Legi de distributie ale variabilelor aleatoare

LEGI DE DISTRIBUTIE ALE VARIABILELOR ALEATOARE

1. Tipuri de distributii

Momentele de timp la care se manifesta defectiunile (caderile) in cazul unui lot de produse identice se repartizeaza (in mod natural) dupa o lege de distributie (repartitie) statistica, evidentiata prin intermediul expresiei functiei de frecventa [f(t)]. In functie de caracterul variabilei aleatoare (t) - discreta sau continua - exista doua tipuri de distributii: distributie discreta si, respectiv, distributie continua.

In cazul unei distributii discrete, functia de distributie are expresia:

(1)

unde,

t_i < T pentru oricare i < k;

p(t_i) -probabilitatea ca variabila aleatoare sa ia valoarea t_i

Dupa cum rezulta din fig. 1, care reflecta expresia (1), functia de distributie discreta se reprezinta grafic ca o 'scara crescatoare'.

Fig. 1 - Functia de distributie discreta t_a < t_b T F(t_a) < F(t_b

Functia de distributie continua are expresia (2.10), respectiv (2.15) si se reprezinta grafic conform fig. 2.

Fig. 2 - Functia de distributie continua

Cu referire la variabilele aleatoare se recomanda [21] doua categorii de distributii:

a) distributii ale variabilei 'timp de buna functionare' sau 'timp de reparare':

distributii de tip continuu: normala, exponentiala, Weibull, etc.

distributii de tip discret: binomiala, Poisson, polinomiala, etc.

b) distributii ale altor variabile aleatoare (de exemplu: numarul de cicluri pana la primul defect, etc.): c² (Pearson), G, t (Student), Ficher, etc.

In continuare se vor face scurte referiri privind principalele legi de distributie utilizate in teoria fiabilitatii [5, 14, 17, 19

2. Legi de distributie continua

2.1. Distributia normala (Gauss-Laplace)

Distributia normala reprezinta o lege de distributie a unei variabile aleatoare in jurul mediei sale. Aceasta distributie este frecvent intalnita in calculul statistic al erorilor, iar in fiabilitate caracterizeaza fenomenele de imbatranire (mecanica, electrica, termica, etc.) a elementelor si sistemelor.

Variabila aleatoare (t) urmeaza legea de distributie normala [N(m, s)], daca densitatea de distributie este data de expresia:

(2)

unde,

m, s - parametrii distributiei (definiti in cadrul paragrafului 2.3).

Reprezentarea grafica a functiei [f(t)] - fig. 3 - se numeste curba normala sau clopotul lui Gauss.

Fig. 3 - Variatia indicatorului 'f(t)' in cazul distributiei normale.

Aliura curbei este dependenta de valoarea indicatorului (s). Curba are doua puncte de inflexiune, cu abscisele (m - s) si (m + s). Intre limitele [m - 3s; m + 3s] se incadreaza aproape toate valorile statistice ale variabilei (t).

Cunoscand indicatorul 'f(t)', probabilitatea de defectare [F(t)] se determina cu relatia cunoscuta:

(3)

Pentru a facilita calculul integralei (3) se recurge la o schimbare de variabila:

(4)

Variabila (y) se numeste variabila 'normala normata', iar legea corespunzatoare [N (0,1)] se numeste 'lege (distributie) normala normata', cu expresia (5) si reprezentarea grafica din fig. 4.

(5)

Fig. 4 - Variatia indicatorului 'f(y)' in cazul distributiei 'normale normata'

Ca urmare a schimbarii de variabila si a faptului ca functia 'f(y)' este simetrica in raport cu axa ordonatelor, indicatorul 'F(y)' devine:

(6)

Functia lui Laplace [f (y)] are valori tabelate in intervalul [0; 0,5].

Se observa ca: f (-y) = f (y); f f f

P(t₁ < t < t₂ f(y), cand t₁ si t₂ sunt simetrici fata de medie.

Variatia altor indicatori de fiabilitate, in raport cu densitatea distributiei, in cazul distributiei normale, se reprezinta in fig. 5.

Fig. 5 - Indicatori de fiabilitate ai distributiei normale

Se remarca, manifestarea acestei legi la sfarsitul duratei de viata (zona III) a produselor.

2.2. Distributia normala trunchiata

Acest tip de distributie este obtinut din distributia normala, limitand intervalul valorilor posibile ale variabilei (t), de exemplu la [t₁, t₂]. In acest caz, densitatea distributiei se noteaza:

(7)

unde,

c - factor de normare, obtinut din conditia:

(8)

Dupa transformari, se obtine:

(9)

2. Distributia lognormala

O variabila aleatoare este distribuita lognormal, daca logaritmul sau are o distributie

normala.

Densitatea distributiei este data, in acest caz, de expresia: (10)

2.4. Distributia exponentiala

Aceasta lege de distributie este caracterizata prin Z(t) = ct. = l. Manifestarea acestei legi are loc chiar pe durata vietii utile a produsului (zona II, fig.2.5).

In consecinta, expresiile celorlalti indicatori vor fi:

(11)

Variatia indicatorilor de fiabilitate se reprezinta in fig. 6.

Fig. 6 - Variatia indicatorilor de fiabilitate in cazul distributiei exponentiale

2.5. Distributia Weibull

Aceasta distributie, introdusa in anul 1951 de catre profesorul suedez Walodi Weibull, are caracterul cel mai general si este considerata - ca ipoteza - la orice analiza de incadrare a rezultatelor incercarilor de fiabilitate intr-o functie teoretica.

Indicatorul 'R(t)' al distributiei Weibull se exprima astfel:

(12)

unde,

g - parametru de pozitie (loc) - exprima durata minima pana la care nu se manifesta nici un defect;

h - parametru de dispersie (viata caracteristica);

b - parametru de forma (reflecta nivelul procesului intim de degradare).

Aceasta lege este caracteristica in cazul proceselor chimice (coroziune), a studiului andurantei elementelor mecanice si electrice, a studiului oboselii metalelor, etc.

Ceilalti indicatori de fiabilitate se pot exprima, avand in vedere expresia indicatorului 'R(t)' si relatiile intre indicatori (cap. II). Astfel, de exemplu:

(13)

In expresiile indicatorilor 'm' si 'D', intra functia Euler de speta intai [21].

Pentru indicatorul 'R(t)' si, implicit, pentru ceilalti indicatori se mai aplica [19 25] si o alta expresie de calcul, echivalenta cu expresia (12):

(14)

unde,

k - parametru de scara;

m- parametru ce determina asimetria si excesul formei repartitiei.

Expresia (14) evidentiaza faptul ca, distributia exponentiala este un caz particular al repartitiei Weibull. Se poate afirma ca un produs care se conformeaza distributiei exponentiale nu memoreaza efectul solicitarilor, in timp ce un produs care se conformeaza - sub aspect fiabilistic - distributiei Weibull memoreaza (inregistreaza, evidentiaza) efectele solicitarilor.

Aliura indicatorilor distributiei Weibull este specifica, dupa valorile parametrilor (g h b m, k). Spre exemplificare, in fig. 7 se reprezinta indicatorul 'f(t)'.

Fig. 7 - Indicatorul 'f(t)' al distributiei Weibull [b - variabil; (g h) - constante]

2.6. Distributia Raleigh

In cazul acestei distributii, densitatea distributiei are expresia:

(15)

Expresiile celorlalti indicatori se obtin pe baza relatiilor generale intre indicatorii de fiabilitate (cap. 2). In fig. 8 se reprezinta variatia calitativa a doi indicatori.

Fig. 8 - Indicatori ai distributiei Raleigh

2.7. Distributia uniforma

In cazul acestui tip de distributie, densitatea distributiei este constanta:

(16)

Compararea, sub aspect grafic, intre aliura indicatorului 'R(t)', pentru diferite legi de distributie se da in fig. 9.

Fig. 9 - Caracteristici [R(t)] pentru diferite legi de distributie: 1 - normala;

2 - Raleigh; 3 - uniforma; 4 - exponentiala.

Legi de distributie discreta

Daca variabila aleatoare ia valori discrete, atunci se lucreaza cu legi de distributie discrete. Se vor prezenta cele mai frecvent utilizate legi de distributie discrete.

1. Distributia binomiala

Aceasta distributie se mai numeste si distributia proportiilor sau distributia lui Bernoulli si se defineste astfel:

fie 'n' extractii succesive dintr-un lot de 'N' produse, reintroducandu-se in lot produsele extrase, dupa verificare;

fiecare din cele 'n' produse verificate poate fi defect cu probabilitatea 'p' (evenimentul A), sau corespunzator cu probabilitatea q = 1 - p (evenimentul contrar

numarul de aparitii ale evenimentului A, in cele 'n' experimente, este o variabila aleatoare [X (n)], care poate lua valorile discrete: 0, 1, 2, k, , n;

probabilitatea ca evenimentul 'A' sa se produca de 'k' ori, este:

(17)

Distributia variabilei aleatoare [X (n)] se exprima sub forma:

(18)

Se observa ca, probabilitatile P[X(n)= k] sunt tocmai termenii dezvoltarii binomului (p + q)ⁿ, fapt pentru care aceasta distributie se numeste distributie binomiala.

Densitatea distributiei binomiale se exprima astfel:

(19)

unde,

f(x) - numar pozitiv, reprezentand probabilitatea ca in 'n' incercari evenimentul 'A' sa se produca de 'x' ori, stiind ca probabilitatea evenimentului 'A' este constanta in orice incercare si egala cu 'p'.

Distributia are un singur parametru (p), intrucat q = 1 - p, iar functia de distributie este:

(20)

Variabila 'x' reprezinta numarul producerii evenimentului 'A' in cele 'n' incercari.

Exista o legatura intre distributia binomiala si cea normala, in sensul ca distributia binomiala se reprezinta prin histograme care incadreaza distributia normala (fig. 10). Cu cat 'n' este mai mare, histogramele aproximeaza mai bine distributia normala.

Fig. 10 - Suprapunerea intre distributia binomiala si cea normala

Valoarea medie si dispersia distributiei Bernoulli sunt date de expresiile:

(21)

2. Distributia Poisson

Se numeste si distributia evenimentelor rare, fiind corespondentul in domeniul discret al distributiei exponentiale. La testarea distributiei Poisson se au in vedere urma-toarele:

probabilitatea de aparitie a evenimentului care se examineaza este mica;

constituie un caz limita al distributiei binomiale, obtinandu-se din aceasta cand

n , mentinandu-se insa ca o distributie de tip discret. Densitatea distributiei Poisson este dedusa din urmatoarea expresie a densitatii distributiei Bernoulli:

(22)

Intrucat, in cazul distributiei Poisson, 'n' este foarte mare (n ), se aproximeaza cu 'n' toate valorile: n-1, n-2, etc. Deoarece x << n, rezulta:

(23)

Functia de distributie este data, in consecinta, de urmatoarea expresie:

(24)

Media si dispersia se determina ca si in cazul distributiei binomiale:

Cand parametrul (a) creste (a > 30), distributia Poisson tinde sa se suprapuna peste cea Bernoulli.

Distributia c²

Se numeste si distributia Pearson, fiind aplicata indeosebi pentru rezolvarea unor probleme de tipul urmator: verificarea corespondentei intre distributia empirica (rezultata experimental) si cea teoretica, determinarea limitelor pentru MTBF, etc. Distributia c² se defineste astfel:

fie un sondaj (selectie) de marime 'n', unde variabilele aleatoare independente (x₁, x₂, ,x_n) sunt valorile caracteristice masurate;

variabilele (x₁, x₂, , x_n) urmeaza, fiecare, o lege normala [N (m ,s)] si sunt legate de variabila aleatoare cu 'n' grade de libertate (c²) prin relatia:

(26)

densitatea distributiei se calculeaza pornind de la definitia functiei de distributie:

(27)

Se obtine in acest mod:

(27)

In cazul legii normale normata [N(0,1)], rezulta:

(28)

Media si dispersia sunt date, pentru cazul general, de expresiile:

(29)

Cu cat creste numarul gradelor de libertate (g) cu atat distributia c² se suprapune peste distributia normala (fig. 11).

Fig. 11 - Densitatea distributiei ^c2

4. Distributia G

In cazul distributiei G, densitatea distributiei este data de expresia:

(30)

unde,

x - variabila aleatoare;

a b - parametrii distributiei.

Valorile caracteristice (media, dispersia) sunt date de expresiile:

(31)

Functia G a) se exprima astfel:

(32)

Valorile functiei G a) sunt tabelate, pentru aI