Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Functii de variabile aleatoare

Functii de variabile aleatoare



Functii de variabile aleatoare

Presupunem ca legea de distributie a variabilei aleatoare x sa fie data sub forma tabloului urmator.

x x1 x2 …. xk ……….. xn




p p1 p2 …. pk ……….. pn

Consideram o functie de variabila aleatoare x.

y = f(x)

Valorile functiei yk = f(xk) vor fi valori ale variabilei aleatoare y.

Daca toate valorile yk = f(xk) sunt diferite, legea de distributie a variabilei aleatoare y va fi data prin tabloul:

y = f(x)  y1 = f(x1) y2 = f(x2) ……………. yn = f(xn)


p p1 p2 ………………………… pn

Daca pentru valorile yk = f(xk) unele sunt egale intre ele, coloanele corespunzatoare vor fi reunite intr-una singura insumand probabilitatile corespunzatoare.

Speranta matematica a functiei y = f(x) a variabilei aleatoare x va fi determinata cu ajutorul unei formule cunoscuta.

M[f(x)] =

Se defineste de asemenea varianta functiei:

D[f(x)] = M[(f(x) – M[f(x)])2] =

Exemplul 1. Legea de distributie j a unei variabile aleatoare este data de urmatorul tablou:


j 0


pk 0,1 0,1 0,2 0,3 0,3

Se considera functia:

y= A sinj

a acestei variabile aleatoare.

Dispunem in tablou distributia variabilei aleatoare y:


y - A 0 A


pk 0,1 0,1 0,2 0,3 0,3

Sa calculam speranta matematica a functiei:

M[A sinj ] = -A* 0,1 - + 0,02 + + A * 0,3 =

= A (0,2 + ) = A(0,2 + 0,14) = 0,34 * A

Tipuri de aceste probleme se intalnesc in studiul proceselor vibratoare.

  1. Variabile aleatoare continue. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Probabilitatea pentru ca o variabila aleatoare sa apartina unui interval dat.

Pentru a intelege problema consideram un exemplu.

Exemplu: Se masoara uzura unui cilindru dupa o anumita perioada de exploatare. Aceasta marime este determinata de valoarea de crestere a diametrului cilindrului. O notam cu x. Din natura problemei rezulta ca aceasta cantitate x poate sa ia toate valorile intr-un anumit interval (a, b) al valorilor posibile.

O cantitate de acest gen se numeste variabila aleatoare continua.

Consideram deci o variabila aleatoare continua x data in intervalul (a, b) care poate fi interval infinit (). Impartim acest interval cu ajutorul punctelor arbitrare x0, x1, … xn in intervale mici, arbitrare de lungime

Axi-1 = xi – xi-1

Presupunem ca, cunoastem probabilitatea de apartenenta a variabilei aleatoare x la intervalul (xi-1, xi). Vom nota aceasta probabilitate in felul urmator:

P (xi-1 < < xi)

Si o vom reprezenta sub forma ariei rectangulare de baza xi. (vezi fig. 1)


y y


0 xi-1 xi x x+Dx x

Pentru fiecare interval (xi-1, xi) se determina probabilitatea ca variabila aleatoare x sa apartina de acest interval si in consecinta se poate construi linia poligonala sau scara.

Definitia 1. Daca exista o functie y = f(x), astfel incat:

lim = f (x) (VII 46)

aceasta functie f(x) este numita densitate de distributie a probabilitatilor variabilei aleatoare , sau „legea de distributie” (sau inca „densitatea de probabilitate”).

Vom nota prin variabila aleatoare continua, prin x sau xk valoarea acestei variabile aleatoare. Curba y = f(x) este numita curba de distributie a probabilitatilor, sau curba de densitate (fig.2). Utilizand notiunea de limita, se obtine plecand de la egalitatea (VII 45).

P (x < < x + Dx) f(x)Dx  (VII 47)

Teorema 1. Fie f(x) densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare . Atunci probabilitatea pentru ca valoarea variabilei aleatoare x sa se gaseasca intr-un anumit interval (a b este egala cu integrala definita de functia f(x) intre limitele a si b altfel spus avem egalitatea:

P (a< x< b) =   (VII 48)

Demonstratie. Impartim intervalul (a b cu ajutorul punctelor  (a = x­1, ­ x­2 ,…, x­n+1 = b in n mici intervale (fig. 3). Aplicam fiecarui interval formula (47):

P (x1< < x2) f(x1)Dx1

P (x2< < x3) f(x2)Dx2



…………………………………….

P (xn< < xn+1) f(xn)Dxn

Adunam membrii din partea stanga si pe cei din parte dreapta. Este evident ca in stanga obtinem P (a<< b Astfel:

P (a<< b

Am obtinut o egalitate aproximativa.


0 a = x1  xn xn+1 = b

M1



M2


a b x

Trecand la limita in membrul doi cand Dxi vom obtine, in virtutea proprietatilor sumelor integrale, ca egalitatea exista:

P (a<< b) =

(vom presupune ca functia f(x) este astfel ca limita la dreapta exista_____00+). Dar limita membrului secund nu este alta decat integrala definita a functiei f(x) intre limitele a si b Noi avem astfel:

P (a<< b) =

Teorema este demonstrata.

Vom putea deci, cunoscand densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare, sa determinam probabilitatea pentru ca aceasta variabila aleatoare sa ia valoarea sa in intervalul considerat. Geometric vorbind aceasta probabilitate este egala cu trapezul curbiliniu. (Fig.4).

Remarca. In cursul unei variabile aleatoare continua, probabilitatea actualizarii evenimentului, constand in aceea ca x = x0 , va fi nula.

Intr-adevar, punand egalitatea (VII 47) x = x0 vom obtine:

P (x0 < < x0 + Dx) f(x0)Dx

de unde

sau inca

P(x = x0 ) = 0

Aceasta deoarece in egalitatea (VII 48), ca si in egalitatile precedente putem scrie nu numai:

P (a< < b), dar si P (a b

Fiind data ca:

P (a b) = P (=a ) + P (a< < b) + P (= b) = P (a< < b

Daca toate valorile posibile ale variabilei aleatoare x se gasesc in intervalul (a, b), atunci:

(VII 49)

deoarece se stie cu certitudine ca variabila aleatoare apartine intervalului (a, b).

Daca intervalul valorilor posibile este (-), atunci:

(VII 50)

Notam ca daca din desfasurarea probei rezulta ca functia F(x) este determinata pe intervalul finit (a, b) se poate estima ca ea este determinata pe tot intervalul infinit

(-), dar ca:

f(x) = 0

in exteriorul intervalului (a, b). In acest caz avem de asemenea egalitatile (VII 49) si (VII 50).

Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare defineste in intregime variabila aleatoare.





loading...




Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE CLASA: a X a EDUCATIE MUZICALA - OPERA IN GERMANIA SI RUSIA
 PROIECT DIDACTIC 3-5 ani Limba si comunicare - Strugurele, de Maria Gaitan
 Proiect instalatii electrice - Sa se proiecteze instalatia electrica si de forta a unei microintreprinderi la alegerea studentului
 PROIECT - Ingineria reglarii automate - sistemul de reglare automata a unei actionari cu motor electric

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 LUCRARE DE DIPLOMA - Rolul asistentului medical in ingrijirea pacientului cu A.V.C.
 Relatiile diplomatice dintre Romania si Austro- Ungaria din a doua jumatate a secolului al XIX-lea
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
 Lucrare de licenta educatie fizica si sport - studiu asupra imbunataȚirii motricitaȚii in lectia de educatie fizica la clasele a v-a de la &
 Lucrare de licenta ecologie si protectia mediului - aspecte ecologice privind fauna de orthoptere si mantide din parcul national muntii macinului
 LUCRARE DE LICENTA - Asigurarea calitatii la firma Trans

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT INFORMATICA - GESTIONAREA STOCULUI UNEI FARMACII
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 Evidenta a clientilor dar si a serviciilor in Visual Fox pro 9 - Lucrare de atestat
 Lucrare atestat Tehnician in turism - CALITATEA SERVICIILOR TURISTICE




ANALIZA SERIILOR TEMPORALE
Constructia unei baze ortonormate, pornind de la o baza data
Variatia si reprezentarea grafica a functiilor trigonometrice
Conditionarea problemei si stabilirea algoritmilor
Speranta matematica a unei variabile aleatoare discrete
Dependenta si independenta liniara
Determinarea solutiei aproximative a ecuatiei diferentiale dupa conditia initiala
Teorema limita centrala




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu