Inele si corpuri

INELE SI CORPURI

I. INTRODUCERE

Conceptele de 'inel' si 'corp' s-au sedimentat in a doua jumatate a secolului al XIX-lea prin lucrarile de teoria numerelor ale lui Dedekind, Kronecker, Weber, Hilbert. Forma definitiva a acestor notiuni este datorata lui Hilbert (1897).

II.  INELE, EXEMPLE REMARCABILE, GRUPUL ELEMENTELOR

INVERSABILE AL UNUI INEL

Def.: Se numeste INEL un triplet (A,+, ) in care A este o multime nevida, iar '+' si ' ' desemneaza doua operatii pe A, numite prin extensie de limbaj 'adunare' si 'inmultire', operatii care satisfac urmatoarele trei axiome:

1) cuplul (A,+) este un grup abelian

2) cuplul (A, ) este un semigrup

3) inmultirea este distributiva fata de adunare

Daca in loc de axioma 2 apare axioma:

) cuplul (A, ) este un monoid

atunci tripletul (A,+, ) se numeste INEL CU ELEMENT-UNITATE.

Daca, in plus, un inel satisface si axioma:

4) inmultirea este comutativa

atunci acesta se numeste INEL COMUTATIV.

Exemple

1) inel cu element-unitate, comutativ. Elementul nul este numarul intreg 0, iar elementul unitate este numarul intreg 1.

2) este un inel fara element-unitate, comutativ. Elementul nul este numarul intreg par 0.

3) , , , sunt inele cu element-unitate (polinomul cst.1), comutative, cu element nul (polinomul cst 0).

Def.: Intr-un inel (A,+, ) cu element-unitate, grupul al elementelor inversabile din monoidul (A, ) se numeste GRUPUL ELEMENTELOR INVERSABILE (GRUPUL UNITATILOR) din inelul A.

Exemple

1) In inelul avem

2) In inelul avem

3) In inelul avem

4) In inelul avem:

III. DIVIZORI AI LUI ZERO, REGULI DE CALCUL, ELEMENTE INDEPENDENTE SI ELEMENTE NILPOTENTE, CARACTERISTICA

Def.: Fie (A,+, ) un inel.

1) spunem ca un element este DIVIZOR AL LUI ZERO LA STANGA (respectiv LA DREAPTA) daca cu (respectiv cu )

Elementul se numeste DIVIZOR AL LUI ZERO daca este divizor al lui zero la stanga sau divizor al lui zero la dreapta.

2) spunem ca inelul A are divizori ai lui zero daca A contine cel putin un divizor al lui zero, in caz contrar, spunem ca A nu are divizori ai lui zero sau ca A este un INEL INTEGRU.

Def.: Un inel cu element-unitate, comutativ si fara divizori ai lui zero se numeste DOMENIU DE INTEGRITATE.

Exemple

1) Inelul ( ) are divizori ai lui zero

2) inelele sunt domenii de integritate, nefiind patrat perfect

PROPOZITIE: Intr-un inel A urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

A nu are divizori ai lui zero (A este integru)

PROPOZITIE: In orice inel A au loc egalitatile:

(se spune ca zero este absorbant)

2) (regula semnelor la inmultire)

3) (inmultirea este distributiva fata de scadere)

PROPOZITIE: Daca A este un inel cu elementul-unitate, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

Inelul A are cel putin 2 elemente

0

PROPOZITIE: Fie A un inel cu element-unitate si 0 1. Atunci:

1) Elementul nul 0 nu este inversabil, adica

2) Daca atunci si

PROPOZITIE: Fie A un inel cu element-unitate. Daca elementul este inversabil, atunci x nu este divizor al lui zero (daca x este divizor al lui zero, atunci x este neinversabil).

PROPOZITIE: Fie A un inel integru. Pentru oricare trei elemente cu avem echivalentele:

1)

Def.: Fie A un inel.

1) un element cu proprietatea s.n. element idempotent al lui A

2) un element cu proprietatea a.i. s.n. element nilpotent al lui A

Exemple

1) In inelul sunt elemente idem potente, cum ar fi:

2) In inelul exista un element nilpotent:

PROPOZITIE: Fie A un inel. Atunci:

1) Orice element nilpotent nenul din A (daca exista) este divizor al lui zero.

2) Daca A este un inel cu element-unitate, orice element idempotent din A, diferit de 0 si 1 (daca exista), este un divizor al lui zero.

CONSECINTA: Intr-un inel cu element integru, singurul element nilpotent este 0; daca, in plus, inelul integru este cu element-unitate, singurele elemente idempotente sunt 0 si 1

PROPOZITIE: Fie A un inel cu element-unitate si un element nilpotent. Atunci elementele si sunt inversabile

Def.: Fie A un inel cu element-unitate.

1) Daca cu proprietatea cel mai mic n

cu aceasta proprietate se numeste CARACTERISTICA inelului 1 in grupul (A,+).

2) In caz contrar, adica spunem ca inelul A are caracteristica 0.

Exemplu: Inelele au caracteristica 0.

PROPOZITIE

Intr-un inel integru cu element-unitate, caracteristica inelului este 0 sau un numar prim.

Propozitia lui Hilbert: Fie (A,+, ) un triplet alcatuit din multimea nevida A si operatiile de adunare '+', si de inmultire, ' _* ', pe A, care satisfac axiomele:

1) (A,+) este grup

2) (A, ) este monoid

3) inmultirea este bijectiva fata de adunare

Atunci adunarea este comutativa, deci (A,+, ) este un inel cu element-unitate.

IV. CORPURI, EXEMPLE

Def.: Se numeste CORP un triplet (K,+, ) in care K este o multime cu cel putin 2 elemente, iar '+' si ' ' doua operatii pe K (numite adunare, respectiv inmultire), satisfacand urmatoarele axiome:

1) (K,+) este un grup abelian, cu element neutru 0

2) (K, ) este un grup, cu elementul neutru 1

3) Inmultirea este distributiva fata de adunare

Grupul (K,+) se numeste GRUPUL ADITIV al corpului, iar grupul (K, ) se numeste GRUPUL MULTIPLICATIV AL ELEMENTELOR NULE ale corpului.

Daca, in plus, este satisfacuta si axioma:

4) Inmultirea este comutativa, atunci tripletul (K,+, ) se numeste CORP COMUTATIV

Def.: Se numeste CORP un inel (K,+, ) cu element-unitate, in care (echivalent spus, avand cel putin 2 elemente) si in care orice element nenul este inversabil (echivalent spus,

Exemple: (Q,+, ); (R,+, ); (C,+, ) sunt corpuri comutative.

PROPOZITIE Inelul ( ) al claselor de resturi modulo-n este corp daca si numai daca n este numar prim.

Expresiile formale cu se numesc CUATERNIONI.

Notam cu H multimea cuaternionilor.

PROPOZITIE

Tripletul (H,+, ) este un corp necomutativ numit CORPUL CUATERNIONILOR.

Def.: Un polinom nenul se numeste POLINOM UNITAR (MONIC) daca are coeficientul termenului de grad maxim egal cu 1.

Def.:

Un numar complex x se numeste INTREG ALGEBRIC daca este radacina a unui polinom unitar cu coeficienti intregi, adica daca verifica o ecuatie de forma:

Un numar complex x se numeste NUMAR ALGEBRIC daca este radacina a unui polinom nenul cu coeficienti rationali, adica daca verifica o ecuatie de forma:

Exemple

1) x verifica - intreg algebric.

2) x verifica - numar algebric.

Obs.: Orice intreg algebric este un numar algebric.

Teorema: Tripletuleste un inel comutativ cu element-unitate, numit INELUL INTREGILOR ALGEBRICI.

Teorema: Tripletul este un corp comutativ, numit CORPUL NUMERELOR ALGEBRICE.

V. LEGATURA DINTRE CORPURI SI INELE INTEGRE, CORPUL FRACTIILOR UNUI DOMENIU DE INTEGRITATE

PROPOZITIE Orice corp este un inel integru, adica fara divizori ai lui zero.

Consecinta: Caracteristica unui corp este 0 sau un numar prim.

PROPOZITIE: Fie A un inel finit cu element-unitate si . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) A este un corp

2) A este un inel integru

Expresiile formale de tipul cu se numesc FRACTII PESTE A sau FRACTII CU NUMARATORUL SI NUMITORUL DIN A:

PROPOZITIE: Cu notatiile de mai inainte, tripletul (K,+, ) este un corp comutativ care include inelul A, numit CORPUL FRACTIILOR LUI A.

Exemplu: Corpul de fractii al domeniului de integritate este corpul

VI. SUBINELE SI SUBCORPURI

Def.: Fie (A,+, ) un inel si B o submultime nevida a lui A. Spunem ca B este un SUBINEL al lui A daca B este o parte stabila fata de operatiile din A si impreuna cu operatiile induse este un inel.

Obs.: Daca (A,+, este un inel iar B A, rezulta ca B este un subinel al lui A daca si numai daca sunt indeplinite conditiile:

1) (B,+) este subgrup al grupului (A,+)

2) (B, ) este subsemigrup al semigrupului (A,

Exemple

1) este un subinel al lui (Z[i],+,

2) (3Z,+, ) este un subinel al lui

3) ( ) este un subinel al lui (

4) orice inel A are cel putin doua subinele si anumesi A, numite subinele IMPROPRII; orice alt subinel (daca exista) se numeste PROPRIU.

Def.: Fie A un inel cu elementul-unitate , iar B un subinel al lui A. Spunem ca B este SUBINEL UNITAR al lui A, daca B are element-unitate si acesta coincide cu cel din A, adica

Obs.: Daca A este un inel cu element-unitate, iar , rezulta ca B este un subinel unitar al lui A daca si numai daca sunt indeplinite conditiile:

1)(B,+) este un subgrup al grupului (A,+).

2)(B, ) este un submonoid unitar al monoidului (A,

Exemple

1) este un subinel unitar al lui

2) este un subinel neunitar al lui

Teorema: Fie (A,+, ) un inel (respectiv un inel cu element-unitate) iar B o submultime nevida a lui A. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) B este un subinel (respectiv un subinel unitar) al lui A

2) - respectiv: si

Def.: Fie (K,+, ) un corp si L o submultime nevida a lui K. Spunem ca L este un SUBCORP al lui K daca L este o parte stabila fata de operatiile din K si relativ la operatiile induse este un corp.

Exemple

1) este un subcorp al lui

2) Corpul patratic este subcorp al lui iar cand este si subcorp al lui

Obs.: Fie un corp si . Atunci, L este subcorp al lui K daca si numai daca sunt indeplinite conditiile:

1) este subgrup al grupului

2) este subgrup al grupului unde am notat

Teorema: Fie un corp si L o submultime nevida a lui K. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) este subgrup al lui

2) si

Obs.: Daca L este un subgrup al unui corp K, atunci L este subinel unitar al lui K.

PROPOZITIE Fie A un domeniu de integritate si L un corp care in include pe A ca subinel. Atunci L include corpul de fractii K al lui A. Echivalent spus, corpul de fractii al unui domeniu de integritate este cel mai mic corp ce contine inelul respectiv.

VII. IDEALE, INEL-FACTOR

Def.: Fie (A,+, ) un inel. O submultime nevida se numeste IDEAL STANG (respectiv IDEAL DREPT) al inelului A daca indeplineste conditiile:

1)

2)

O submultime care este atat ideal stang cat si ideal drept se numeste INEL BILATERAL.

Exemple

1) In inelulorice submultime i=nZ, cu nZ, este un ideal bilateral

2) In orice inel A, submultimile si A sunt ideal bilaterale, numite IDEALE IMPROPRII

Obs.: Intr-un inel comutativ orice ideal este bilateral si este un subinel al inelului respectiv

PROPOZITIE: Singurele ideale ale unui corp K sunt si A.

