Metoda Kalman

Algoritmul Dahlin se bazeaza pe specificarea raspunsului sistemului in circuit inchis la modificarea marimii prescrise fara alte restrictii asupra variabilelor de comanda ale procesului. O varianta originala a fost propusa de Kalman si consta in proiectarea regulatorului cu impunerea unor restrictii asupra variabilei de iesire cat si asupra comenzii.

De exemplu, se impune ca valoarea finala sa fie atinsa dupa un numar specificat de pasi ai semnalului de comanda; deci eroarea stationara va fi zero dupa un numar dat de perioade de esantionare (se impune astfel durata regimului tranzitoriu). Se poate arata ca pentru sistemele de ordinul doi sunt necesari minim 2 pasi ca sa se poata realiza acest lucru, pentru sistemele de ordinul trei sunt necesari 3 pasi, etc.

Tinand cont de aceasta restrictie, se poate scrie marimea de iesire y(t) si variabila y_c(t) in forma unor serii de puteri z^-k:

(3.37)

Pentru un proces de ordinul 2 cu timp mort cu functia de transfer de forma (3.14) transformata z devine

(3.38)

Pentru variatie treapta a marimii prescrise

(3.39)

Tinand cont de (3.37) si de faptul ca dupa doi pasi e(t)=0, deci y(t)=1. Rezulta functia de transfer a sistemului in circuit inchis

(3.40)

si functia de transfer pe canalul de forma:

(3.41)

Din (3.40) si (3.41) rezulta dupa dezvoltarea produselor:

(3.42)

Functia de transfer a partii fixe se poate exprima din (3.41) sub forma:

(3.43)

Deoarece numaratorul lui H_PF(z) coincide cu numaratorul lui H₀(z) suma coeficientilor numaratorului lui H₀(z) din (3.42) este 1. Se aduce H_PF(z) la o asemenea forma astfel incat suma coeficientilor numaratorului sa fie 1.

De exemplu, pentru sistemul de ordinul II, expresia din (3.19) se aduce la forma:

(3.44)

Prin analogie, din (3.44), (3.43) si (3.42) rezulta

In acest caz: , deci:

(3.46)

Si in acest caz pot apare oscilatii puternice sau chiar intretinute la iesirea regulatorului si acest lucru apare deoarece functia de transfer H_R(z) are poli apropiati cercului cu raza unitate.

Se recomanda in acest caz inlocuirea in expresia acestor poli a lui z=1, eventual retinerea doar a polului integrator (1-z^-1). Se ajunge astfel la forme apropiate de cele ale regulatoarelor PI sau PID discretizate. Un exemplu de proiectare va fi prezentat in partea finala a acestui capitol.