Descrierea matematica a semnalelor continue deterministe

Semnalele continue deterministe pot fi descrise matematic in trei moduri, si anume: in domeniul timp, in domeniul complex si in domeniul frecventa (spectral). Cele trei moduri de descriere sunt echivalente sub raport informational, dar fiecare dintre ele prezinta anumite avantaje in exploatarea concreta, ceea ce impune atat studierea lor separata, cat si stabilirea interconexiunilor. In general, descrierile in domeniul timp si frecventa sunt acompaniate de un suport intuitiv, iar descrierile in domeniul complex servesc efectuarii de calcule.

Reprezentarea in domeniul timp

In cazul determinist (la care limitam discutia noastra) semnalele, ca entitati fizice, sunt descrise matematic in domeniul timp prin functii reale , unde variabila independenta t are semnificatia de timp continuu. Acest mod de descriere presupune ca valoarea semnalului este cognoscibila (potential masurabila) la fiecare moment de timp, ceea ce atrage si denumirea de semnal continuu. Evident, functiei reale i se poate asocia o reprezentare grafica, furnizand astfel o caracterizare intuitiva a semnalului. Marginirea si evolutia asimptotica spre o valoare finita sunt proprietati importante ale semnalelor evidentiate de reprezentarea in domeniul timp.

Reprezentarea in domeniul complex

Descrierea matematica in domeniul complex se realizeaza cu ajutorul transformarii Laplace. Transformarea Laplace directa asociaza fiecarui semnal din clasa originalelor (O), o functie de variabila complexa din clasa functiilor imagine (I), conform aplicatiei . Transformarea Laplace inversa actioneaza de la clasa imaginilor la cea a originalelor, furnizand , conform aplicatiei .

Daca pentru timpul continuu se stabileste un reper cu semnificatia de origine , la stanga caruia semnalul este identic nul, atunci se spune ca este un semnal cauzal si reprezentarea in domeniul complex utilizeaza transformarea Laplace unilaterala (directa sau inversa). Daca semnalul este definit pe intreaga multime R, atunci se spune ca este un semnal acauzal si reprezentarea in domeniul complex utilizeaza transformarea Laplace bilaterala (directa sau inversa). Spre a face usor distinctie intre cele doua transformari, in notatia transformarii bilaterale se adauga II sub forma de indice.

Pentru cauzal, transformarea Laplace unilaterala directa furnizeaza imaginea:

, ( .

iar pentru acauzal, transformarea Laplace bilaterala directa furnizeaza imaginea:

. ( . )

Este evident faptul ca pentru orice semnal cauzal are loc egalitatea .

Nu toate semnalele apartin clasei originalelor, adica nu toate semnalele sunt transformabile Laplace. Restrictia esentiala este impusa de modul de variatie a lui , care trebuie sa permita convergenta integralei din (1) si, respectiv, ( ). Pentru detalii matematice, se recomanda consultarea lucrarii (Sabac, 1981).

Deasemenea, nu toate functiile de variabila complexa sunt functii imagine. Pentru orice functie care este imagine in raport cu transformarea unilaterala, exista o constanta astfel incat este olomorfa pentru (conform ilustrarii grafice din fig. 1(a) - zona hasurata), sau, echivalent, toate singularitatile lui se afla in semiplanul . Constanta este tocmai masura modului de variatie a lui despre care am amintit mai sus in discutia despre clasa originalelor. Aceste constatari se regasesc adecvat in cazul transformarii bilaterale, cand domeniul de olomorfie al oricarei imagini este de forma (conform ilustrarii grafice din fig. 1(b) - zona hasurata), adica singularitatile lui sunt plasate in si in

(a) (b)

Fig.  Domeniul de olomorfie al imaginilor Laplace, ca functii de variabila complexa: (a) pentru transformarea unilaterala ;
(b) pentru transformarea bilaterala

Pentru a extinde clasa de semnale prelucrabile cu ajutorul transformarii Laplace se apeleaza la descrieri de tip distributii si la definirea adecvata a transformarii. Detalii in acest sens pot fi gasite, de exemplu, in (Kecs, 1981), (Nistor si Tofan, 1997).

Conexiuni intre proprietatile semnalului descris in domeniul timp si localizarea polilor imaginii Laplace

Proprietatile transformarii Laplace stabilesc legaturi biunivoce intre proprietatile semnalului descris in domeniul timp si localizarea polilor imaginii in planul complex (considerand imaginea de tipul functie rationala). Ne referim numai la transformarea Laplace unilaterala.

De exemplu, in cazul unui semnal cauzal , marginirea (ca proprietate in domeniul timp) este echivalenta cu faptul ca imaginea are toti polii in , iar polii de pe axa imaginara () sunt simpli. De asemenea, evolutia asimptotica a lui catre o valoare finita (ca proprietate in domeniul timp) este echivalenta cu faptul ca imaginea are toti polii in si cel mult un pol simplu in , valoarea finita corespunzatoare asimptotei fiind calculabila cu ajutorul teoremei valorii finale.

In Fig. se prezinta corespondenta dintre evolutia in domeniul timp a unor semnale simple si modul de plasare ai polului (polilor) imaginii Laplace a semnalului respectiv. Pentru aprofundarea acestor informatii, invitam cititorul sa utilizeze, in paralel, materialul din Anexa I (atasata la sfarsitul capitolului curent).

In Fig. sunt evidentiate urmatoarele cazuri :

cazurile a si b se refera la un pol real negativ, adica imagini de forma , , . Valoarea lui (negativa) impune viteza de descrestere a semnalului in domeniul timp.

cazul c se refera la un pol real in 0, adica imagini de forma . Semnalul in domeniul timp are valoarea constanta k.

cazul d inseamna un pol real pozitiv, adica imagini de forma , , . Valoarea lui (pozitiva) impune viteza de crestere a semnalului in domeniul timp.

cazul e inseamna doi poli complex conjugati cu partea reala negativa, adica imagini de forma , , , . Valoarea lui (negativa) impune viteza de descrestere a infasuratoarei semnalului in domeniul timp, iar valoarea lui impune pulsatia oscilatiilor.

cazul f inseamna doi poli complex conjugati cu partea reala pozitiva, adica imagini de forma , , , . Valoarea lui (pozitiva) impune viteza de crestere a infasuratoarei semnalului in domeniul timp, iar valoarea lui impune pulsatia oscilatiilor.

cazurile g si h inseamna doi poli complex conjugati pur imaginari (cu partea reala nula), adica imagini de forma , , . Valoarea lui impune pulsatia oscilatiilor intretinute in domeniul timp.

Orice imagine Laplace poate fi descompusa ca suma de fractii simple (de ordinul I sau II) de tipul celor considerate in discutia aferenta Fig. , polii imaginii Laplace devenind poli ai fractiilor simple din descompunere. Drept urmare, comportarea semnalului pentru valori mari ale timpului (teoretic ) poate fi dedusa in urma cunoasterii valorilor polilor imaginii (in forma ireductibila - adica in functia imagine nu se mai pot opera simplificari).

Fig.  Corespondenta dintre evolutia in domeniul timp a unor semnale simple si modul de plasare ai polului (polilor) imaginii Laplace a semnalului respectiv.

Reprezentarea in domeniul frecventa (spectral)

Descrierea matematica in domeniul frecventa se realizeaza cu ajutorul transformarii Fourier. Pentru un semnal , transformata Fourier :

( . )

are semnificatia de spectru de frecventa (sau simplu spectru) al semnalului. Terminologia completa 'spectru de frecventa' este utilizata pentru a face diferenta fata de 'spectru de putere' care este utilizat intens in descrierea semnalelor stohastice. Cum studiul nostru se rezuma la semnale deterministe, putem utiliza forma simplificata 'spectru'.

Din punct de vedere matematic, este o functie complexa, de variabila reala . Variabila desemneaza pulsatia , unde simbolul noteaza frecventa. Functia arata in ce masura contribuie fiecare pulsatie la individualitatea semnalului. Functia reala de variabila reala defineste spectrul de amplitudine al semnalului, iar functia reala de variabila reala defineste spectrul de faza al semnalului.

In scrierea lui , existenta simbolului trebuie interpretata doar ca o notatie cu urmatoarea semnificatie: daca domeniul de olomorfie al transformatei Laplace bilaterale contine axa imaginara (), atunci exista transformata Fourier a semnalului si poate fi obtinuta prin limitarea variabilei complexe s la partea sa imaginara, adica luand s = j. Altfel spus, in conditia amintita avem egalitatea . In particular, pentru semnalele cauzale ce tind la valoarea 0 ca evolutie asimptotica in domeniul timp (adica ale caror imagini X(s) au toti polii in semiplanul ) avem egalitatea bazata pe transformarea Laplace unilaterala.

Transformarea Fourier inversa

( . )

are semnificatia de sinteza a semnalului in domeniul timp, pornind de la un continut spectral dat,

Clasa de semnale transformabile Fourier este mai redusa decat cea a semnalelor transformabile Laplace (fapt in deplina concordanta cu discutia anterioara privind plasarea axei imaginare () in domeniul de olomorfie al transformatei Laplace). Pentru a extinde clasa de semnale prelucrabile cu ajutorul transformarii Fourier se apeleaza la descrieri in domeniul timp de tip distributii si la definirea adecvata a transformarii. Detalii in acest sens pot fi gasite, de exemplu, in (Kecs, 1981), (Nistor si Tofan, 1997).