .

Cazul I: Daca , formam si rezolvam sistemul:

Facem substitutia:

X si Y sunt noile variabile si . Cu aceasta substitutie, ecuatia diferentiala (1) devine o ecuatie diferentiala omogena.

Cazul II: Daca , atunci ecuatiile din sistemul (2) au coeficientii proportionali si putem scrie:

Presupunem ca am notat:

Introducand noile date in ecuatia (1), rezulta o ecuatie cu variabile separabile.

13. Sa se rezolve ecuatia diferentiala omogena generalizata:

.

Solutie:

Calculam determinantul: .

Rezolvam sistemul: .

Facem substitutia:

.

inlocuim in ecuatie:

.

Ecuatia diferentiala care s-a obtinut este asemanatoare cu cea rezolvata la exemplul 10., deci:

Efectuam substitutia:

14. Sa se rezolve ecuatia diferentiala omogena generalizata:

.

Solutie:

Calculam

Avem: . inlocuim in ecuatia (1):

Revenind la notatia in x si y, se obtine integrala generala a ecuatiei date.

Ecuatii diferentiale liniare

Forma generala a unei ecuatii diferentiale liniare este:

.

Una din metodele de rezolvare a acestui tip de ecuatii diferentiale este metoda lui Bernoulli, care presupune substitutia y=uv, unde u si v sunt doua functii necunoscute de x. Atunci, pentru inlocuirea in ecuatia diferentiala (1), scriem y'= u'v+ uv'.

Ecuatia (1) devine:

in (2') impunem conditia de anulare a coeficientului lui v:

Din relatia (3) se determina u, apoi se revine in relatia (2'), de unde se va determina u. Cu functiile u si v determinate mai sus, este complet determinata functia y.

16. Sa se rezolve ecuatia diferentiala liniara:

Solutie:

Notam: .

inlocuim in ecuatia (4):

Revenind in (5) si inlocuind u determinat mai sus, rezulta:

Prin urmare, solutia ecuatiei este:

17. Sa se rezolve ecuatia diferentiala liniara: .

Solutie:

Ecuatia diferentiala data in enunt este o ecuatie diferentiala liniara, deci scriem y= uv si cautam functiile necunoscute u si v.

inlocuim in ecuatia initiala:

Revenind la relatia (1), prin inlocuirea lui v se obtine:

Din expresiile (2) si (3) si din y= uv, rezulta:

Metoda lui Bernoulli, prezentata mai sus, este o metoda particulara de rezolvare a ecuatiilor diferentiale liniare. O metoda mult mai generala este metoda variatiei constantelor, pe care o vom prezenta in exemplele urmatoare.

18. Rezolvati ecuatia diferentiala de mai jos:

Solutie:

Ecuatia diferentiala de mai sus se incadreaza in categoria ecuatiilor diferentiale liniare. Metoda variatiei constantelor aplicata pentru acest exemplu presupune ca prim pas neglijarea termenului din ecuatie care contine x si nu contine y, deci in cazul nostru neglijam . Termenii care raman formeaza ceea ce poarta numele de ecuatie atasata:

ecuatia atasata ecuatiei initiale.

Rezolvam aceasta ecuatie atasata, care se incadreaza in categoria ecuatiilor diferentiale cu variabile separabile.

Procedand la fel ca in exemplul anterior, obtinem

solutia ecuatiei atasate.

Pasul urmator in metoda variatiei constantelor este cel care da numele acestei metode: cautam solutie pentru ecuatia diferentiala de aceeasi forma cu solutia determinata pentru ecuatia atasata, constanta K de mai sus devenind functie. Asta inseamna ca daca solutia ecuatiei atasate este , solutia ecuatiei initiale o cautam de forma , unde K(x) este o functie de x care urmeaza a fi determinata.

Daca este solutie a ecuatiei initiale, atunci trebuie sa o verifice. Pentru a putea inlocui solutia y in ecuatia data in enunt, avem nevoie de y' care are forma:

inlocuim in ecuatia initiala:

este solutia ecuatiei date.

19. Sa se rezolve ecuatia diferentiala liniara de mai jos:

Solutie:

Pentru a aduce ecuatia data la forma cunoscuta a ecuatiei liniare, impartim ecuatia cu x:

Ecuatia atasata este:

Am obtinut, deci, solutia ecuatiei atasate si cautam solutie pentru ecuatia diferentiala initiala, de forma:

inlocuim in ecuatia din enunt:

solutia ecuatiei date.

Ecuatii diferentiale de tip Bernoulli.

