Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice
Acasa » referate » matematica
Tetraedre izodinamice si izofaciale

Tetraedre izodinamice si izofaciale




Tetraedre izodinamice si izofaciale

Definitie : Tetraedrul izodinamic este tetraedrul pentru care produsul lungimilor muchiilor opuse este constant.

Teorema 50:

Fiind dat un tetraedru [ABCD] si un punct MIInt(ABC) conditia necesara si suficienta ca dreptele ANA, BNB, CNC, DND( AM (BCD)=; gA(MA)=NA) sa fie concurente este:

AB CD=AC BD=AD BC.

Demonstratie :

Se considera pentru inceput varfurile Asi B.

Fie QICD (ABM), PI(MNA) CD, P I(ANB) CD.

Evident dreptele ANA si BNB sunt secante daca si numai

daca punctele P si P coincid.

Aplicand teorema lui Steiner a izogonalelor in DBCD

si DACD se obtine

; . Se constata imediat ca punctele P si P coincid daca si numai daca sunt egali membrii secunzi ai egalitatilor evidentiale, adica: BC AD=AC BD.

Inlocuind B cu C se constata , analog, ca dreptele ANA ,BNB, CNC si DND sunt secante doua cate doua , atunci are loc(1) si reciproc.

Un caz particular de tetraedru izodinamic [ABCD] este tetraedrul in acre una din fete este triunghi echilateral. Presupunand ca aceasta fata este (ABC) , in afara egalitatii (1) vor avea loc

(AB)s(BC)s(CA) (2) si (AD)s(BD)s(CD) (3).

Un astfel de tetraedru se numeste izofacial sau mai frecvent piramida triunghiulara regulata.

Teorema 51:

Un tetraedru izodinamic [ABCD] este izofacial daca si numai daca este ortocentric.



Demonstratie :

Ipoteza ca [ABCD] este izodinamic asigura ca, dup[a fixarea etalonului pentru masurarea lungimilor , exista un numar real pozitiv p, astfel incat pentru orice pereche de mucii opuse lungimilor lor x,y sa satisfaca egalitatea x y=p.

Conform relatiilor tetraedrului ortocentric AC2 + BD2 = CD2 +AB2 = BC2 +AD2 revine la existenta lui k in R astfel incat x2 + y2=k . Asadar x si y sunt solutiile ecuatiei de gradul al II-lea

.

Daca aceasta ecuatie are radacini confundate se obtine imediat ca [ABCD] are toate muchiile congruente, deci este si izofacial.

Daca ecuatia considerata are radacini distincte t1 si t2 urmeaza =. Se poate presupune ca notarea tetraedrului s-a facut astfel incat (AB)s(BC)=t1 si (AD)s(CD)=t2.

Urmeaza explicitarea egalitatii de multimi =.

Daca AC=t1 si BD=t2 atunci se obtin egalitatile (2) si (3). Daca AC=t2 si BD=t1 se constata imediat ca au loc relatiile :

(AD)s(DC)s(CA) si (3 (AB)s(BC)s(BD) ce difera de (2) si (3) doar prin modul de notare.

Deci , daca tetraedrul izodinamic [ABCD] este ortocentric atunci el este izofacial.

Reciproc , daca tetraedrul [ABCD] este izofacial , din egalitatile (2) si (3) T AC2 + BD2 = CD2 +AB2 = BC2 +AD2 si care asigura ca tetraedrul [ABCD] este ortocentric.

Teorema 52:

Un tetraedru izodinamic [ABCD] este izofacial daca si numai daca este tetraedru Crelle.

Demonstratia se obtine din cea precedenta ,inlocuind formula AC2 + BD2 = CD2 +AB2 = BC2 +AD2 cu AD+BC=AC+BD=AB+CD.

Teorema 53:

Un tetraedru [ABCD] este izodinamic daca si numai daca

Demonstratie :

Folosind teorema lui Bretschneider(1870) pentru un tetraedru [ABCD] au loc egalitatile:

Aplicand aceasta teorema , relatia (4) este echivalenta cu (1) :AB CD=AC BD=AD BC.







Politica de confidentialitate







creeaza logo.com Copyright © 2023 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 Folosirea altor instrumente de evaluare (investigatia, proiectul, protofoliul)
 PROIECT DIDACTIC - Cunoasterea numarului cinci
 Proiect iluminat electric si instalatii
 Organizarea si conducerea procesului tehnologic proiectat

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 PROIECT DE DIPLOMA CHIRURGIE ORO-MAXILO-FACIALA - SUPURATIILE LOJELOR PROFUNDE DE ETIOLOGIE ODONTOGENA
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma Facultatea de Textile Pielarie - Tehnologia confectiilor din piele si inlocuitori - PROIECTAREA CONSTRUCTIV TEHNOLOGICA A UNUI PR

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta educatie fizica si sport - studiu asupra imbunataȚirii motricitaȚii in lectia de educatie fizica la clasele a v-a de la &
 Lucrare de licenta - cercetare si analiza financiara asupra deseurilor de ambalaje la sc.ambalaje sa
 LUCRARE DE LICENTA MANAGEMENT CRESTEREA VANZARILOR PRIN METODA IMBUNATATIRII SERVICIILOR CATRE CLIENTI

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 ATESTAT LA INFORMATICA - Baza de date relationala aplicata intr-o biblioteca scolara
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 GENERATOR DE TESTE GRILA - Proiect atestat Visual FOX PRO
 Proiect atestat - comercializarea produselor turistice balneare in statiunea sangeorz - bai

Transformari ortogonale
Binomul lui Newton. Puterea unui polinom
EXERCITII cu functii
Functia de gradul al II-lea
PERPENDICULARITATE IN PLAN - Test 1
Premii definite prin functii de pierdere
Procese stochastice
Ecuatii trigonometrice



Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu