Variabile aleatoare discrete. Legea de distributie a unei variabile aleatoare

Variabile aleatoare discrete. Legea de distributie a unei variabile aleatoare

Definitia 1: Variabila x luand in urma unei masuratori una din valorile unei suite finite sau infinite x₁, x₂, x_{k ,}… se numeste variabila aleatoare discreta daca la fiecare valoare x_k corespunde o probabilitate p_k pentru ca variabila x ia valoarea x_k.

Rezulta din definitie ca la fiecare valoare x_k ii este asociata o probabilitate p_k

Relatia functionala ce leaga probabilitatea p_k de x_k este numita legea de distributie a probabilitatilor unei variabile aleatoare discrete, sau simplu „legea de distributie” .(vezi tabelul)

Aceeasi lege de distributie poate fi data grafic, sub forma unui poligon de distributie cand se construieste intr-un sistem de coordonate punctele de coordonate (x_k , p_k) pe care le reunim printr-o linie franta.(vezi fig.)

Legea de distributie poate de asemenea sa fie data sub forma analitica.

P_k = f (x_k)

(tabel 1)

p

(fig. 1)

0 n

Faptul ca variabila aleatoare x va lua cu necesitate una din valorile sumei

x₁, x₂, . . . x_k …

este un eveniment cert astfel ca avem intotdeauna:

= 1 (VII 25)

pentru o serie finita, sau:

= 1 (VII 25’)

pentru o serie infinita.

Exemplul 1: Probabilitatea ca sa iasa unul din numerele de pe fetele unui zar este

x 1 2 3 4 5 6

p

Exemplul 1: Fie p probabilitatea de realizare a evenimentului A in cursul fiecarei probe in parte dintr-o serie infinita de probe. Variabila aleatoare x este numarul de ordine al experientei in cursul careia evenimentul A se realizeaza pentru prima data . Sa se gaseasca legea de distributie a variabilei aleatoare x.

Solutie:Variabila aleatoare x poate sa ia oricare valoare 1,2,3… Probabilitatea p₁ pentru ca evenimentul A sa fie realizat in cursul unei probe va fi:

P₁ = P(A) = p

Probabilitatea p₂ pentru ca evenimentul A sa nu fie realizat in cursul primei probe si sa se realizeze in cea de-a doua este:

P₂ = P( si A) = (1-p) p

Probabilitatea p₃ pentru ca evenimentul A sa nu fie realizat nici in prima proba si nici in cea de-a doua proba, ci numai in a treia va fi:

P₃ = P( si si A) = (1-p) (1-p) p = (1-p)² p

si asa mai departe:

p_k = (1-p)^k-1p (VII 26)

Tabloul de distributie va fi:

x 1 2 3 ……….. k ………

p_k p (1-p)p (1-p)²p …….. (1-p)^k-1 p ……..

Avem deci si:

= 1

deoarece este o serie geometrica cu ratia (1-p)

Problema studiata mai sus se aplica problemei tirului pana cand primul foc va lovi tinta.