Forma generala a ecuatiilor diferentiale de tip Bernoulli este:

Daca =0, se obtine o ecuatie liniara, iar daca este 1 se obtine o ecuatie cu variabile separabile. Pentru situatia ceruta de ecuatia diferentiala (1), rezolvarea se bazeaza pe substitutia:

.

Se imparte ecuatia (1) la si se obtine ecuatia:

Ultima forma scrisa este o ecuatie diferentiala liniara.

20. Sa se rezolve ecuatia diferentiala de tip Bernoulli:

Solutie:

Ecuatia data este de tip Bernoulli, pentru impartim ecuatia cu

Efectuam schimbarea de variabila:

.

Cu noile variabile, avem: .

Ecuatia obtinuta este ecuatie liniara si facem schimbarea de variabila:

Revenind in (*), avem:

Ultima integrala se calculeaza prin parti, apoi se scrie z si de aici solutia ecuatiei date initial.

21.Sa se rezolve urmatoarea ecuatie diferentiala de tip Bernoulli

Solutie:

Aducem ecuatia diferentiala la forma standard a ecuatiilor Bernoulli:

inlocuim in ecuatia initiala:

, ecuatie diferentiala liniara.

Rezolvam ecuatia diferentiala care s-a obtinut, prin metoda variatiei constantelor. Scriem ecuatia atasata:

Cautam solutie pentru ecuatia diferentiala liniara, de forma:

inlocuim si obtinem:

Dar, urmarea schimbarii de variabila efectuate, avem:

22.Sa se integreze ecuatiile diferentiale de tip Bernoulli:

Solutie:

a) Pentru ecuatia diferentiala de la primul punct, avem =2, deci facem schimbarea de variabila:

.

inlocuim in ecuatia diferentiala din enunt:

Ecuatia diferentiala obtinuta este liniara, deci fie z=uv. Atunci, z'=u'v+uv' si inlocuind, rezulta:

(a)

inlocuim forma determinata pentru u in (a):

Prin urmare, solutia problemei Cauchy din ipoteza este:

.

b) Pentru ecuatia diferentiala data, avem =2, deci facem schimbarea de variabila:

.

inlocuim in ecuatia diferentiala din enunt:

Ecuatia diferentiala obtinuta este liniara, deci fie z=uv. Atunci, z'=u'v+uv' si inlocuind, rezulta:

(b)

inlocuim forma determinata pentru u in (b):

c) Pentru ecuatia diferentiala data, avem =3, deci facem schimbarea de variabila:

.

in ecuatia din enunt impartim cu si obtinem:

inlocuim schimbarea de variabila in ultima forma a ecuatiei diferentiale:

Ecuatia diferentiala obtinuta este liniara, deci fie z=uv. Atunci, z'=u'v+uv' si inlocuind, rezulta:

(c)

inlocuim forma determinata pentru u in (c):

d) Pentru ecuatia diferentiala data, avem =1`3, deci facem schimbarea de variabila: .

inlocuim in ecuatia din enunt:

Ecuatia diferentiala obtinuta este liniara, deci fie z=uv. Atunci, z'=u'v+uv' si inlocuind, rezulta:

(d)

inlocuim forma determinata pentru u in (d):

Ecuatii diferentiale de tip Riccati

Ecuatiile diferentiale de tip Riccati sunt ecuatiile diferentiale de forma:

.

Daca, pentru o asemenea ecuatie diferentiala, este o solutie particulara, facem schimbarea de variabila: ,

care transforma ecuatia data intr-o ecuatie diferentiala liniara.

24. Sa se rezolve ecuatiile diferentiale de tip Riccati:

Solutie:

Schimbarea de variabila va fi: .

inlocuim in ecuatia diferentiala din enunt:

Ultima ecuatie diferentiala este o ecuatie diferentiala liniara pentru care fie z= uv. Atunci, . inlocuim si obtinem:

(a)

inlocuim in (a):

Functia nu admite primitive, deci expresia lui v va ramane sub forma integrala. Solutia ecuatiei liniare va fi:

Schimbarea de variabila va fi: .

inlocuim in ecuatia diferentiala din enunt:

Ultima ecuatie diferentiala este o ecuatie diferentiala liniara pentru care fie z= uv. Atunci, . inlocuim si obtinem:

(b)

inlocuim in (b):

Solutia ecuatiei liniare va fi:

Schimbarea de variabila va fi: .

inlocuim in ecuatia diferentiala din enunt:

Ultima ecuatie diferentiala este o ecuatie diferentiala liniara pentru care fie z= uv. Atunci, . inlocuim si obtinem:

(c)

inlocuim in (b):

Solutia ecuatiei liniare va fi: