Frecventa relativa si probabilitatea frecventei relative

Frecventa relativa si probabilitatea frecventei relative in cursul unor masuratori (incercari - probe) repetate.

Sa ne imaginam ca se efectueaza o serie de n probe. In cursul fiecarei probe un eveniment A poate sa aiba loc cu probabilitatea p. Fie x variabila aleatoare ce defineste frecventa relativa de realizare a evenimentului A in cursul unei serii de n probe. Se cere sa se determine legea de distributie a variabilei aleatoare x pentru o serie de n probe.

Este evident ca variabila aleatoare n va lua in cursul celor n probe una din valorile urmatoare:

, , .. ,

Teorema 1: Probabilitatea P(x = ) pentru ca variabila aleatoare x sa ia valoarea , altfel spus, pentru ca in cursul a n probe, evenimentul A sa se realizeze de m ori si evenimentul contra (A nu are) de (n-m) ori este egala unde este numarul de combinatii de n elemente luate de m ori; p este probabilitatea evenimentului A; p = P(A); q este probabilitatea de nerealizare a evenimentului A, altfel spus q = 1- p = P() .

Demonstratie: Evenimentul A se produce de m ori in cursul a n probe daca de exemplu, evenimentele si A se succed dupa cum urmeaza:

AA.........A ....

n n-m

Altfel spus, in cursul primelor m probe, evenimentul A apare si in cursul ultimului (n-m) urmatoare probe, evenimentul nu apare adica se realizeaza evenimentul ().

Dar conform teoremei:

P(A) = p P() = 1- p = q

In virtutea termenului produsului, probabilitatea unei astfel de succesiuni de evenimente va fi:

p^m q^{n - m}

Evenimentul A poate de asemenea sa se produca de m ori in cursul celor n probe cu o alta succesiune a evenimentelor A si , de exemplu urmatoarea succesiune:

AA.........A .... A

m-1 n-m ₁

Necesar este ca evenimentul A sa se produca cu necesitate de m ori si evenimentul A de n-m ori. Probabilitatea unei astfel de succesiuni este:

P^m-1 q^n-m p = p^m q ^{n - m}

Dar cate succesiuni diferite ale evenimentelor A si sunt posibile pentru n probe daca evenimentul A este realizat de m ori.

Este evident ca numarul lor corespunde numarul de combinatii de n elemente luate de m ori.

=

Vom obtine, conform teoremei ca:

P( x =) = p^m q ^{n - m} + p^m q ^{n - m} + ..+ p^m q ^{n - m}

sau inca:

P( x =) = p^m q ^{n - m} (VII 27)

si teorema este demonstrata.

Demonstratia teoremei ne permite sa definim legea de distributie a unei variabile aleatoare x, pe care o punem sub forma de tablou:

x ... . .

P( x =) 1* qⁿ pq ^{n - 1} p²q ^{n - 2} p^mq^{n - m} ..

Legea de distributie astfel obtinuta se numeste lege binomiala deoarece probabilitatea :

P( x =)

sunt egali cu termenii corespunzatori dezvoltarii expresiei:

(q + p)ⁿ

dupa formula binomiala:

(q + p)^m = (VII 28)

suma probabilitatilor tuturor valorilor posibile este dupa cum se poate vedea egala cu 1, deoarece:

(p + q)^m = 1ⁿ =1

Remarca: In studiul diferitelor probleme avem nevoie de a determina probabilitatea pentru ca evenimentul A sa fie realizat cel putin o singura data, astfel spus frecventa relativa a evenimentului x .

Este evident ca probabilitatea P( x ) este determinata plecand de la egalitatea:

P( x ) = 1 - p( x = ) = 1- qⁿ (VII 29)

Din tabloul de distributie rezulta ca probabilitatea P( x ), pentru ca evenimentul sa aiba loc de cel putin k ori va fi determinat de formula:

P( x ) = (VII 30)

sau inca:

P( x ) = 1 - (VII 31)

Exemplul 1: Sa se reprezinte grafic legea de distributie a unei variabile aleatoare x pentru n = 8, p ; q =

Solutie: Determinam toate valorile probabilitatilor din tablou:

P( x=0) = = 1 =

P( x=) = ()⁷ = =

P( x=) = ()⁸ = =

P( x=) = ()⁸ = =

P( x=) = ()⁸ = =

P( x=) = ()⁸ =

P( x=) = ()⁸ =

P( x=) = ()⁸ =

P( x=) = ()⁸ =

Graficul acestei reprezentari este:

p

O

Exemplul 2: Care este probabilitatea pentru ca evenimentul A sa se produca de 2 ori:

a)    in timpul a doua probe

b in cursul a trei probe

c) in cursul a zece probe daca probabilitatea de realizare are un eveniment in cursul fiecarei probe de 0,4.?

Solutie:

a)    Aici n=2; p=0,4 ; q=0,6

P( x = ) = = = 0,16

b)   Aici n=3; p=0,4 ; q=0,6

P( x = ) = = * 0,6 = 0,288

c)    Aici n=10; p=0,4 ; q=0,6

P( x = ) = = (0,6)⁸ = 0,121

Exemplul 3: Se efectueaza 4 probe independente. Probabilitatea de realizare a evenimentului A este 0 pentru fiecare proba. Sa se determine probabilitatea pentru ca evenimentul A sa se realizeze de cel putin 2 ori.

Solutie: Aici n = 4; p = 0,5 ; q = 0,5;

P(x ) = P(x =) + P(x =) + P(x =)

sau

P(x ) = 1 - P(x =) + P(x =)

Calculam probabilitatea:

P(x <) = P(x =) + P(x =) = q⁴ + 4q³ p¹ = (0,5)⁴ + 4(0,5)⁴ = 0,3125

Vom obtine in consecinta utilizand formula a doua:

P(x ) = 1 - [(0,5)⁴ + 4(0,5)⁴] = 0,6875

Exemplul 4: Probabilitatea rebutului intr-un lot de piese este p = 0 . Care este probabilitatea pentru ca intr-un lot de 3 piese sa avem m = 0; m = 1; m = 2; m = 3 piese defecte?

P( x =) = = 1 (0,9)³ = 0,729

P( x =) = p² q = = 0,243

P( x =) = p q² = ^{. .} (0 )² * (0,9) = 0,027

P( x =) = p³ = 1^.(0,1)³ = 0,001