Proprietati ale functiilor

1. Functii pare, impare.

Definitie: Despre multimea D R spunem ca se numeste multime simetrica daca si numai daca : x I D T -x I D

Definitie: Fie f : D R, D simetrica. Despre functia f spunem ca este:

a.     functie para daca si numai daca: x I D T f(-x) = f(x)

b.     functie impara daca si numai daca: x I D T f(-x) = - f(x)

Observatie: Daca functia f : D R, (D simetrica) este:

a.     functie para atunci G_f este simetric fata de axa Oy

b.     functie impara atunci G_f este simetric fata de O (originea axelor de coordonate).

Exemple:

Y₁=x²

Y₂=x³

2. Functii monotone. Fie f : A R, o functie de variabila reala si I A.

Definitie: Despre functia f spunem ca este:

a.     strict crescatoare pe I A daca: ( ) x₁, x₂ I I cu x₁ < x₂ T f(x₁) < f(x₂).

b.     strict descrescatoare pe I A daca: ( ) x₁, x₂ I I cu x₁ < x₂ T f(x₁) > f(x₂).

c.      crescatoare pe I A daca: ( ) x₁, x₂ I I cu x₁ < x₂ T f(x₁) f(x₂).

d.     descrescatoare pe I A daca: ( ) x₁, x₂ I I cu x₁ < x₂ T f(x₁) f(x₂).

Observatie: O functie f crescatoare pe I sau descrescatoare pe I se numeste monotona pe I. Daca f este strict monotona (sau monotona) pe A (pe tot domeniul de definitie ) spunem simplu ca functia f este strict monotona (sau monotona) fara a mai indica multimea. A studia monotonia unei functii f : A R revine la a preciza submultimile lui A pe care f este strict crescatoare (crescatoare) si submultimile lui A pe care f este strict descrescatoare (descrescatoare).

Pentru studiul monotoniei unei functii numerice f : A R, se utilizeaza raportul:

cu x₁, x₂ I A si x₁ x₂ numit raportul de variatie asociat functiei f si numerelor x₁, x Diferenta (x₂ - x₁) se numeste variatia argumentului, iar diferenta (f(x₂) - f(x₁)) se numeste variatia functiei. Prin urmare raportul de variatie asociat lui f si numerelor x₁, x₂ este raportul dintre variatia functiei si variatia argumentului.

3. Valori extreme ale unei functii.

Definitie: Fie functia numerica f : A R, I A. Daca exista x₀ I I astfel incat f(x) f(x₀), x I I, atunci f(x₀) se numeste maximumul local al functiei f pe multimea I si scriem f(x₀) = maxf(x).

Punctul x₀ pentru care se obtine valoarea maxima a lui f pe I se numeste punct de maxim local pentru functia f pe I. Daca exista x₁ I I astfel incat f(x) f(x₁), x I I, atunci f(x₁) se numeste minimumul local al functiei f pe multimea I si scriem f(x₁) = minf(x). Punctul x₁ pentru care se obtine valoarea minima a lui f pe I se numeste punct de minim local pentru functia f pe I. Valoarea maxima sau minima a lui f pe I se numesc valoari extreme ale functiei pe I.

Exemplu: f : R R f(x) = x³ - x²

Punctul x₀ de maxim sau x₁ de minim se numeste punct de extrem local pentru functia f pe I.

Exemplu: Graficul de mai sus este graficul functiei: f : R R ; f(x)=x¹⁷-8x¹⁵

Exemplu: Functia f definita prin tabelul de valori are valoarea maxima egala cu 8 si se

atinge pentru x = -6.

Deci maxf = f(-6)= 8. Punctul x = -6 este punct de maxim pentru functie. Valoarea minima a lui f este egala cu -5 si se obtine pentru x = 0. Deci min f = f(0) = -5. Punctul x= 0 este punctul de minim al functiei. In final, valorile extreme ale

functiei sunt -5 si 8, iar punctele de extrem sunt 0 si respectiv -6.

4. Functii marginite.

Definitie: O functie numerica f: A R (A R) se numeste marginita daca exista doua numere reale m, M a.i. m f(x) M xIA.

Exemplu: Functia sinx: R [-1,1] al carei grafic este reprezentat mai jos.

y=sinx

Exemplu: Functia cosx: R [-1,1] al carei grafic este reprezentat mai jos.

y=cosx

Semnificatia geometrica a unei functii margintite este aceea ca graficul functiei este cuprins intre dreptele orizontale y = m, y = M, dupa cum se observa si din graficele celor doua functii prezentate in exemple de functii sin x si cos x unde M = 1 si m = -1. O definitie echivlaenta ar fi si urmatoarea:

Definitie: O functie numerica f: A R (A R) se numeste marginita daca exista numarul real M a.i. |f(x)| M, xIA.

5. Functii injective.

Definitie: : O functie f: A → B se numeste functie injectiva ( sau simplu injectie) daca: x₁ , x₂ I A cu x₁ ≠ x₂ f(x₁ ) ≠ f( x₂)

Altfel spus: O functie f: A → B se numeste functie injectiva ( sau simplu injectie) daca orice element din B este imaginea prin f a cel mult unui element din A, ceea ce-i echivalent cu faptul ca pentru orice y I B ecuatia f (x) = y are cel mult o solutie x I A.

Exemplu:

y=x⁵

Exemplu:

Utilizand un principiu al logicii formale potrivit caruia propozitiile (pq)( ), o alta modalitate de definire a unei functii injective ar fi:

Definitie: O functie f: A → B se numeste functie injectiva ( sau simplu injectie) daca: din presupunerea f(x₁ ) = f( x₂) x₁ = x₂

Exemplu: Functia definita sintetic prin diagrama de mai jos este o functi injectiva

Un contraexemplu de functie ce nu este injectiva este prezent in graficul de mai jos:

y = x⁴-16x

Observam ca orice dreapta y || Ox dusa prin orice y -12*2^2/3 -19,05 (minimumul global al functiei) intersecteaza graficul functiei in doua puncte.

6. Functii surjective.

Definitie: O functie f: A → B se numeste functie surjectiva ( sau simplu surjectie) y I B, x I A astfel incat f(x) = y.

Este valabila si urmatoarea definitie echivalenta cu prima.

Definitie:O functie f: A → B se numeste functie surjectiva ( sau simplu surjectie) daca orice element din B este imaginea prin f a cel putin unui element din A, ceea ce-i echivalent cu faptul ca pentru orice y I B ecuatia f (x) = y are cel putin o solutie x I A.

Sau f: A → B este surjectiva f (A) =B, adica Im f = B.

Pe diagrama cu sageti o functie este surjectiva daca la fiecare element din B ajunge cel putin o sageata. Graficul unei functii poate preciza daca functia este surjectiva. Altfel spus Daca orice pange cel putin o sageata._____ _______ ______ ________ralela la Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel putin un punct atunci functia f este surjectiva.

Exemplu: Functia e^x : R → (0, )

y=e^x

Observatie:

O functie f: A → B nu este surjectiva daca exista y I B astfel incat x I A, f (x) ≠ y. Un astfel de contraexemplu poate fi definit in diagrama de mai jos.

Elementului c I B nu-i corespunde nici o contraimagine din A.

7. Functii bijective

Definitie: O functie f: A → B se numeste functie bijectiva ( sau simplu bijectie), daca este atat injectiva cat si surjectiva. Altfel spus functia f: A → B este functie bijectiva y I B, ! x I A astfel incat f(x) = y. Simbolul ! inseamna "exista in mod unic".

Observatie: Pe diagrama cu sageti o functie este bijectiva daca in fiecare element al codomeniului ajunge exact o sageata. Se mai spune despre functia bijectiva ca este o corespondenta "one to one" ("unu la unu") sau corespondenta biunivoca. O functie numerica data prin graficul sau este bijectiva daca orice paralela la axa Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in exact un punct.

Exemplu: Functia f: R→ R unde f(x) = x³ +1 este bijectiva (fiind dealtfel o functie strict monotona).

y= x³ +1

8. Functii inversabile

Daca f: A → B este bijectiva, atunci pentru orice element y I B exista exact un element x din A astfel incat f(x) = y, ceea ce inseamna ca x = f^-1 (y) (adica preimaginea sau contraimaginea elementului y este elementul x).

Definitie: Fie f: A → B o functie bijectiva Se numeste functie inversa a functiei f, functia g: B → A, care asociaza fiecarui element y din B elementul unic x din A astfel incat f(x) = y.

Notatie: Pentru functia g utilizam notatia f^-1 (citim "f la minus unu"). O functie f care are inversa se spune ca este invesabila.

Functia f se numeste functie directa, iar f^-1 functie inversa (a lui f).

Exemplu: Pentru functia f : R → R descrisa de forma analitica f(x)=2x+1 admite ca functie inversa f^-1 (x)= .

Din punct de vedere grafic cele doua drepte sunt simetrice fata de dreapta de ecuatie

y = x (ecuatia primei bisectoare), dupa cum se observa in graficul comparativ de mai jos.

9 Functii convexe, concave. Consideram functia f: I R unde I - interval. Atunci are loc urmatoarea:

Definitie: a) despre functia f spunem ca este convexa pe intervalul I daca: x₁, x₂I _, q₁, q₂≥0 astfel incat q₁+ q₂=1 avem: f(q₁ x₁+ q₂ x₂) ≤ q₁ f(x₁) + q₂ f(x₂) (1)

b) despre functia f spunem ca este concava pe intervalul I daca: x₁, x₂I _, q₁, q₂≥0 astfel incat q₁+ q₂=1 avem: f(q₁ x₁+ q₂ x₂) ≥ q₁ f(x₁) + q₂ f(x₂) (2)

Observatie: Daca in inegalitatile (1) si (2) avem inegalitate stricta se spune ca functia f este strict convexa respectiv strict concava.

Notiunea de functie convexa respectiv concava a fost introdusa J. Jensen[1] care a pornit de la o relatie mai particulara decat (1) si(2), anume:

a)     despre functia f spunem ca este convexa pe intervalul I daca: x₁, x₂I _, x₁≠x₂ ;

b)     despre functia f spunem ca este convcava pe intervalul I daca: x₁, x₂I _, x₁≠x₂

Din punct de vedere grafic pentru o functie convexa avem:

Exemplu: f: R R f(x) = x² este o functie convexa

Din punct de vedere grafic pentru o functie concava avem:

Exemplu: f: R R f(x) = - x² este o functie concava.

Observatie: Functia de gradul II-lea de forma f(x)=ax²+bx+c unde f: R R este:

a. convexa pe R daca a > 0

b. concava pe R daca a < 0

10. Functii periodice.

Definitie: Fie T R* si f: D R, unde D R o multime cu proprietatea

x D x+T D si x -T D. Despre f: D R spunem ca este periodica de perioada T daca f(x+T)= f(x) (1). Cel mai mic intreg pozitiv T pentru care este indeplinita relatia (1) se numeste perioada principala a lui f.

Exemple:

1. Functiile trigonometrice sinx, cosx sunt periodice de perioada principala 2  

Functia lui Dirichlet[2] : f(x)= este periodica avand ca perioada orice numar rational.