Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Functia de gradul al II-lea

Functia de gradul al II-lea



Functia de gradul al II-lea

*     Avand date numerele reale a,b,ccu a nenul , functia f:R→R definita prin f(x)=ax2+bx+c se numeste functie de gradul al II-lea cu coeficienti a,b,c.

*     Forma canonica a functiei :f(x)=a

*     Puncte de extrem ale functiei de gradul al II-lea :


1)Daca a>0 atunci f are un punct de minim m

2) Daca a<0 atunci f are un punct de maxim M

*     Monotonia functiei de gradul al II-lea

1) Daca a >0 atunci

x

−∞

f(x)

2) Daca a<0 atunci

x

−∞

f(x)

*     Graficul functiei de gradul al II-lea –este o parabola

Etapele construirii graficului functiei de gradul al II-lea:

1) Intersectia cu axa Ox : este data de semnul lui ∆

Daca ∆>0 atunci graficul intersecteaza axa Ox in 2 puncte A(x1;0) si B(x2;0) unde x1si x2 sunt radacinile ecuatiei ax2+bx+c=0

Daca ∆=0 atunci graficul intersecteaza axa Ox intr-un singur punct V() .Graficul este tangent axei Ox .

Daca ∆<0 atunci graficul nu intersecteaza axa Ox.

Intersectia cu axa Oy : graficul functiei intersecteaza axa Oy in punctul C(0;c)

2) Varful paraboboleiV

3)Axa de simetriedreapta x=

4) Tabelul de variatie ( din care rezulta punctele prin care trece graficul si monotonia functiei)

5) Trasarea graficului.

*     Semnul functiei de gradul al II-lea

1) Daca ∆<0 functia pastreaza semn constant – semnul lui a

x

−∞

f(x)

semnullui a

2) Daca ∆=0 functia pastreaza semn constant – semnul lui a si se anuleaza intr-un punct

x

−∞

f(x)

semnul lui a0semnul lui a



3) Daca ∆>0 atuncifunctiaprezinta alternanta de semn

x

−∞x1x2

f(x)

semnul lui a0semn contrar lui a0semnul lui a

*     Inecuatiile de gradul al II-lea se rezolva cu ajutorul semnului functiei de gradul al II-lea intocmind un tabel de semn.

*     Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul al II-lea in raport cu un numar real α

Fie f(x)=ax2+bx+c avand radacinile x1si x2

1) x1<x2daca sunt indeplinite conditiile :

2) α<x1<x2 daca sunt indeplinite conditiile :

3)x1<α<x2 daca sunt indeplinite conditiile :

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul al II-lea fata de un numar real α se putea aborda si notand cu y1=x1-α cu y2=x2-α ( adica se face transformarea y=x-α → x=y+α) caz in care semnul radacinilor ecuatiei in y da pozitiaradacinilor ecuatiei in x fata de numarul α.

*     Alte aplicatii ale functiei de gradul al II-lea :-conditii ca o expresie de gradul al II-lea sa aiba acelasi semn pe un interval

-familii de parabole :-determinarea curbei descrisa de varfurile unei familii de parabole

-determinarea punctului fix al unei familii de parabole

-determinarea imaginii sau multimii valorilor unei functii

*     Sisteme de ecuatii neliniare

1) Sisteme formate dintr-o ecuatie de gradul I si o ecuatie de gradul al II-lea :

Procedeu : se substituie x sau y din prima ecuatie si se introduce in a doua ecuatie obtinandu-se o ecuatie de gradul al II-lea numai in x sau numai in y

2) Sisteme omogene

Procedeu : Daca d1≠0 si d2≠0 , se inmulteste ecuatia (1) cu d2 si ecuatia (2) cu (-d1), se aduna si se obtineo ecuatie omogena de gradul al II-lea cu termenul liber 0.Impartind ecuatia omogena la y2 (y=0 nu este solutie a sistemului ), obtinem o ecuatie de gradul al II-lea cunecunoscutat =. Sistemul se reduce astfel la doua sisteme de tipul 1.Daca d1≠0 si d2=0 ,se imparte ecuatia (2) prin y2 si se formeaza ecuatia de gradul al II-lea cu necunoscutat=

3) Sisteme simetrice (sistemele care nu se schimba daca inlocuim pe x cu y si pe y cu x)

Procedeu : se introduc necunoscutele auxiliare s si p date de relatiile x+y=s si xy=p. Sunt utile identitatile :

x2+y2=(x+y)2-2xy=s2-2p

x3+y3= (x+y)3-3xy(x+y)=s3-3sp

x4+y4=(x2+y2)-2x2y2=(s2-2p)2-2p2

*     In rezolvarea ecuatiilor sau inecuatiilor daca apar module se expliciteaza modulele si se analizeaza cazurile care apar.De multe ori este util sa se tina cont de proprietatile modulului.

*     Ecuatiile in carenecunoscuta apare sub radicali se numesc ecuatii irationale.In rezolvarea lor este bine sa se parcurga etapele:1)conditii de existenta si de compatibilitate(conditiile de compatibilitate se pot adauga si pe parcursul rezolvarii ecuatiei)

2)eliminarearadicalilor prin –ridicare la putere

-amplificare cu expresia conjugata

-utilizarea diferitelor substitutii

3)rezolvarea ecuatiei obtinute

4)verificarea solutiilor obtinute in ecuatia initiala.









Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2019 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 PROIECT DE LECTIE Clasa: I Matematica - Adunarea si scaderea numerelor naturale de la 0 la 30, fara trecere peste ordin
 Proiect didactic Grupa: mijlocie - Consolidarea mersului in echilibru pe o linie trasata pe sol (30 cm)
 Redresor electronic automat pentru incarcarea bateriilor auto - proiect atestat
 Proiectarea instalatiilor de alimentare ale motoarelor cu aprindere prin scanteie cu carburator

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 Proiect diploma Finante Banci - REALIZAREA INSPECTIEI FISCALE LA O SOCIETATE COMERCIALA
 Lucrare de diploma managementul firmei “diagnosticul si evaluarea firmei”

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 CONTABILITATEA FINANCIARA TESTE GRILA LICENTA
 LUCRARE DE LICENTA - FACULTATEA DE EDUCATIE FIZICA SI SPORT
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 Proiect atestat informatica- Tehnician operator tehnica de calcul - Unitati de Stocare
 LUCRARE DE ATESTAT ELECTRONIST - TEHNICA DE CALCUL - Placa de baza
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 Proiect atestat tehnician in turism - carnaval la venezia




Forma diagonala
Transformari liniare simetrice
Functia de gradul al II-lea
Binomul lui Newton. Puterea unui polinom
Functii diferentiabile
Teoremele sumei si consecintele lor
UNGHIUL - TEST
Definitia geometrica si cea axiomatica


Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu