Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Proprietati ale functiilor

Proprietati ale functiilor



Proprietati ale functiilor

1. Functii pare, impare.

Definitie: Despre multimea D R spunem ca se numeste multime simetrica daca si numai daca : x I D T -x I D

Definitie: Fie f : D R, D simetrica. Despre functia f spunem ca este:



a.     functie para daca si numai daca: x I D T f(-x) = f(x)

b.     functie impara daca si numai daca: x I D T f(-x) = - f(x)

Observatie: Daca functia f : D R, (D simetrica) este:

a.     functie para atunci Gf este simetric fata de axa Oy

b.     functie impara atunci Gf este simetric fata de O (originea axelor de coordonate).

Exemple:

Y1=x2

Y2=x3



2. Functii monotone. Fie f : A R, o functie de variabila reala si I A.

Definitie: Despre functia f spunem ca este:

a.     strict crescatoare pe I A daca: ( ) x1, x2 I I cu x1 < x2 T f(x1) < f(x2).

b.     strict descrescatoare pe I A daca: ( ) x1, x2 I I cu x1 < x2 T f(x1) > f(x2).

c.      crescatoare pe I A daca: ( ) x1, x2 I I cu x1 < x2 T f(x1) f(x2).

d.     descrescatoare pe I A daca: ( ) x1, x2 I I cu x1 < x2 T f(x1) f(x2).

Observatie: O functie f crescatoare pe I sau descrescatoare pe I se numeste monotona pe I. Daca f este strict monotona (sau monotona) pe A (pe tot domeniul de definitie ) spunem simplu ca functia f este strict monotona (sau monotona) fara a mai indica multimea. A studia monotonia unei functii f : A R revine la a preciza submultimile lui A pe care f este strict crescatoare (crescatoare) si submultimile lui A pe care f este strict descrescatoare (descrescatoare).

Pentru studiul monotoniei unei functii numerice f : A R, se utilizeaza raportul:

cu x1, x2 I A si x1 x2 numit raportul de variatie asociat functiei f si numerelor x1, x Diferenta (x2 – x1) se numeste variatia argumentului, iar diferenta (f(x2) - f(x1)) se numeste variatia functiei. Prin urmare raportul de variatie asociat lui f si numerelor x1, x2 este raportul dintre variatia functiei si variatia argumentului.

3. Valori extreme ale unei functii.

Definitie: Fie functia numerica f : A R, I A. Daca exista x0 I I astfel incat f(x) f(x0), x I I, atunci f(x0) se numeste maximumul local al functiei f pe multimea I si scriem f(x0) = maxf(x).

Punctul x0 pentru care se obtine valoarea maxima a lui f pe I se numeste punct de maxim local pentru functia f pe I. Daca exista x1 I I astfel incat f(x) f(x1), x I I, atunci f(x1) se numeste minimumul local al functiei f pe multimea I si scriem f(x1) = minf(x). Punctul x1 pentru care se obtine valoarea minima a lui f pe I se numeste punct de minim local pentru functia f pe I. Valoarea maxima sau minima a lui f pe I se numesc valoari extreme ale functiei pe I.


Exemplu: f : R R f(x) = x3 – x2




Punctul x0 de maxim sau x1 de minim se numeste punct de extrem local pentru functia f pe I.


Exemplu: Graficul de mai sus este graficul functiei: f : R R ; f(x)=x17-8x15

Exemplu: Functia f definita prin tabelul de valori are valoarea maxima egala cu 8 si se

atinge pentru x = -6.

x

-6

-4

-1

0

1

2

y = f(x)

8

3



-1

-5

0

1


Deci maxf = f(-6)= 8. Punctul x = -6 este punct de maxim pentru functie. Valoarea minima a lui f este egala cu –5 si se obtine pentru x = 0. Deci min f = f(0) = -5. Punctul x= 0 este punctul de minim al functiei. In final, valorile extreme ale

functiei sunt –5 si 8, iar punctele de extrem sunt 0 si respectiv –6.

4. Functii marginite.

Definitie: O functie numerica f: A R (A R) se numeste marginita daca exista doua numere reale m, M a.i. m f(x) M xIA.

Exemplu: Functia sinx: R [-1,1] al carei grafic este reprezentat mai jos.

y=sinx


Exemplu: Functia cosx: R [-1,1] al carei grafic este reprezentat mai jos.

y=cosx



Semnificatia geometrica a unei functii margintite este aceea ca graficul functiei este cuprins intre dreptele orizontale y = m, y = M, dupa cum se observa si din graficele celor doua functii prezentate in exemple de functii sin x si cos x unde M = 1 si m = -1. O definitie echivlaenta ar fi si urmatoarea:

Definitie: O functie numerica f: A R (A R) se numeste marginita daca exista numarul real M a.i. |f(x)| M, xIA.

5. Functii injective.

Definitie: : O functie f: A → B se numeste functie injectiva ( sau simplu injectie) daca: x1 , x2 I A cu x1 ≠ x2 f(x1 ) ≠ f( x2)

Altfel spus: O functie f: A → B se numeste functie injectiva ( sau simplu injectie) daca orice element din B este imaginea prin f a cel mult unui element din A, ceea ce-i echivalent cu faptul ca pentru orice y I B ecuatia f (x) = y are cel mult o solutie x I A.

Exemplu:

y=x5


Exemplu:


x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y = f(x)= x5

-243

-32

-1

0

1

32

243


Utilizand un principiu al logicii formale potrivit caruia propozitiile (pq)( ), o alta modalitate de definire a unei functii injective ar fi:

Definitie: O functie f: A → B se numeste functie injectiva ( sau simplu injectie) daca: din presupunerea f(x1 ) = f( x2) x1 = x2



Exemplu: Functia definita sintetic prin diagrama de mai jos este o functi injectiva


Un contraexemplu de functie ce nu este injectiva este prezent in graficul de mai jos:

y = x4-16x

Text Box: BText Box: A




Observam ca orice dreapta y || Ox dusa prin orice y -12*22/3 -19,05 (minimumul global al functiei) intersecteaza graficul functiei in doua puncte.

6. Functii surjective.

Definitie: O functie f: A → B se numeste functie surjectiva ( sau simplu surjectie) y I B, x I A astfel incat f(x) = y.

Este valabila si urmatoarea definitie echivalenta cu prima.

Definitie:O functie f: A → B se numeste functie surjectiva ( sau simplu surjectie) daca orice element din B este imaginea prin f a cel putin unui element din A, ceea ce-i echivalent cu faptul ca pentru orice y I B ecuatia f (x) = y are cel putin o solutie x I A.

Sau f: A → B este surjectiva f (A) =B, adica Im f = B.

Pe diagrama cu sageti o functie este surjectiva daca la fiecare element din B ajunge cel putin o sageata. Graficul unei functii poate preciza daca functia este surjectiva. Altfel spus Daca orice pange cel putin o sageata._____ _______ ______ ________ralela la Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel putin un punct atunci functia f este surjectiva.

Exemplu: Functia ex : R → (0, )

y=ex



Observatie:

O functie f: A → B nu este surjectiva daca exista y I B astfel incat x I A, f (x) ≠ y. Un astfel de contraexemplu poate fi definit in diagrama de mai jos.





Elementului c I B nu-i corespunde nici o contraimagine din A.


7. Functii bijective

Definitie: O functie f: A → B se numeste functie bijectiva ( sau simplu bijectie), daca este atat injectiva cat si surjectiva. Altfel spus functia f: A → B este functie bijectiva y I B, ! x I A astfel incat f(x) = y. Simbolul ! inseamna “exista in mod unic”.

Observatie: Pe diagrama cu sageti o functie este bijectiva daca in fiecare element al codomeniului ajunge exact o sageata. Se mai spune despre functia bijectiva ca este o corespondenta “one to one” (“unu la unu”) sau corespondenta biunivoca. O functie numerica data prin graficul sau este bijectiva daca orice paralela la axa Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in exact un punct.

Exemplu: Functia f: R→ R unde f(x) = x3 +1 este bijectiva (fiind dealtfel o functie strict monotona).

y= x3 +1




8. Functii inversabile

Daca f: A → B este bijectiva, atunci pentru orice element y I B exista exact un element x din A astfel incat f(x) = y, ceea ce inseamna ca x = f-1 (y) (adica preimaginea sau contraimaginea elementului y este elementul x).

Definitie: Fie f: A → B o functie bijectiva Se numeste functie inversa a functiei f, functia g: B → A, care asociaza fiecarui element y din B elementul unic x din A astfel incat f(x) = y.

Notatie: Pentru functia g utilizam notatia f-1 (citim “f la minus unu”). O functie f care are inversa se spune ca este invesabila.

Functia f se numeste functie directa, iar f-1 functie inversa (a lui f).

Exemplu: Pentru functia f : R → R descrisa de forma analitica f(x)=2x+1 admite ca functie inversa f-1 (x)= .

Din punct de vedere grafic cele doua drepte sunt simetrice fata de dreapta de ecuatie

y = x (ecuatia primei bisectoare), dupa cum se observa in graficul comparativ de mai jos.






9 Functii convexe, concave. Consideram functia f: I R unde I – interval. Atunci are loc urmatoarea:

Definitie: a) despre functia f spunem ca este convexa pe intervalul I daca: x1, x2I , q1, q2≥0 astfel incat q1+ q2=1 avem: f(q1 x1+ q2 x2) ≤ q1 f(x1) + q2 f(x2) (1)



b) despre functia f spunem ca este concava pe intervalul I daca: x1, x2I , q1, q2≥0 astfel incat q1+ q2=1 avem: f(q1 x1+ q2 x2) ≥ q1 f(x1) + q2 f(x2) (2)

Observatie: Daca in inegalitatile (1) si (2) avem inegalitate stricta se spune ca functia f este strict convexa respectiv strict concava.

Notiunea de functie convexa respectiv concava a fost introdusa J. Jensen[1] care a pornit de la o relatie mai particulara decat (1) si(2), anume:

a)     despre functia f spunem ca este convexa pe intervalul I daca: x1, x2I , x1≠x2 ;

b)     despre functia f spunem ca este convcava pe intervalul I daca: x1, x2I , x1≠x2

Din punct de vedere grafic pentru o functie convexa avem:



Exemplu: f: R R f(x) = x2 este o functie convexa

Din punct de vedere grafic pentru o functie concava avem:




Exemplu: f: R R f(x) = - x2 este o functie concava.

Observatie: Functia de gradul II-lea de forma f(x)=ax2+bx+c unde f: R R este:

a. convexa pe R daca a > 0

b. concava pe R daca a < 0

10. Functii periodice.

Definitie: Fie T R* si f: D R, unde D R o multime cu proprietatea

x D x+T D si x -T D. Despre f: D R spunem ca este periodica de perioada T daca f(x+T)= f(x) (1). Cel mai mic intreg pozitiv T pentru care este indeplinita relatia (1) se numeste perioada principala a lui f.

Exemple:

1. Functiile trigonometrice sinx, cosx sunt periodice de perioada principala 2  

Functia lui Dirichlet[2] : f(x)= este periodica avand ca perioada orice numar rational.





[1] Johan Ludwig William Valdemar Jensen, cunoscut sub numele de Johan Jensen, (Mai 8 1859 Martie 5 1925), matematician si inginer danez, celebru pentru inegalitatea ce-i poarta numele.


[2] Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805 – 1859, matematician francez



loading...




Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




INSCRIEREA PE DESEN A TOLERANTELOR GEOMETRICE
Metode numerice de calcul
Polinom caracteristic
Proiect de lectie Matematica - Probleme care pot fi rezolvate prin metoda grafica (figurativa)
Rezolvarea iterative a sistemelor de ecuatii lineare- Metoda Gauss-Siedel
Inele si corpuri
Speranta matematica a unei variabile aleatoare discrete
CONCEPTE PROBABILISTICE DE BAZA ALE SECURITATII SISTEMELOR




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu