Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Speranta matematica a unei variabile aleatoare discrete

Speranta matematica a unei variabile aleatoare discrete



Speranta matematica a unei variabile aleatoare discrete.

Fie x o variabila aleatoare discreta a carei lege de distributie este urmatoarea:

x x1 x2 x3 ….. … xk … …… xn




P( x = xk ) p1 p2 p3 ……..………….. pk pn


Definitia 1: Se numeste speranta matematica a variabilei aleatoare discrete x (pe care o notam cu M[x] sau mx) suma tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare prin probabilitatile respective ale acestor valori

M[x] = x1 p1 + x2 p2 + …………. + xn pn (VII 32)

sau mai simplu:

M[x] = (VII 33)

In acest caz avem, dupa cum am mentionat mai sus:

= 1

Daca valorile variabilei aleatoare formeaza o serie infinita de valori, atunci

Mx = (VII 34)

Noi nu vom considera decat variabilele aleatoare pentru care aceasta serie converge. Sa stabilim acum relatia dintre speranta matematica a unei variabile aleatoare si media aritmetica a valorilor variabilei aleatoare pentru un numar mare de probe ; mai exact sa aratam ca pentru un numar mare de probe, media aritmetica a valorilor observate este aproape de speranta matematica sau in virtutea „capitolului 1” putem afirma ca media aritmetica a valorilor observate a unei variabile aleatoare tinde, cand numarul de probe creste nedefinit, spre speranta matematica.

Sa ne imaginam ca efectuam N probe independente. Presupunem ca:

- valoarea x1 se manifesta de n1 ori

- valoarea x2 se manifesta de n2 ori

- valoarea xv se manifesta de nv ori

Variabila aleatoare x ia valorile x1 , x2 , x3 , …………xv

Sa calculam media aritmetica a valorilor obtinute de variabila x (vom nota aceasta medie aritmetica prin [x] sau ).

Avem deci:

= =

+ + ………….. + (VII 35)

Cum pentru un numar mare de probe N frecventa relativa tinde spre probabilitatea de realizare a valorii xk , avem:

Rezulta deci imediat ca:

[x] M [x] (VII 36)

Remarca 1 Daca am considera schema urnelor cu N bile, din care n1 bile marcate cu semnul x1 si n2 marcate cu semnul x2 …..etc, numarul sperat cand se extrage o bila, va fi dat de forma (34) altfel spus este egal cu .

Solutia: Variabila aleatoare x poate sa ia valorile :

x1 = 0; x3 = 1; x3 = 2; x4 = 3.

Vom pune intr-un tablou distributia variabilei aleatoare date. Vom gasi probabilitatea acestor valori dupa teorema probelor repetate. (n=3; p = 0,4; q = 0,6)

P( x = 0) = (0,6)3 = 0,216

P( x =1) = (0,4)(0,6)2 = 0,432

P( x =2) = (0,4)2(0,6) = 0,288

P( x =3) = (0,4)3 = 0,064

Tabloul distributiei variabilei aleatoare va fi:

x 0 1 2 3

P(x = xk) 0,46 0,432 0,288 0,064


Vom calcula speranta matematica dupa formula(34).

= 0*0,0216 + 1*0,432 + 2*0,288 + 3*0,064 = 1,2 realizari

Exemplul 2. Se efectueaza o proba in cursul careia evenimentul A poate sau nu avea loc. Probabilitatea ca evenimentul sa se realizeze este egala cu p. Sa se determine speranta matematica a variabilei aleatoare X exprimand numarul de realizari al evenimentului.

Formam tabloul distributiei variabilei aleatoare:

x 0 1


pk 1-p p


Remarca 2. Se poate stabili in continuare ca speranta matematica M[x] a numarului de realizare a evenimentului A in cursul a n probe independente este egala cu produsul numarului de probe prin probabilitatea p de realizare a evenimentului A in fiecare proba.

M[x]= np (VII 37)

Solutia problemei de la exemplul 1 va fi astfel:


M[x]= n*p = 3.0,4 = 1,2 realizari

Daca in formula (37) se cunoaste M[x] si p, se poate gasi n care este numarul de probe care dau speranta matematicii ceruta de numarul de realizari a evenimentului.

Exemplul 3. Sa se determine speranta matematica a variabilei aleatoare al carui tablou de distributie este urmatorul:

x 1 2 3 … k ……

pk p (1-p)p (1-p)2 p …(1-p)k-1 p…


Solutie: Avem in virtutea relatiei (34) notand cu 1-p = q

mx = 1* p + 2q.p + 3q2p + ………. + kqk-1p + …… =

= p(1 + 2q + 3q2 + …… + kqk-1 + …) =

= p(q + q2 + q3 + …….. + qk + …….) =

= p() = p = = =

Astfel:

mx =

Notam ca mx 1 cand p1

mx cand p0

Se pot explica aceste relatii bazandu-ne pe sensul problemei.