Teorema: Fie A un inel si un ideal bilateral al inelului A. Atunci:

1) Tripletul (A/i,+, ) este un inel, care se numeste INELUL - FACTOR (INELUL-CAT) AL LUI A prin idealul bilateral

2) Daca A este un inel cu element-unitate, atunci inelul-factor A/I este un inel cu   element-unitate, iar daca A este un inel comutativ, atunci inelul-factor A/i este comutativ

VIII. MORFISME SI IZOMORFISME DE INELE SI CORPURI

Def.:

1) Fie si doua inele. O aplicatie cu proprietatile:

a)

b)

se numeste MORFISM DE INELE.

2) Un morfism de inele de la un inel la el insusi se numeste ENDOMORFISM al inelului respectiv.

Exemplu

Fie un numar intreg. Se numeste MORFISMUL CANONIC aplicatia:

, daca este morfism de inele

Def.: Fie si doua inele cu element-unitate. Un morfism de inele cu proprietatea, se numeste MORFISM UNITAR DE INELE (1, respectiv , reprezinta elementul unitate din A, respectiv

Exemplu: Daca este un inel cu element-unitate 1, functia este un morfism unitar de inele.

PROPOZITIE: Fie un morfism de inele. Atunci:

1) Multimea este un ideal bilateral al inelului A, numit NUCLEUL morfismului

2) este injectiv daca si numai daca

Def.:

1) Fie si doua corpuri. Un morfism unitar de inele se numeste MORFISM DE CORPURI

2) Un morfism de corpuri de la un corp la el insusi se numeste ENDOMORFISM al acelui corp

Exemplu este un morfism de corpuri, numit MORFISMUL-INCLUZIUNE.

PROPOZITIE: Orice morfism de corpuri este injectiv.

Def.:

1) Fie si doua inele. O aplicatie se numeste IZOMORFISM DE INELE daca este morfism de inele inversabil (adica functie inversabila si functia inversa :A' A este de asemenea morfism de inele).

2) Un izomorfism de inele de la un inel la sine insusi se numeste AUTOMORFISM al acelui inel.

3) Daca intre doua inele A si exista (cel putin) un izomorfism de inele spunem ca inelele sunt IZOMORFE si se scrie

Exemple este un automorfism al inelului

PROPOZITIE: Fie un izomorfism de inele. Daca unul din inelele A sau are element-unitate, atunci si celalalt inel are element-unitate, iar izomorfismul este un morfism unitar de inele.

Def.:

1) Fie si doua corpuri. Un izomorfism de inele se numeste IZOMORFISM DE CORPURI

2) Un izomorfism de la un corp la el insusi se numeste AUTOMORFISM al acelui corp

3) Daca intre doua corpuri si exista un izomorfism, spunem ca ele sunt IZOMORFE si scriem

Teorema: Fie un morfism de inele (respectiv de corpuri, cand sunt corpuri). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

este izomorfism de inele (respectiv de corpuri).

este bijectiv.

Exemplu este un automorfism al corpului

PROPOZITIE: Fie un morfism de inele (respectiv de corpuri). Atunci:

1) Pentru orice subinel (subcorp) B al lui A, multimea este un subinel (respectiv subcorp) al lui in particular multimea este un subinel (subcorp) al lui

2) Dacaeste morfism injectiv, A este izomorf cu un subinel ( respectiv subcorp) al lui B

Consecinta:

Daca este un morfism de corpuri, corpul K este izomorf cu un subcorp al corpului

Teorema fundamentala de izomorfism la inele: Fie un morfism de inele. Atunci:

1) Exista un izomorfism canonic de inele

2) Daca este un morfism surjectiv,

IX. INELE DE MATRICI PATRATICE

PROPOZITIE: Fie A un inel comutativ cu element-unitate in care . Atunci:

1) Tripletul este un inel cu element-unitate, numit INELUL MATRICELOR PATRATICE DE ORDIN N PESTE INELUL A

2) Pentru , inelul este necomutativ si are divizori ai lui zero

PROPOZITIE: Matricea este inversabila in inelul daca si numai daca este un element inversabil in inelul A. Altfel spus, grupul elementelor inversabile din inelul este:  

Def.: Grupul multiplicativ al matricilor inversabile peste inelul A se numeste GRUPUL LINIAR DE ORDINUL N PESTE INELUL A si se noteaza Asadar

Consecinta: Pentru un corp comutativ K avem:

Exemplu: Matricea X este inversabila, intrucat

X. INELE DE POLINOAME

Obs.: Pentru orice avem inegalitatile:

1)

2)

PROPOZITIE: Multimea , inversata cu operatiile de adunare si inmultire a polinoamelor este un inel comutativ cu element-unitate, numit INELUL POLINOAMELOR PESTE INELUL A.

Obs.: Inelul A este un subinel unitar al inelului de polinoame

PROPOZITIE Inelul este domeniu de integritate daca si numai daca inelul A este domeniu de integritate si in acest caz avem relatia gradelor la inmultire:

PROPOZITIE

1) Daca A este un domeniu de integritate, avem egalitatea care exprima faptul ca polinoamele inversabile din inelul sunt exact elementele inversabile din A

2) In caz particular, daca corp comutativ, avem egalitate care arata ca polinoamele inversabile din sunt constantele nenule din K, adica polinoamele de grad zero

Exemplu

1)

2)

Def.: Daca A este un domeniu de integritate, corpul functiilor domeniului de integritate se numeste CORPUL FRACTIILOR RATIONALE peste inelul A si se noteaza

Fractiile rationale peste A sunt de forma:

Def.: Fie A un inel comutativ cu element-unitate si iar un polinom.

1) Daca atunci elementul IA se numeste VALOAREA POLINOMULUI F IN PUNCTUL X.

2) Daca spunem ca se anuleaza in punctul x sau ca x este o radacina a polinomului in inelul A.

3) Functia deci functia care asociaza fiecarui valoarea polinomului in punctul x se numeste FUNCTIA POLINOMIALA asociata polinomului

Obs.: Daca doua polinoame sunt egale, atunci si functiile lor polinomiale sunt egale, adica:

Lema: Fie A un domeniu de integritate si un polinom de grad cel mult n. Daca are (cel putin) n+1 radacini distincte in inelul A, atunci este polinomul nul.

PROPOZITIE: Fie doua polinoame de grad cel mult n astfel incat Daca A este un domeniu de integritate cu mai mult de n elemente (in particular, A poate fi infinit atunci

Def.: Fie (corp comutativ) doua polinoame.

1) Spunem ca g divide sau ca se divide cu g, daca Scriem (citim g divide sau citim se divide cu g).

2) Spunem ca si g sunt asociate in divizibilitate daca se divid reciproc, adica

3) Spunem ca polinoamele f si g au cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) daca exista polinomul satisfacand conditiile:

i) d este divizor comun pentru si g, adica

ii) Orice alt divizor comun pentru si g il divide pe d, adica cu si

Notam cu c.m.m.d.c. al polinoamelor si g. Scriema.i. Observam ca.

PROPOZITIE: Doua polinoame sunt asociate daca si numai daca difera printr-un factor inversabil (polinom de gradul zero).

Teorema impartirii cu rest

Fie cu Exista atunci alte doua polinoame cu proprietatile:

1)

2)

Polinoamele se numesc deimpartit, impartitor, cat respectiv rest, remarcam ca impartitorul trebuie sa fie nenul.

Teorema lui Bezout, teorema restului: Fie Atunci:

1) Restul impartirii polinomului prin X-x este (x)

2) x este radacina pentru daca si numai daca se divide cu (X-x)

Obs.: 1) Daca

2) Daca , atunci

Lema: Fie polinoame legate prin relatia Daca exista atunci exista si avem:

Teorema: Fie Atunci:

i) sirul de impartiri cu rest (1) este finit, adica exista a.i.

ii) exista c.m.m.d.c. al polinoamelor si g si acesta este ultimul rest nenul, adica cand (Cand k=1 inseamna ca prima impartire se face exact si atunci

Obs.: Oricare doua polinoame care reprezinta c.m.m.d.c. a doua polinoame fixate, sunt asociate in divizibilitate.

Def.: Daca spunem ca polinoamele si g sunt relativ prime sau prime intre ele.

Obs.: Exista echivalenta:

PROPOZITIE: Fie astfel incat iar Atunci

Def.:

1) Un polimon nenul si neinversabil (echivalent spus, neasociat cu 0 sau 1 sau totuna, de grad ) se numeste IREDUCTIBIL IN INELUL K[X] sau IREDUCTIBIL PESTE CORPUL K daca, abstractie facand de asocieri, singurii sai divizori in K[x] sunt 1 si p. Aceasta inseamna ca:

2) Un polinom nenul si neinversabil care nu este ireductibil se mai numeste REDUCTIBIL in

Exemplu: In orice inel polinoamele de gradul1 sunt ireductibile.

Lema: Fie un polinom ireductibil si un polinom oarecare. Daca p nu divide , atunci

PROPOZITIE: Fie un polinom nenul si neinversabil. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) p este ireductibil in

2)

(Asadar, un polinom este ireductibil daca si numai daca ori de cate ori divide un produs, rezulta ca divide unul din factori).

Teorema: Orice polinom nenul si neinversabil din se descompune in mod unic intr-un produs finit de polinoame ireductibile din Unicitatea este inteleasa abstractie facand de asocieri si de ordinea factorilor.

PROPOZITIE In inelul singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul 1.

Consecinta: Orice polinom nenul si neinversabil se descompune in mod unic in factori liniari in inelul

PROPOZITIE Fie un polinom de grad

i) O conditie necesara ca polinomul p sa fie ireductibil in este ca el sa nu aiba radacini in corpul K

ii) Daca grad conditia necesara de la i) este si suficienta, deci p este ireductibil daca si numai daca nu are radacini in K.

Exemplu: Polinomul este ireductibil, intrucat este de grad 2 si nu are radacini in corpul

PROPOZITIE: Polinoamele ireductibile din inelul sunt polinoamele de gradul 1 si polinoamele de gradul 2 care nu au radacini in corpul

Consecinta: Orice polinom nenul si neinversabil, se descompune in mod unic in inelul intr-un produs de factori liniari sau factori de gradul 2 fara radacini reale.

Def.: Un polinom se numeste POLINOM PRIMITIV daca c.m.m.d.c. al tuturor coeficientilor sai este egal cu 1.

PROPOZITIE

1) Orice polinomse scrie sub forma unde iar este un polinom primitiv

2) Orice polinom se scrie sub forma = rg, unde iar este un polinom primitiv.

Obs.: Daca este un polinom ireductibil, atunci in mod necesar f este un polinom primitiv.

Obs.: Fie un polinom primitiv si Daca atunci

Def.: Daca iar este un numar prim fixat, polinomul (undeeste clasa de resturi modulo-p a numarului intreg a) se numeste POLINOMUL REDUS MODULO-P AL LUI F.

Lema lui GAUSS: Fie doua polinoame primitive. Atunci polinomul-produs este de asemenea un polinom primitiv.

Teorema lui Gauss: Daca este un polinom ireductibil in inelul atunci este ireductibil si in inelul

COROLAR Fie un polinom primitiv. Atunci este ireductibil in daca si numai daca este ireductibil in

Teorema lui Gauss (2): Orice polinom nenul si neinversabil din inelul se descompune in mod unic intr-un produs finit de polinoame ireductibile din unicitatea fiind inteleasa facand abstractie de ordinea factorilor si a asocierii in divizibilitate.

Criteriul de ireductibilitate al lui Schönemann: Fie un numar prim si un polinom unitar, unde iar Daca in inelul in polinomuleste ireductibil si nu divide polinomulatunci polinomul h este ireductibil si in

Criteriul de ireductibilitate al lui Einstein

Fie un polinom cu proprietatea ca exista un numar prim astfel incat p divide toti coeficientii dar nu divide termenul liber Atunci este ireductibil in inelul deci si in inelul

Obs.: Un polinom de grad are in corpul K cel mult 'n' radacini, nu neaparat distincte.

PROPOZITIE: Fie un polinom de grad Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) Factorii liniari, presupusi nu neaparat distincti, din descompunerea lui in factori ireductibili in inelul sunt:

2) Radacinile polinomului in corpul K, presupuse nu neaparat distincte,sunt

3) Exista scrierea unde este un polinom care nu are radacini in corpul K.

PROPOZITIE: (cand ): Fie un polinom de gradul n. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1) Polinomul se descompune in inelul intr-un produs de factori liniari, nu neaparat distincti

2) Radacinile polinomului in corpul K sunt presupuse nu neaparat distincte.

3) Exista egalitatea

PROPOZITIE: Fie un polinom de grad n, care are in corpul K radacinile nu neaparat distincte. Atunci au loc egalitatile:

Aceste inegalitati se numesc formulele lui Viète.

PROPOZITIE Fie un polinom de grad n, care are in corpul K radacinile multiple respectiv de ordin cu . Atunci, descompunerea lui in factori ireductibili in inelul K[x] este unde este coeficientul dominant al polinomului

XI. DESCOMPUNEREA FRACTIILOR RATIONALE PESTE UN CORP

COMUTATIV IN SUME DE FRACTII SIMPLE

Def.:

1) Fractiile rationale de forma unde este un polinom ireductibil, este un polinom cu proprietatea: se numesc FRACTII RATIONALE SIMPLE.

2) Fractiile rationale se numesc FRACTII IREDUCTIBILE.

Lema: Fie un polinom nenul si un polinom oarecare. Atunci, pentru fiecare natural fixat, exista si sunt unice polinoamele astfel incat avem scrierea:

Lema: Daca este o fractie ireductibila, unde si exista h₁, h₂,., h_nIK[x], cu astfel incat avem scrierea

PROPOZITIE: Fie o fractie rationala (respectiv o fractie rationala ireductibila) si fie descompunerea lui v in factori reductibili in inelul Atunci are loc descompunerea in suma de fractii rationale (respectiv de fractii rationale ireductibile) de tipul:

In plus, polinoamele sunt determinate abstractie facand respectiv de un termen multiplu adica daca mai avem si scrierea atunci se divide cu

PROPOZITIE: Fie un polinom ireductibil, si natural. Atunci fractia se descompune in mod unic intr-o suma de fractii simple si un polinom, adica:

Teorema de descompunere in fractii simple: Fie o fractie rationala. Presupunem ca in inelul polinomul v are urmatoarea descompunere in factori ireductibili:

Atunci fractia se scrie in mod unic ca suma dintre un polinom si fractii simple:

Consecinta: Daca este un morfism surjectiv de grupuri, atunci avem izomorfismul de grupuri:

Exemple 1)

2) Fie un grup oarecare cu element neutru. Atunci

PROPOZITIE: Pentru orice multime finita A cu n elemente, grupul al bijectiilor lui A este izomorf cu grupul simetric al permutarilor de grad n.

Def: Fie un grup in notatie multiplicativa si fixat. Aplicatiile si sunt evident bijective de la G la G si se numesc OMOTETIE LA STANGA determinata de a, respectiv OMOTETIE LA DREAPTA determinata de a.

Daca grupul este dat in notatie aditiva si aplicatiile se numesc TRANSLATIE LA STANGA determinata de a, respectiv TRANSLATIE LA DREAPTA determinata de a.

Teorema lui Cayley: Orice grup finit este izomorf cu un subgrup al unui grup de permutari.