Reguli de simplificare booleana

Reguli de simplificare booleana

Scopul simplificarii booleene

Una dintre cele mai practice aplicatii ale algebrei booleene consta in simplificarea circuitelor logice. Daca transcriem functia logica a unui circuit sub forma booleana, si aplicam anumite reguli ecuatiei rezultate, putem reduce numarul termenilor sau operatiilor aritmetice necesare realizarii functiei initiale. Ecuatia simplificata poata fi apoi transformata inapoi sub forma de circuit logic. Sub noua forma, circuitul logic realizeaza aceiasi functie, dar cu mai putine componente. Daca un circuit echivalent poate fi realizat cu mai putine componente, costurile de realizare si de functionare vor scadea.

Identitatile si proprietatile exprimate in sectiunile precedente sunt foarte utile simplificarii booleene. Toate regulile prezentate in aceasta sectiune sunt specifice matematicii booleene.

Prima regula a simplificarii booleene

Aceasta regula poate fi demonstrata simbolic prin scoaterea termenului comun (A) in afara sumei. Aplicand apoi regulile A + 1 = 1 si 1A = A, ajungem la rezultatul final:

A + AB = A(1 + B) = A(1) = A

Observati cum a fost aplicata regula A + 1 = 1 pentru reducerea termenului (B + 1) la 1. Cand aplicam o regula precum "A + 1 = 1", exprimata prin intermediul literei "A", nu inseamna ca regula se aplica doar expresiilor ce contin "A". A-ul din aceasta expresie exprima faptul ca aceasta se aplica oricarei variabile sau grupuri de variabile booleene.

De exemplu, expresia booleana ABC + 1 se reduce tot la 1 prin intermediul aplicarii identitatii A + 1 = 1. In acest caz, termenul standard "A" din definitia identitatii reprezinta intregul termen "ABC" al expresiei de mai sus.

A doua regula a simplificarii booleene

Urmatoarea regula este aproximativ similara cu prima. Practic insa, ea este destul de diferita, iar demonstratia este putin mai dificila:

Pentru inceput, dezvoltam termenul A, folosind regula precedenta (A + AB = A). Scoatem termenul B in afara celei de-a doua sume, si aplicam apoi identitatea A + A' = 1. La sfarsit, nu ne mai ramane decat sa aplicam identitatea 1A = A pentru obtinerea rezultatului final:

A + A'B = A + AB + A'B = A + B(A + A') = A + B(1) = A + B

A treia regula a simplificarii booleene

O alta regula implica simplificarea expresiei unui produs de sume:

Pentru a demonstra aceasta relatie, realizam pentru inceput inmultirea celor doua sume. Aplicam apoi identitatea AA = A, apoi regula A + AB = A primilor doi termeni. Si, in sfarsit, aplicam aceiasi regula, A + AB = A primilor doi termeni ai expresiei rezultate. Rezultatul este conform expresiei de mai sus:

(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC = A + AB + BC = A + BC

Pe scurt, acestea sunt cele trei reguli ale simplificarii booleene: