Constante critice ale gazului van der Waals

Am vazut din discutia anterioara despre fenomenul critic ca expresia matematica care defineste punctual critic este

,        (6.1)

si

.        (6.2)

Cu alte cuvinte , izoterma critica dintr-o diagrama a p-V are un punct de inflexiune. Ecuatiile (6.1) si (6.2) constituie un set de doua ecuatii cu doua necunoscute, V si T. Putem verifica daca o anumita ecuatie de stare da un anume punct critic prin calcularea acestor doua derivate ale ecuatiei de stare si prin a incerca sa rezolvam cele doua ecuatii. Daca exista cel putin o solutie pentru acest sistem, (si T si V sunt diferite de zero sau infinit) putem spune atunci ca ecuatia de stare are un punct critic.

Sa exersam aceasta aplicatie in cazul gazului van der Waals si sa vedem daca acesta are un punct critic. In primul rand trebuie sa rezolvam ecuatia de stare pentru o presiune, p,

.        (6.3)

Putem lua acum in considerare derivatele ecuatiilor (6.1) respective (6.2) si de a le egala, pe fiecare in parte cu zero.

        (6.4)

.        (6.5)

pentru a considera aceasta rezolvare una pur algebrica sa consideram rezolvarea acestui sistem ca funtii de doua necunoscute V si T (a caror solutii vor fi V_C si T_C),

        (6.6)

        (6.7)

Exista cateva modalitati de rezolvare a sistemului de ecuatii. Una din aceasta consta in multiplicarea ecuatiei (6.6) prin

pentru a obtine

             (6.8)

Daca adunam acum ecuatiile (6.7) cu (6.8), tinand cont ca termenii in T cor disparea, avem:

        (6.9)

Impartind acum ecuatia (6.9) prin 2an² si multiplicand cu V ³ (precum si trecand termenii negative in cealalta parte a ecuatiei) rezulta:

         (6.10)

care este simplu de rezolvat si da

        (6.11)

Pentru a afla temperatura critica, vom inlocui valoarea volumului critic din ecuatia (6.11) intr-una din derivatele sale (care trebuie sa fie egala cu zero), sa zicem in ecuatia (6.6). Va rezulta:

        (6.12)

care "curatita" duce la:

        (6.13)

sau

        (6.14)

Presiunea critica se obtine inlocuind V_C si T_C in ecuatiile de stare van der Waals si rezolvand acestea pentru variabila p in ecuatia (6.3).

         (6.15 a,b)

Aceasta poate fi simplificata la,

        (6.16)

Concluzia care poate fi desprinsa este aceea ca ecuatia de stare van der Waals duce la puncte critice deoarece sistemul de ecuatii format din ecuatiile (6.1) si (6.2) are o solutie unica.

Ecuatia de stare van der Waals este totusi o ecuatie de stare aproximativa si nu reprezinta exact nici un gaz real. Totusi, ea reprezinta cea mai buna reprezentare si cea mai buna aproximatie in rezolvarea problematicii gazului real. Vom vedea ca emitem relatii termodinamice utilizand aceasta aproximare de gaz ideal, prin redenumirea lor utilizand ecuatia de stare van der Walls pentru a observa deplasarea fata de linearitate a sistemelor considerate.