Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Produse subdirecte. Algebre subdirect-ireductibile. Algebre simple.

Produse subdirecte. Algebre subdirect-ireductibile. Algebre simple.



Produse subdirecte. Algebre subdirect-ireductibile. Algebre simple.

Definitia 1. Fie (Ai)iII o familie (nevida) de algebre de tip t.

Vom spune ca o algebra A de acelasi tip t este produsul subdirect al familiei (Ai)iII daca:

i) A £Ai

ii) pi (A) = Ai pentru orice i I I ((pi)iII fiind proiectiile produsului direct PAi).

O scufundare u : A ®Ai se zice subdirecta daca u(A) este produsul subdirect al familiei (Ai)iII.

Lema 2. Fie (qi)iII o familie de elemente ale lui Con(A) astfel incat           qi = DA.

Atunci morfismul natural u : A ®Ai / qi este o scufundare subdirecta. 

Demonstratie:  u este o scufundare (adica este injectie) deoarece daca consideram pq: A ® A / qt morfismul surjectiv canonic, atunci Ker (pq) = qi pentru orice i I I.

Cum fiecare pqeste morfism surjectiv, deducem ca u este scufundare subdirecta.g

Definitia 3. O algebra A de tip t se zice subdirect-ireductibila daca pentru orice familie (Ai)iII de algebre de tip t si scufundare subdirecta u : A ®AAi exista i I I astfel incat piu : A ® Ai este izomorfism.

Teorema  O algebra A este subdirect-ireductibila daca si numai daca A este triviala sau in Con (A) exista un element minimal (in acest ultim caz elementul minimal Ç (Con (A) ) este o congruenta principala). 

Demonstratie:  ' T '. Sa presupun prin absurd ca A nu este triviala iar     Con (A) nu are elemente minimale. Atunci Ç (Con) (A)) = si daca I=Con(A), morfismului natural u : A®  (A q)  este o scufundare subdirecta iar cum morfismul natural pq : A®A / q nu este injectiv pentru orice q I I, rezulta ca A nu este subdirect –ireductibila - absurd!

'Ü' . Daca A este triviala si u : A ®Ai / q este o scufundare subdirecta, atunci fiecare Ai este triviala, deci fiecare, piu este izomorfism .

Sa presupunem acum ca A nu este triviala si fie q Ç (Con (A)) ¹ . Alegem (a, b) I q cu a ¹ b. Daca u : A ® Ai  este o scufundare subdirecta, atunci pentru un anumit iII (u(a))(i) ¹ (u(b))(i), deci (piu)(a) ¹ (piu)(b). Rezulta ca        (a, b) Ï Ker (pi  u), deci q Ker (piu) = DA, ceea ce implica Ker (piu)=DA, adica piu : A ® Ai este izoform, deci A este subdirect-ireductebila si in acest caz. Daca Con (A) are un element minimal q, atunci exista a, b I A, a ¹ b cu (a, b) I q, de unde Q (a, b) Í q, deci q = Q(a, b). g

Observatie: Utilizand acest ultim rezultat putem pune in evidenta anumite clase de algebre subdirect-ireductibile si anume:

1. Un grup abelian finit G este subdirect ireductibil daca si numai daca este   ciclic iar ÷G÷ = pn pentru un numar prim p (daca G este p - grup ciclic).

2. Grupul Gp¥ este subdirect-ireductibil.

3. Orice grup simplu este subdirect-ireductibil.

 Un spatiu vectorial peste un corp K este subdirect-ireductibil daca si numai daca este trivial (spatiu  vectorial nul), sau este de dimensiune 1.

5. Orice algebra cu 2 elemente este subdirect-ireductibila.

O algebra indecompozabila (direct) poate sa nu fie subdirect-ireductibila (de exemplu, daca consideram un lant cu 3 elemente ca latice) .

Invers este insa adevarat. Deoarece orice congruenta factor pe o algebra subdirect-ireductibila este (D, Ñ), deducem ca orice algebra subdirect-ireductibila este direct indecompozabila.

Teorema 5. (Birkhoff). Orice algebra A este izomorfa cu un produs subdirect de algebre subdirect-ireductibile.

Demonstratie: Este suficient sa consideram doar cazul cand A este netriviala.  Pentru a, b I A , a ¹ b, conform Lemei lui Zorn exista o congruenta qa,b a lui A ce este maximala cu proprietatea ca (a, b) Ï qa,b. Atunci Q (a, b) Ú qa,b este cea mai mica congruenta din [qa,b, ÑA] si A / qa,b este subdirect-ireductibila. 

Cum Ç=, deducem ca A este scufundabila sudirect in ) format din algebre subdirect-ireductibile .g

Corolar 6. Orice algrbra finita este izomorfa cu un produs subdirect al unui numar finit de algebre finite subdirect ireductibile .

Definitia 7. O algebra A se zice simpla daca Con (A) =. O congruenta q I Con (A) se zice maximala pe A daca [q,ÑA] are exact doua elemente.

             Teorema 8. Daca q I Con(A), atunci A / q este simpla daca si numai daca q este o congruenta maximala pe A sau q =DA.

Demonstratie: Conform teoremei de corespondenta, Con (A/q) » [q,ÑA] si totul rezulta acum tinand cont de definitia algebrei simple.g








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Metoda Gauss
Functii armonice
Tipuri simple de ecuatii diferentiale integrabile prin cuadraturi
Formula dreptunghiurilor (metoda mediilor)
Marimile medii matematice
Aproximarea analitica a functiilor date tabelar
ARII SI VOLUME
TRANSFORMATA LAPLACE


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu