Ecuatii de propagare pentru camp si potential

Ecuatii de propagare pentru camp si potential

Propagarea undelor electromagnetice este una din consecintele cele mai importante rezultate din ecuatiile Maxwell. Prevazuta teoretic inca din 1864, propagarea undelor electromagnetice nu a fost studiata experimental decat in 1888 de catre H. Hertz.

In capitolul anterior am stabilit ecuatiile Maxwell pentru vid sub forma:

(12)

(13)

(14)

(15)

In absenta surselor () ecuatiile de mai sus devin un sistem de patru ecuatii cuplate omogene :

(14')

(15')

ce pun in evidenta rolul analog al vectorilor in sensul ca prezenta unui camp variabil conduce la aparitia unui camp electric , care la randul sau da nastere unui camp magnetic.

Pentru a gasi solutii ale ecuatiilor Maxwell se elimina unul din campurile sau . In acest scop se utilizeaza relatia vectoriala :

Aplicand operatorul rot ecuatiei (12) se obtine :

Aplicand operatorul grad ecuatiei (14') se obtine

Folosind ecuatia (15') se obtine

sau

(16)

unde

(17)

are dimensiunea unei viteze si este caracteristica vidului. Aceasta marime se numeste viteza de propagare a campului electromagnetic in vid si are valoarea c=2,99792458 10⁸ m/s.

In aceeasi maniera se poate deduce relatia:

(18)

Cum ecuatiile (16) si (18) sunt analoage ecuatiei de propagare a undelor dedusa in paragrafele precedente, aceste ecuatii sunt numite ecuatiile de unda pentru campuri.

Scrierea ecuatiilor undelor poate fi condensata prin introducerea operatorului lui d'Alembert  :

(19)

Se poate scrie acum :

(20)

Pentru potentialul electromagnetic se pot de asemenea stabili ecuatii analoage :

(21)

iar din (15') :

(22)

Din (21) si (22) se obtine :

(23)

Cum din (14') , rezulta :

(24)

Ecuatiile (23) si (24) sunt ecuatiile potentialului electromagnetic. Aceste ecuatii sunt cuplate.

Daca se impune acestor ecuatii conditia suplimentara a lui Lorentz :

se obtin urmatoarele ecuatii :

(25)

Folosind deci conditia suplimentara a lui Lorentz V si sunt decuplate si verifica aceeasi ecuatie, ecuatia de propagare a undelor.