Daca probabilitatea de realizare a evenimentului A este pentru fiecare proba aproape 1 (p ), se poate astepta ca evenimentul A sa aiba loc in cursul unei singure probe (prima) (mx ). Din contra, daca probabilitatea p este mica (p se poate astepta ca pentru realizare sa fie efectuat un numar mare de probe (mx

Se numeste centrul de distributie a probabilitatilor variabilei aleatoare X speranta matematica a variabilei aleatoare X.

Remarca 3: Termenul ” centru de distributie a probabilitatilor” este introdus prin analogie cu cel al „centrului de greutate”. Daca pe axa 0x se atribuie punctele de abscise x1 , x2 , … ,xn ; masele p1 , p2 , … ,pn se stie de la mecanica teoretica ca centrul de greutate al acestor mase va fi determinata de formula.

(VII 38)

Daca

Atunci

x c = (VII 39)

Formula (39) coincide cu formula sperantei matematice (34).

Am stabilit astfel ca centrul de greutate si speranta matematica se calculeaza cu ajutorul unor formule analoage. Aceasta este motivul pentru care am introdus termenul „ centru de distributie a probabilitatilor”.

Fie data o variabila aleatoare x cu legea sa de distributie data de figura alaturata: (fig 1). Presupunem ca speranta sa matematica este mx.

P


x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 X


Consideram diferenta intre variabilele aleatoare x si speranta matematica x- mx. Vom numi aceasta variabila centrala sau abatere si o vom nota prin x0.

Este evident ca legea de distributie a acestei variabile aleatoare x0 va fi (cf. fig. 2)


= - = - ………….. = -


……………..


Vom gasi speranta matematica a variabilei aleatoare centrala:

M [- ] = - - =

== . 1 = 0 (VII 40)

Astfel speranta matematica a unei variabile aleatoare centrale este nula.

Remarca 4. Este util cateodata sa se considere o variabila nealeatoare (certa) constanta ca o variabila aleatoare, care ia la probabilitatea 1 valoarea c si la probabilitatea 0 alta valoare.

In acest sens se poate apoi sa se vorbeasca de speranta matematica a unei constante.





loading...




Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE CLASA: a X a EDUCATIE MUZICALA - OPERA IN GERMANIA SI RUSIA
 PROIECT DIDACTIC 3-5 ani Limba si comunicare - Strugurele, de Maria Gaitan
 Proiect instalatii electrice - Sa se proiecteze instalatia electrica si de forta a unei microintreprinderi la alegerea studentului
 PROIECT - Ingineria reglarii automate - sistemul de reglare automata a unei actionari cu motor electric

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 LUCRARE DE DIPLOMA - Rolul asistentului medical in ingrijirea pacientului cu A.V.C.
 Relatiile diplomatice dintre Romania si Austro- Ungaria din a doua jumatate a secolului al XIX-lea
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 Lucrare de licenta contabilitate si informatica de gestiune - politici si tratamente contabile privind leasingul (ias 17). prevalenta economicului asupra juridicului
 Lucrare de licenta educatie fizica si sport - studiu asupra imbunataȚirii motricitaȚii in lectia de educatie fizica la clasele a v-a de la &
 Lucrare de licenta ecologie si protectia mediului - aspecte ecologice privind fauna de orthoptere si mantide din parcul national muntii macinului
 LUCRARE DE LICENTA - Asigurarea calitatii la firma Trans

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT INFORMATICA - GESTIONAREA STOCULUI UNEI FARMACII
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 Evidenta a clientilor dar si a serviciilor in Visual Fox pro 9 - Lucrare de atestat
 Lucrare atestat Tehnician in turism - CALITATEA SERVICIILOR TURISTICE




Functii reale de mai multe variabile reale. Limite, continuitate, uniform continuitate
Valoarea medie a sumei
APLICAII LINIARE
Modele cu ecuatii simultane
CODURI CONVOLUTIONALE
Spatii vectoriale
UTILIZAREA MATEMATICII CA INSTRUMENT DE LUCRU LA ELABORAREA MODELELOR IN VEDEREA FUNDAMENTARII METODELOR DE ANALIZA SI EVALUARE A RISCURIULOR PROFESIO
Descrierea matematica a semnalelor continue deterministe




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu