Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice
Acasa » referate » matematica
Tetraedre regulate

Tetraedre regulate




Tetraedre regulate

Definitie : Se numeste tetraedrul regulat un tetraedru cu toate fetele triunghiuri echilaterale.

Evident toate muchiile unim tetraedru regulat au aceeasi lungime ce o vom nota cu "a", toate unghiurile diedre sunt congruente.

Teorema 54:

Un tetraedru regulat [ABCD] este:

1o ortocentric; 2o echifacial; 3o Crelle ; 4o izodinamic(izofacial)

Demonstratie :

1o Se verifica imediat formula

AB2 + CD2 =AC2 +BD2=AD2 +BC2 T [ABCD] ortocentric.

2o DABCsDACDsDABDsDBCD T

SABC= SACD=SABD=SBCDT [ABCD] echifacial

3o AB + CD =2a, AC +BD= 2a, AD + BC = 2a T AB + CD = AC +BD= AD + BC T [ABCD] este Crelle.

4o DABCsDACDsDABD si DABC echilateral T [ABCD] izofacial.

Teorema 55:

Un tetraedru regulat [ABCD] are un centru V care este simultan-centru de greutate G

-centru O al sferei circumscrise

-centru I al sferei inscrise

-anticentrul tetraedrului K

-ortocentrul H al tetraedrului

-centrul J al sferei hexagonului ( sfera Crelle).

Demonstratie :

Tetraedru  [ABCD] fiind regulat este ortocentric, fetele sunt triunghiuri echilaterale , atunci G1=H1 si G2=H2 T(AH1)=(AG2), AH1 identic cu AG1 si BH2 = GH2, atunci G=H.

Cum GH1 (BCD) T(GB)s(GC)s(GD) si GH2 (ACD) T (GA)s(GC)s(GD). Rezulta



(GA)s (GB)s(GC)s(GD) deci G=O.

Cum K este simetricul lui O fata de G, adica (OG)s(GK) si OG=0 rezulta GK=0. Deci G=K.

Inaltimile tetraedrului fiind concurente si GG1 T (GH1)s (GH2)s (GH3)s (GH4) T G este centrul sferei inscrise, deci G=I.

Tetraedrul fiind ortocentric cu muchiile opuse congruente se poate trage concluzia ca bimedianele sunt congruente. Mijlocul lor comun G este deci la aceeasi distanta de cele sase muchii, deci G=J.

Teorema 56:

Pentru tetraedrul echifacial[ABCD] fiecare din urmatoarele trei conditii este suficienta ca [ABCD] sa fie regulat:

1o sa fie ortocentric

2o sa fie tetraedru Crelle

3o sa fie izodinamic.

Demonstratie :

Deoarece [ABCD] este echifacial, putem nota :

(AD)s(BC); AD=a; (AB)s(CD); AB=b; (AC)s(BD).

Conditia 1o devine prin formula

AB2 +CD2 =AC2 +BD2=AD2 +BC2  2a2=2b2=2c2T

a=b=c , atunci [ABCD] este regulat.

Conditia 2o asigura in baza teoremei lui Crelle ca

2a2=2b2=2c2 T a=b=c

Conditia 3o devine a2=b2=c2 deci a=b=c T [ABCD] regulat.






Politica de confidentialitate







creeaza logo.com Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.