Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice
Acasa » scoala » matematica
Algebra liniara - Curs pentru studentii de la Invatamant la Distanta

Algebra liniara - Curs pentru studentii de la Invatamant la Distanta


Algebra liniara

Curs pentru studentii

de la Invatamant la Distanta

1. Spatii liniare

1.1. DEFINITII. BAZA



1.1.1. Spatiu liniar.Sa consideram o multime de elemente si un corp K, pe care il luam R sau C.

Definitie. Multimea de elemente formeaza un spatiu liniar L daca intre elementele sunt definite doua operatii: adunare (+) si inmultire cu scalari (·) cu urmatoarele proprietati:

I. Multimea formeaza grup abelian fata de operatia de adunare +, adica satisface urmatoarele axiome:

S1: a + b = c, a, b, c L,

S2: a + b = b + a (comutativitate),

S3: a + (b + c) = (a + b) + c (asociativitate).

S4: exista elementul neutru, 0 I L astfel incat a + 0 = 0 + a = 0.

S5: la orice a I L, exista opusul sau ( - a) I L, astfel incat a + ( - a) = 0.

II. Daca (λ, μ, ) I K, este definita operatia (·) de inmultire cu scalari (elemente din K) care satisface urmatoarele axiome:

I1: λa I L,

I2: λ(μa) = (λμ)a (asociativitate),

I3: (λ + μ) · a = λa + μb (distributivitate),

I4: λ(a + b) = λa + λb (distributivitate fata de operatia + in L),

I5: exista elementul neutru 1 K astfel incat

1 · a = a, a I L.

Exemple. 1. Multimea matricelor m n formeaza un spatiu liniar pe R sau C.

2. Multimea polinoamelor de grad ≤ n cu coeficienti reali formeaza un spatiu liniar pe R.

Completari. 1) Elementele unui spatiu liniar se numesc vectori.

2) Daca K este corpul R, spatiul liniar se numeste real; daca K este corpul C, spatiul liniar se numeste complex. In cele ce urmeaza vom considera K = R.

1.1.2. Vectori liniar independenti. Sa consideram in L vectorii v1, v2, , vp.

Definitie. 1. Vectorii v1, v2, , vp sunt liniar dependenti daca exista λ1, λ2, λp I R, cu astfel incat

λ1v1 + λ2v2 + + λpvp = 0.

Daca un astfel de sistem de numere nu exista, vectorii v1, v2, , vp sunt liniar independenti.

Observatii. 1) Vectorii v1, v2, , vp I L sunt liniar independenti daca egalitatea

λ1v1 + λ2v2 + + λpvp = 0 (1)

atrage λ1 = 0, λ2 = 0, , λp = 0.

2) Daca in relatia (1) cel putin un λi este diferit de zero, fie λ1 ≠ 0, atunci putem scrie

sau v1 = μ2v2 + + μpvp, μk = -λk1,

adica vectorul v1 se exprima liniar cu ajutorul lui v2, v3, , vp.

Exemple. 1. In plan trei vectori sunt totdeauna liniar dependenti.

2. In spatiul R3 vectorii i, j, k sunt liniar independenti. Patru vectori in R3 sunt totdeauna liniar dependenti.

1.1.3. Baza. Definitii. 1. Fie L un spatiu vectorial. Numarul maxim de vectori liniar independenti se numeste dimensiunea spatiului L; se mai spune ca L este un spatiu vectorial n dimensional, daca numarul maxim este n.

2. Intr-un spatiu n dimensional L un sistem de vectori v1, v2, , vn liniar independenti se numeste baza sau formeaza o baza.

Observatii. Daca numarul de vectori liniar independenti este nemarginit, spatiul este infinit dimensional. Daca numarul este finit, spatiul este finit dimensional.

Exemple. 1. Planul este un spatiu vectorial cu dimensiunea 2; o baza in plan o formeaza doi vectori necoliniari.

2. Multimea polinoamelor de grad ≤ p, cu coeficientii in R, formeaza un spatiu cu p + 1 dimensiuni. O baza este formata din 1, x, x2, , xp.

3. Seriile trigonometrice formeaza un spatiu infinit dimensional cu baza 1, sin x, cos x, , sin nx, cos nx,

Fie Ln un spatiu n dimensional.

Teorema. 1. Intr-un spatiu n dimensional n + 1 vectori sunt totdeauna liniar dependenti.

2. Daca v1, v2, , vn si v sunt n + 1 vectori din Ln si v1, v2, , vn formeaza o baza, atunci exista λ1, λ2, , λn I R nu toate nule astfel incat

v = λ1v1 + λ2v2 + + λpvn,

numerele λ1, λ2, , λn fiind unice.

Demonstratie. 1) Rezulta din definitie. 2) Fie v1, v2, , vn, v I Ln, din care v1, v2, , vn formeaza o baza. Fiind liniar dependenti exista μ0, μ1, , μn I R nu toate nule astfel incat

μ0v + μ1v1 + + μnvn = 0;

presupunand μ0 ≠ 0, obtinem

sau v = λ1v1 + λ2v2 + + λnvn, λk = -μk0. (1')

Sa aratam ca λ1, λ2, , λn sunt unice. Sa presupunem ca mai exista un sistem de numere λ'1, λ'2, , λ'n astfel incat sa avem

v = λ'1v1 + λ'2v2 + + λ'nvn. (1")

Daca scadem pe (1') din (1"), obtinem

(λ'1 - λ1)v1 + (λ'2 - λ2)v2 + + (λ'n - λn)vn = 0,

ceea ce conduce la λ1 = λ'1, , λn = λ'n, deoarece v1, v2, , vn sunt liniar independenti.

Observatii. 1) Numerele λ1, λ2, , λn se numesc coordonatele vectorului v fata de baza v1, v2, , vn; ele sunt unice.

2) Fie v = λ1v1 + λ2v2 + + λnvn, w = μ1v1 + μ2v2 + + μnvn. Suma vectorilor

v + w = (λ1 + μ1)v1 + (λ2 + μ2)v2 + + (λn + μn)vn.

are coordonate suma coordonatelor lui v si w.

3) Vectorul μv, μ I R, este dat de

μv = (μλ1) + (μλ2) + + (μλn)vn.

1.1.4. Spatii liniare izomorfe. Fie L si L doua spatii vectoriale pe acelasi corp K.

Definitie. 1. Spatiile L si L sunt izomorfe daca la orice a I L corespunde un a' I L si numai unul si reciproc.

2. Daca a a' si b b', atunci

2') a + b a' + b';  2") λa λa'.

Observatie. Doua spatii liniare finite Ln, Lm, de dimensiuni diferite nu sunt izomorfe intre ele. Intr-adevar, daca ar fi izomorfe, la vectorii liniar independenti din Ln ar corespunde vectori liniar dependenti din Lm daca m < n.

Teorema. Spatiile vectoriale finit dimensionale, de aceeasi dimensiune n sunt izomorfe intre ele.

Demonstratie. Fie Ln, Ln doua spatii liniare de dimensiune n cu bazele, respectiv,

(v1, v2, , vn), (w1, w2, , w3).

La elementul

v = λ1v1 + λ2v2 + + λnvn

corespunde

w = μ1w1 + μ2w2 + + μnwn,

deoarece grupul ordonat (λ1, λ2, , λn) este unic ca si grupul (μ1, μ2, , μn); rezulta ca avem corespondenta v w biunivoca.

Daca lui v' ii corespunde w':

v' = λ'1v1 + λ'2v2 + + λ'nvn,

w' = μ'1w1 + μ'2w2 + + μ'nwn,

avem corespondenta v + v' w + w'. In fine, lui

νv' = (νλ1)v1 + (νλ2)v2 + + (νλn)vn

ii corespunde

νw' = (νμ1)w1 + (νμ2)w2 + + (νμn)wn

din Ln si reciproc.

1.2. SPATIUL Rn

1.2.1. Structura de spatiu vectorial. Spatiul Rn este o extindere naturala a spatiului R (dreapta), a spatiului R2 (plan), a spatiului R3 etc.

Definitie. Multimea grupurilor ordonate de n numere reale (a1, a2, , an) se numeste spatiul cu n dimensiuni Rn.

Observatie. 1) Din definitie rezulta ca Rn este produsul cartezian

R R R


n

sau

Rn

2) Elementele lui Rn se numesc puncte sau vectori. Grupul ordonat reprezinta un punct a de coordonate a1, a2, , an sau un vector a de proiectii a1, a2, , an pe axele Ox1, Ox2, , Oxn respectiv.

Cu elementele din Rn sunt permise doua operatii:

1) operatia + (adunare) care satisface urmatoarele reguli:

daca a = (a1, a2, , an), b = (b1, b2, , bn) I Rn, atunci:

S1: a + b = (a1 + b1, a2 + b2, , an + bn) I Rn,

S2: a + b = b + a (comutativitate),

S3: (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate),

S4: exista elementul neutru, vectorul nul 0 = (0, 0, , 0) astfel incat pentru orice a I Rn, avem

a + 0 = 0 + a = a;

S5: la orice a I Rn exista opusul - a = (-a1, -a2, , -an) astfel incat

a + (-a) = 0;

2) operatia · (inmultire) cu numere λ I Rn (scalari) care satisface urmatoarele reguli:

I1: λa = aλ = (λa1, λa2, , λan),

I2: λ(μa) = (λμ)a, λ, μ I R,

I3: (λ + μ)a = λa + μa,

I4: λ(a + b) = λa + λb, a, b I Rn,

I5: 1·a = a, 1 I R.

Din proprietatile de mai sus rezulta urmatoarea teorema.

Teorema. Spatiul Rn este un spatiu vectorial pe R.

1.2.2. Baza in Rn. Sa consideram vectorii

e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, , 0), , en = (0, 0, 0, , 1).

Teorema. Orice vector v = (ν1, ν2, , νn) I Rn, se scrie sub forma v = e1ν1 + e2ν2 + + enνn.

Demonstratie. Avem

ν1e1 = (ν1, 0, 0, , 0), ν2e2 = (0, ν2, 0, , 0), , νnen = (0, 0, 0, , νn),

din care obtinem, aplicand axiomele adunarii,

v = (ν1, ν2, , νn) = e1ν1 + e2ν2 + + enνn.

Observatii. 1) Vectorii e1, e2, , en sunt liniar independenti deoarece λ1e1 + λ2e2 + +λnen = (λ1, λ2, , λn) = 0, daca si numai daca λ1, λ2, , λn sunt toti nuli, prin urmare e1, e2, , en formeaza o baza in Rn.

2) In R3 avem

e1 = i = (1, 0, 0), e2 = j = (0, 1, 0), e3 = k = (0, 0, 1).

Exercitiu. Un vector in baza e1, e2, , en se scrie

v = e1ν1 + e2ν2 + + enνn,

si in baza

g1 = (1, 1, 0, 0, , 0), g2 = (0, 1, 1, 0, , 0), gn = (1, 0, 0, 0, , 1),

se scrie

v = g1u1 + g2u2 + + gnun.

Sa se determine ν1, ν2, , νn in functie de u1, u2, , un. Avem

g1 = e1 + e2, g2 = e2 + e3, , gk = ek + ek+1, , gn = en + e1,

deci

u1g1 + u2g2 + + ungn = u1(e1 + e2) + + un(en + e1) = e1ν1 + e2ν2 + + enνn,

care ne da imediat

u1 + un = ν1, u1 + u2 = ν2, , un-1 + un = νn.

1.3. PRODUS SCALAR. NORMA

1.3.1. Produs scalar. Definitie. 1. O aplicatie a lui Ln Ln in R se numeste produs scalar daca indeplineste urmatoarele conditii:

1) a, b = b, a (simetrie),

2) λa, b = λa, b = a, λb, λ I R,

3) a+b, c = a, c + b, c (distributiv fata de operatia de adunare),

4) produsul scalar al unui vector cu el insusi este nenegativ x, x ≥ 0 si este nul daca si numai daca x = 0.

2. Un spatiu liniar in care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu euclidian.

Exemplu. Multimea functiilor continue pe [a, b] formeaza un spatiu vectorial. Produsul scalar in acest spatiu poate fi definit astfel:

f1, f2 =

si satisface toate axiomele produsului scalar.

1.3.2. Produsul scalar in Rn. Definitii. 1. Fie a = (a1, a2, , an) si b = (b1, b2, , bn) doi vectori din Rn. Se numeste produsul scalar al vectorilor a si b numarul real

a, b = a1b1 + a2b2 + + anbn

2. Norma, masura sau lungimea vectorului a este numarul real si pozitiv

|a| = (a, a)1/2.

3. Unghiul θ a doi vectori a si b din Rn (a doua directii din Rn) este definit de

4. Distanta a doua puncte a, b din Rn este data de

d(a, b) = [b - a,b - a]1/2 = |b - a|.

Observatii. 1. Produsul scalar definit satisface toate axiomele produsului scalar.

2. Prin introducerea notiunii de norma in Rn spatiul Rn este un spatiu vectorial normat.

3. Avem inegalitatea lui Schwartz - Buneakovski

|a|2·|b|2 - a, b2 ≥ 0.

Intr-adevar, ecuatia de gradul doi in x

(a1x - b1)2 + (a2x - b2)2 + + (anx - bn)2 = 0

are numai solutii imaginar conjugate, deci discriminantul este negativ. Ecuatia in x se scrie

|a|2x2 - 2a, bx + |b|2 ≤ 0,

de unde se obtine inegalitatea (a, b)2 - |a|2·|b|2 ≤ 0. Din inegalitate mai rezulta ca |cos θ| ≤ 1.

4. Distanta dintre doua puncte d(a, b) are urmatoarele proprietati:

(a') d(a, b) = d(b, a);

(b') d(a, b) ≥ 0, d(a, b) = 0 a = b;

(c') d(a, b) + d(b, c) ≥ d(a, c).

Un spatiu vectorial normat in care s-a definit distanta cu proprietatile (a'), (b'), (c') se numeste spatiu metric.

1.3.3. Baza ortogonala in Rn. Doi vectori a, b sunt ortogonali daca cos θ = 0, unde θ este unghiul celor doi vectori.

Definitie. 1. Vectorii a, b I Rn sunt ortogonali daca

a, b = a1b1 + a2b2 + + anbn = 0.

2. Vectorii a, b I Rn sunt paraleli daca

.

Observatie. Daca vectorii a, b sunt ortogonali, functioneaza teorema lui Pitagora:

|a + b|2 = |a|2 + |b|2.

In general, avem

|a + b + c + + 1|2 = |a|2 +|b|2 +|c|2 + + |1|2

daca vectorii a, b, c, , 1 sunt ortogonali doi cate doi.

Definitie. 1. Un sistem de n vectori liniar independenti v1, v2, , vn din Ln formeaza o baza ortogonala daca

vi, vj = 0, i ≠ j = 1, , n, si vi, vi ≠ 0.

2. Baza se numeste ortogonala daca vi, vj=

astfel definit se numeste simbolul lui Kronecker.

Teorema. Vectorii

e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, , 0), , en = (0, 0, 0, , 1)

formeaza o baza ortogonala in Rn.

Demonstratie. Avem

ei, ej =

Consecinta. Daca v, w sunt doi vectori in Ln raportati la o baza ortogonala (e1, e2, , en) si

v = ν1e1 + ν2e2 + + νnen,

w = w1e1 + w2e2 + + wnen,

atunci produsul lor scalar se scrie

v, w = ν1w1 + ν2w2 + + νnwn.

1.3.4. Constructia unei baze ortogonale in Ln pornind de la o baza data. Fie n vectori liniar independenti v1, v2, , vn; cu ajutorul lor putem construi o baza ortogonala e1, e2, , en in modul urmator.

a) Luam e1 = v1, apoi e2 = v2 + α1e1 si determinam pe α1 astfel incat e1, e2 = 0; obtinem

e1, e2 = e1, v2 + α1e1, e1 = 0,

deci α1 = - e1, v2/e1, e1, de unde .

In general, avem

ek = vk + α1e1 + α2e2 + αk-1ek-1,

caruia ii cerem ca sa fie ortogonal cu e1, e2, ,ek-1:

e1, ek = e1, ek + α1e1, e1 = 0,

de unde α1 = - e1, vk/e1, e1; avem si

e2, ek = e2, vk + α2e2, e2 = 0,

deci α2 = - e2, vk/e2, e2 etc.; prin urmare

.

b) Nici unul din vectorii obtinuti nu este nul. Intr-adevar, ek se scrie cu ajutorul lui v1, v2, , vk, deci

ek = β1v1 + β2v2 + + βkvk,  βi I R,

si ek = 0 implica β1v1 + β2v2 + + βkvk = 0, ceea ce nu se poate, deoarece v1, v2, , vk sunt liniar independenti.

c) Vectorii e1, e2, , en astfel construiti sunt liniar independenti.

Intr-adevar, daca am avea

γ1e1 + γ2e2 + + γnen = 0, γk I R, ,

inmultind scalar cu e1, obtinem γ1e1, e1 = 0, ceea ce da γ1 = 0; in acest mod obtinem ca toti γi sunt nuli.

d) Pentru a obtine o baza ortonormala este suficient sa consideram vectorii

e*1 = e1/|e1|, e*2 = e2/|e2|, , e*n = en/|en|.

Am demonstrat urmatoarea

Teorema. Daca v1, v2, , vn este o baza in Ln, vectorii

e*1 = e1/|e1|, e*2 = e2/|e2|, , e*n = en/|en|,

unde  e1 = v1,

,

,

formeaza o baza ortonormala in Ln.

Exemplu. Se dau vectorii v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, -1), v3 = (0, 1, 2). Sa se construiasca o baza ortogonala in R3.

Luam e1 = v1 = (1, 1, 0), e*1 = (1/, 1/, 0), deoarece v1, v1 = 2.

Calculam pe , e1, v2 = (1, 1, 0), (1, 0, -1) = 1, deci

e2 = (1, 0, -1) - (1, 1, 0) = ;e2, e2 = .

Obtinem

e*2 = .

Sa calculam pe

;

e1, v3 = (1, 1, 0), (0, 1, 2) = 1,

e2, v3 = , (0, 1, 2) = - - 2 = .

e3 = (0, 1, 2) - (1, 1, 0) + = ;

e3, e3 = , deci e*3 = .

Baza e*1, e*2, e*3 este ortonormala in R3.

1.4. SUBSPATII ALE LUI Ln

1.4.1. Subspatii ale unui spatiu liniar. Fie Ln un spatiu liniar de dimensiune n fata de operatiile (+, ·) pe un corp K si L o submultime a lui Ln.

Definitie. Multimea L formeaza un subspatiu vectorial al lui Ln daca are structura de spatiu vectorial fata de operatiile (+, ·) pe acelasi corp K.

Spatiul vectorial Ln este definit ca multimea vectorilor

v = λ1v1 + λ2v2 + + λnvn,

cu n vectori liniar independenti v1, v2, , vn in Ln si λ1, λ2, , λn scalari din K.

Din aceasta observatie rezulta ca orice subspatiu liniar al unui spatiu liniar Ln este format de multimea vectorilor de forma

v* = μ1v1 + μ2v2 + + μmvm, m ≤ n,

cu v1, v2, , vm vectori liniar independenti din Ln, iar μ1, μ2, , μm scalari din K.

Exemple. 1. Multimea vectorilor λv formeaza un spatiu vectorial, numit dreapta.

2. Multimea vectorilor λv1 + μv2 formeaza un spatiu vectorial, numit plan.

3. Spatiul Ln si spatiul nul (format cu vectorul nul) sunt subspatii ale lui Ln (m = n sau m = 0).

4. Orice spatiu

Rk, R = R R R


k

cu k ≤ n este un subspatiu al lui Rn.

5. Multimea polinoamelor de grad ≤ m formeaza un subspatiu liniar al spatiului polinoamelor de grad ≤ n, cu m < n.

1.4.2. Perpendiculara dintr-un punct din Ln pe un subspatiu Lm din Ln.

Definitie. Un vector v I Ln este ortogonal pe spatiul Lm Ln, daca este ortogonal la fiecare vector din Lm.

Teorema. Vectorul v este ortogonal pe Lm daca este ortogonal pe vectorii unei baze din Lm.

Demonstratie. Fie e1, e2, , em o baza dim Lm. Avem deci

v, e1 = 0, v1, e2 = 0, , v, em = 0;

orice vector w I Lm se scrie

w = μ1e1 + μ2e2 + + μmem,

de unde rezulta imediat ca v, w = 0.

Fie v I Ln, v Lm, m < n; ne propune sa determinam un vector v0 in Lm astfel incat d = v - v0 sa fie ortogonal pe Lm.

Definitie. Vectorul v0 se numeste proiectia vectorului v pe Lm, iar masura vectorului d anume |d|, distanta de la punctul M (de vector de pozitie v) la subspatiul Lm.

Observatie. Vectorul v0 are proprietatea ca oricare ar fi v1 I L avem |v - v1| > |v - v0|, deci |v - v0| reprezinta distanta cea mai mica de la un punct M la un subspatiu. Intr-adevar,

|v - v1|2 = |v - v0 + v0 - v1|2 = |v - v0|2 + |v0 - v1|2 + 2v - v0, v0 - v1 = |v - v0|2 + |v0 - v1|2,

din care rezulta |v - v1| > |v - v0|; avem v - v0, v0 -v1 = 0, deoarece d = v - v0 este perpendicular pe Lm si v0 - v1 I Lm.

Teorema. Vectorul v0 este dat de

v0 = μ1e1 + μ2e2 + + μmem

cu e1, e2, , em o baza ortogonala din Lm si coeficientii

μ1 = v, e1, μ2 = v, e2, , μm = v, em.

Demonstratie. Trebuie sa avem v -v0, ek, k = 1, 2, , m,

si pentru ca baza este ortogonala, obtinem

μk = v, ek,

deoarece ei, ej = 0, ei, ei = 1.

Exemplu. Sa se gaseasca distanta punctului (4, 5, 9) la planul definit de vectorii v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, -1, 1).

Determinam o baza ortogonala:

e1 = v1 = (1, 1, 0),

= (0, -1, 1) + (1, 1, 0) = ;

deci e*1 = (1/, 1/, 0), e*2 = formeaza o baza ortonormala in plan. Punand v0 = μ1e*1 + μ2e*2, calculam:

μ1 = ,

μ2 = ,

v0 =

si distanta este data de

d = .

1.4.3. Metoda celor mai mici patrate. Sa consideram un fenomen b ce se exprima ca o functie de m stari a1, a2, , am, anume

b = a1λ1 + a2λ2 + + amλm,

cu λ1, λ2, , λm numere ce trebuie determinate.

Facandu-se n masurari asupra lui b si ai, obtinem relatiile

λ1a11 + λ2a12 + + λma1m = b1,

λ1a21 + λ2a22 + + λma2m = b2,

λ1an1 + λ2an2 + + λmanm = b1,.

Cand m = n, putem aplica regula lui Cramer daca determinantul |aij| ≠ 0. In general n ≠ m. Cum masurarile introduc erori, sistemul (1) nu conduce la solutii exacte; se cauta solutii aproximative si anume valori pentru λ1, λ2, , λm cat mai aproape de cele exacte.

Definitie. Se numeste abaterea patratica a relatiilor (1) expresia

. (2)

Metoda celor mai mici patrate consta in a determina pe λ1, λ2, , λm, astfel incat abaterea patratica medie sa fie minima.

Sa observam insa ca daca consideram vectorii

b = (b1, b2, , bn), a1 = (a11, a21, , an1), a2 = (a12, a22, , an2),

, am = (a1m, a2m, , anm),

expresia (2) este patratul distantei vectorului

b0 = a1λ1 + a2λ2 + + amλm,

la vectorul b, si problema se reduce la aflarea proiectiei b0 a vectorului b pe acest spatiu. Vectorul b - b0 este perpendicular pe spatiul determinat de a1, a2, , am, deci

b - b0, ak = 0, k = 1, 2, , m,

sau, pentru ca baza nu este ortogonala,

λ1a1, a1 + λ2a2, a1 + + λmam, a1 = b, a1,

λ1a1, a2 + λ2a2, a2 + + λmam, a2 = b, a2,

.

λ1a1, an + λ2a2, an + + λmam, an = b, an,

unde

ai, aj = , b, ai = ,

din sistemul (3) se determina λ1, λ2, , λm care sunt parametrii ce determina pe vectorul b care face abaterea patratica minima.

Aplicatie. 1) Vectorul b depinde de un parametru λ. Avem dupa n masurari

b1 = λa1, b2 = λa2, , bn = λan,

b = λa sau b, a = λa, a, sau

;

solutia este dreapta b = λa in planul a0b, care trece prin originea 0 si coeficient unghiular λ. Dreapta in general nu trece prin cele n puncte (ai, bi).

2) In cazul cand b depinde de doi parametri, avem

b1 = λa1 + μa*1, b2 = λa2 + μa*2, , bn = λan + μa*n;

punand a = (a1, a2, , an), a* = (a*1, a*2, , a*n), si b = (b1, b2, , bn), obtinem

a, aλ + a, a*μ = b, a, a, a*λ + a*, a*μ = b, a*,

care determina pe λ si μ, deoarece determinantul sistemului este diferit de zero daca a si a* sunt liniar independenti.

1.4.4. Determinantii lui Gram. Fie p vectori e1, e2, , ep.

Definitie. Se numeste determinantul lui Gram al vectorilor e1, e2, , ep determinantul

.

Teorema. Daca vectorii e1, e2, , ep sunt liniar dependenti, determinantul lui Gram este nul.

Demonstratie. Daca de exemplu

ep = μ1e1 + μ2e2 + + μp-1ep-1,

atunci se observa ca ultima linie este o combinatie liniara a celorlalte linii.

Se poate arata ca daca e1, e2, , ep sunt liniar independenti determinantul lui Gram este strict pozitiv.

Exercitii. 1. In R2 determinantul lui Gram

este, evident, strict pozitiv daca a, b nu sunt coliniari; pentru ca

|a|2 · |b|2 · sin2θ = |a|2 · |b|2(1 - cos2θ) = |a|2 · |b|2 =

= |a|2 · |b|2 - a, b2,

rezulta ca determinantul Gram da patratul ariei paralelogramului construit pe a, b ca laturi.

2. Avem relatia

,

deci determinantul lui Gram pentru 3 vectori din spatiu da patratul volumului paralelipipedului construit cu acesti vectori ca laturi.

1.5. TRANSFORMARI LINIARE

1.5.1. Matricea unei transformari liniare. Definitie. Fie F o aplicatie a lui Ln in Ln. Aplicatia F se numeste transformare liniare daca

1) F(a + b) = F(a) + F(b), a, b I Ln,

2) F(λa) = λF(a), λ I Ln,

Observatii. 1) Daca E(a) = a, aplicatia liniara E se numeste transformarea identica.

2) Daca O(a) = 0 pentru orice a I Ln aplicatia O se numeste transformarea nula.

Exemple. 1. Operatia de derivare este aplicatie liniara pentru multimea polinoamelor de grad ≤ n.

2. Operatia de integrare pe [a, b] pentru functiile continue este o transformare liniara.

Fie Ln un spatiu liniar, e1, e2, , en o baza, F o transformare liniara in Ln si

a = a1e1 + a2e2 + + anen

un vector oarecare in Ln. Sa consideram o noua baza h1, h2, , hn si

b = a1h1 + a2h2 + + anhn

un vector din Ln.

Teorema. Exista o transformare F pentru care

F(e1) = h1, F(e2) = h2, , F(en) = hn,

Demonstratie. Sa consideram transformarea F care duce vectorul a in b. Avem F(a) = b sau

F(a1e1) + F(a2e2) + + F(anen) = a1h1 + a2h2 + + anhn

sau

F(e1) = h1, F(e2) = h2, , F(en) = hn.

Reciproc, sa ducem vectorii hi in ei; la vectorul arbitrar

a = a1e1 + a2e2 + + anen

ii corespunde vectorul

b = a1h1 + a2h2 + + anhn;

deoarece a1, a2, , an sunt date, urmeaza ca b este unic, iar din F(a) = b rezulta hi = F(ej).

Daca scriem

hi = F(ei) = ai1e1 + ai2e2 + + ainen,

transformarii F i se asociaza matricea

A = ||aik||

Definitie. Matricea A se numeste matricea transformarii F in baza e1, e2, , en.

Daca notam

,

avem relatia h = Ae, care justifica pentru A unirea de matricea transformarii F.

Exemple. 1. Sa se gaseasca matricea transformarii care duce baza e1, e2, e3 in baza

h1 = e1 + e2, h2 = e2 - e3, h3 = e1 - e2 + e3.

Matricea transformarii este

si

.

2. Sa se gaseasca matricea transformarii care duce vectorii e1, e2, , en in vectorii

h1 = e1 - e2, h2 = e2 - e3, , hn = en - e1

Matricea transformarii este

si h = Ae.

Fie F o transformare liniara in Ln, e1, e2, , en o baza in Ln si A = ||aij|| matricea transformarii F in acea baza. In urma transformarii F vectorul

x = ξ1e1 + ξ2e2 + + ξnen

devine

y = η1e1 + η2e2 + + ηnen

deci y = F(x) = Ax. Putem scrie

F(x) = ξ1F(e1) + ξ2F(e2) + + ξnF(en) =

1(a11e1 + a12e2 + + a1nen) + ξ2(a21e1 + a22e2 + + a2nen) +

+ ξn(an1e1 + an2e2 + + annen) = η1e1 + η2e2 + + ηnen,

cu η1 = a11ξ1 + a21ξ2 + + an1ξn,

η2 = a12ξ1 + a22ξ2 + + an2ξn,

.

ηn = a1nξ1 + a2nξ2 + + annξn,

deci ε = At · ξ, unde , iar At = ||aji|| este matricea transpusa matricei A = ||aij||.

1.5.2. Operatii cu transformari liniare. Suma a doua transformari liniare. Definitie. Fie doua transformari liniare in Ln, F si G de matrice A = ||aij|| si B = ||bij||.

1. Numim suma a transformarilor F si G transformarea F + G care face sa corespunda vectorului x vectorul F(x) + G(x). Matricea transformarii F + G este A + B = ||aij + bij||.

2. Numim produs al transformarilor F si G transformarea H care rezulta din transformarea F urmata de transformarea G. Se noteaza H = G(F) si face sa corespunda vectorului x vectorul G(F(x)). Matricea transformarii G(F) este produsul A · B al celor doua matrice.

Intr-adevar avem

;

unde  , deci ||cij|| = ||aij|| · ||bij||

si matricea transformarii compuse este C = A · B.

Teorema. Suma si produsul de transformari au proprietatile:

1') F + G = G + F,

2') (F + G) + H = F + (G + H),

3') F(G(H)) = F(G)(H),

4') (F + G)(H) = F(H) + G(H),

5') H(F + G) = H(F) + H(G);

6') daca I este o transformare identica, de matrice E, avem relatia

AE = EA = A.

Demonstratie. Daca F are matricea A si G matricea B, operatiile 1') si 2'), 3'), 4') si 5') sunt operatii intre matrice. Matricea E este

si verifica pe 6').

1.5.3. Polinom de matrice. Sa notam

E = A, A = A , A · A = A2, An-1 · A = An.

Definitie. Se numeste polinom de matricea A pe corpul K matricea

P(A) = λ0E + λ1A2 + + λnAn.

Observatii. Putem defini si serii de puteri de matrice

λ0E + λ1A + λ2A2 + + λnAn + ;

astfel avem

eA = E + ,

(E - A)-1 = E + A + A2 + + An + .

1.5.4. Transformare inversa. Fie F(x) o transformare care duce vectorul x in vectorul y.

Definitie. Transformarea F-1 care transforma vectorul y in vectorul x se numeste transformare inversa.

Teorema. Daca transformarea F este realizata de matricea

, det A ≠ 0, deci F(x) = Ax,

transformarea inversa F este realizata de matricea A-1 definita de relatia

A A = AA = E

Demonstratie. Avem

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1,

a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2,

..

an1x1 + an2x2 + + annxn = yn,,

care poate fi rezolvat cu regula lui Cramer, deoarece det A ≠ 0. Putem proceda si matriceal:

A · x = y sau A-1 · A · x = A-1 · y .

deci E · x = A-1 · y sau x = A-1 · y .

Exemple. 1. Transformarea care duce un vector v din spatiu la proiectia sa v* pe un plan nu se poate inversa. Intr-adevar, la proiectia v* corespund o infinitate de vectori in spatiu.

2. Rotatia unui vector din spatiu este o transformare inversabila.

1.5.5. Matricea unei transformari in baze diferite. In spatiul Ln sa consideram doua baze e1, e2, , en si g1, g2, , gn; sa notam e = (e1, e2, , en) si g = (g1, g2, , gn). Fie F transformarea care duce de la e la g, deci g = F(e) si C matricea care realizeaza aceasta transformare:

g = Ce,  C = ||cij||.

Prin urmare, avem

F(e1) = g1 = c11e1 + c12e2 + + c1nen,

F(e2) = g2 = c21e1 + c22e2 + + c2nen,

.

F(en) = gn = cn1e1 + cn2e2 + + cnnen .

Fie x un vector din Ln si y transformatul sau prin H:

H(x) = y.

Daca A este matricea ce duce vectorul x scris in baza e in vectorul y, avem

;

daca B este matricea ce duce vectorul x scris in baza g in vectorul y, avem

Sa presupunem matricea B necunoscuta. Deoarece gi = F(ei), obtinem

,

care, daca ii aplicam transformarea inversa F-1, ne da

,

sau, revenind la matricele de transformare,

C AC = B.

Am demonstrat urmatoarea

Teorema. Matricea B a unei transformari H in baza g1, g2, , gn se obtine din matricea A a transformarii H in baza e1, e2, , en dupa formula

B = C AC,

unde C este matricea transformarii bazei e in baza g.

1.5.6. transformari invariante. Definitie. Fie F o transformare liniara in Ln. Un subspatiu Lm Ln se numeste invariant fata de transformarea F daca pentru orice x I Lm avem F(x) I Lm.

Exemplu. O rotatie F in spatiul R3 in jurul unei axe fixe pastreaza invariant orice vector situat pe axa. Orice plan perpendicular pe axa este un subspatiu invariant bidimensional.

Definitie. L1 Ln este subspatiu invariant fata de transformarea F daca pentru orice x I L1 avem F(x) = λx.

Folosind operatorul matriceal A = ||aij|| avem ecuatia

Ax = λx sau (A - λE)x = 0,

care conduce la sistemul

(a11 - λ)x1 + a12x2 + + a1nxn = 0,

a21x1 + (a22 - λ)x2 + a23x3 + + a2nxn = 0,

.


an1x1 + an2x2 + + (ann - λ)xn = 0,

sistem ce nu trebuie sa admita numai solutia banala, ceea ce ne da

, (1)

asa-numita ecuatie caracteristica sau ecuatie seculara; radacinile ei se numesc valori proprii sau valori caracteristice. Ecuatia (1) are n radacini reale sau complexe. Daca λ0 este o radacina a ecuatiei caracteristice, atunci din sistemul (1) rezulta valorile (x01, x02, , x0n) si vectorul

x0 = e1x01 + e2x02 + + enx0n

este un vector propriu al transformarii F realizate de matricea A. Am demonstrat urmatoarea

Teorema. Intr-un spatiu liniar Ln, construit pe corpul C, orice transformare liniara are un vector propriu.

In cele ce urmeaza dam rezultate privind vectorii proprii.

Teorema. Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii diferite doua cate doua sunt liniar independenti.

Demonstratie. Presupunem ca vectorii v1, v2, , vp ai operatorului F corespund valorilor proprii λ1, λ2, , λp diferite doua cate doua. Dupa inductie, pentru p = 1, teorema este adevarata deoarece αv1 = 0, deci α = 0. Presupunem teorema adevarata pentru p - 1 vectori si sa aratam ca este adevarata si pentru p vectori. Daca v1, v2, , vp sunt p vectori proprii liniar dependenti, atunci, luand combinatia

α1v1 + α2v2 + + αpvp = 0,  αk I R,

obtinem

F1v1 + α2v2 + + αpvp) = α1F(v1) + + αpF(vp) = 0,

deci

α1λ1v1 + α2λ2v2 + + αpλpvp = 0.

Pe de alta parte insa,

λp1v1 + α2v2 + + αpvp) = 0.

Din aceste doua relatii prin scadere rezulta

α11 - λp)v1 + α22 - λp)v2 + + αp-1p-1 - λp)vp-1 =0.

Vectorii v1, v2, , vp-1 insa sunt liniar independenti, deci

α1 = α2 = = αp-1 = 0.

In multe probleme ne intereseaza sa alegem o baza in care matricea unei transformari F sa aiba forma diagonala.

Teorema. Daca intr-un spatiu vectorial Ln o transformare liniara F : Ln Ln are n vectori proprii liniar independenti, atunci, alegand acesti n vectori ca baza, matricea transformarii F va avea in aceasta baza forma diagonala.

Demonstratie. Fie n vectori proprii liniar independenti e1, e2, , en care formeaza o baza in Ln. Avem

F(e1) = λ1e1, F(e2) = λ2e2, , F(en) = λnen,

deci matricea transformarii F este

.

Multimea formata cu radacinile caracteristice ale transformarii F se numeste spectrul transformarii liniare sau al operatorului liniar.

Nu este totdeauna posibil sa se determine o baza in care matricea transformarii sa aiba forma diagonala.

Numim multiplicitate geometrica a valorii proprii λ a transformarii F : Ln Ln dimensiunea subspatiului generat de vectorii proprii corespunzatori lui λ.

Se poate demonstra ca pentru o transformare F : Ln Ln se poate determina o baza in care matricea sa aiba forma diagonala daca multiplicitatea algebrica a fiecarei valori proprii este egala cu multiplicitatea ei geometrica.

In cazul cand nu putem determina o baza in care matricea transformarii sa aiba forma diagonala, se va putea determina o baza in care matricea transformarii sa aiba forma Jordan:

Fie, de exemplu F : Ln Ln o transformare liniara. Presupunem ca F are trei vectori (3 ≤ n) proprii liniar independenti e1, e2, e3, corespunzatori valorilor proprii λ1, λ2, λ3. Exista in acest caz o baza formata din vectorii

e11, e12, , e1m,

e21, e22, , e2k,

e31, e32, , e3p,

cu m + k + p = n astfel incat

F(e11) = λ1e11, F(e21) = λ2e21,

F(e12) = λ1e12 + e11, F(e22) = λ2e21 + e21,

. .

F(e1m) = λ1eim + e1, m-1, F(e2k) = λ2e2k + e2, k-1,

F(e31) = λ3e31,

F(e32) = λ3e32 + e31,

..

F(e3p) = λ3e3p + e3, p-1,

Aplicatie. Sa se aduca la forma Jordan matricea A a transformarii F : R4 R4 :

,

Valorile proprii ale matricei A sunt date de ecuatia

= 0

si sunt λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 1. Determinam vectorii proprii. Pentru λ = 1 avem

2x2 + 3x3 + 4x4 = 0, 2x3 + 3x4 = 0, x4 = 0;

obtinem vectorul propriu v1 = (1, 0, 0, 0).

Cautam sa determinam pe v2 = (y1, y2, y3, y4), astfel incat Av2 = v2 + v1; obtinem sistemul

2y2 + 3y3 + 4y4 = 1, 2y3 + 3y4 = 0, y4 = 0,

care ne da solutia v2 = (y1, 1/2, 0, 0).

Al treilea vector din baza este v3 = (z1, z2, z3, z4), cu Av3 = v3 + v2. Componentele z1, z2, z3, z4 se determina din sistemul

2z2 + 3z3 + 4z4 = y1, 2z3 + 3z4 = 1/2, z4 = 0,

obtinem solutia

,

si pentru y1 = 0 avem v3 = (z1, -3/8, 1/4, 0).

Vectorul v4 = (t1, t2, t3, t4) verifica relatia Av4 = v4 + v3, care conduce la sistemul

2t2 + 3t3 + 4t4 = z1, 2t3 + 3t4 = -3/8, t4 = 1/4,

cu solutia

.

Intrucat z1, t1 sunt arbitrari, luam t1 = z1 = 0. Obtinem baza

v1 = (1, 0, 0, 0), , , .

Matricea transformarii in aceasta baza are forma Jordan si este

.

1.6. TRANSFORMARI LINIARE PARTICULARE

1.6.1. Transformari hermitiene reale. Fie Ln un spatiu euclidian real.

Definitie. O transformare F Ln Ln se numeste transformare hermitiana reala (simetrica) daca pentru orice vectori x, y din Ln avem

x, F(y) = F(x), y.

Matricea asociata unei asemenea transformari este o matrice simetrica. Intr-adevar, daca (e1, e2, , en) este o baza in Ln astfel incat ei, ej = δij, putem scrie

ei, F(ej) = F(ei), ej,

iar daca

este matricea asociata transformarii F, avem efectiv

F(ej) = a1je1 + a2je2 + + anjen,

F(ei) = a1ie1 + a2ie2 + + anien,

din care rezulta

ei, F(ej) = F(ei), ej = aji,

deci aij = aji, ceea ce arata ca matricea asociata transformarii F este simetrica.

Teorema. Fie v un vector propriu al transformarii hermitiene reale. F Ln Ln. Subspatiul format cu vectorii ortogonali pe vectorul v este un subspatiu invariant pentru F

Demonstratie. Fie w I Ln, cu w, v = 0; din

F(w), v = w, F(v)

si F(v) = λv rezulta

F(w), v = w, λv = 0,

deci F(w) v, adica transformatul lui w prin F este de asemenea ortogonal pe v.

Teorema. Pentru orice transformare hermitiana reala exista o baza formata din vectori proprii, ortogonali doi cate doi.

Demonstratie. In cazul unidimensional orice vector nenul este un vector propriu. Pentru n = 1 proprietatea este adevarata. Presupunem teorema adevarata pentru orice transformare in Ln-1

Fie F o transformare hermitiana reala in Ln. Deoarece toate valorile proprii ale unei astfel de transformari sunt reale, exista cel putin un vector propriu e1. Construim subspatiul format din toti vectorii din Ln ortogonali pe e1. Spatiul are dimensiunea n - 1 si este un subspatiu invariant pentru F. Considerand acum transformarea

F : .

Prin inductie rezulta ca exista baza e1, e2, , en care satisface conditiile

F(ei) = λiei, ei, ej = δij =

Exemplu. Fie F : R3 R3, data prin

F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y).

Se cere sa se determine o baza ortonormala in care matricea transformarii are forma diagonala.

Matricea transformarii este

.

Determinam valorile proprii si vectorii proprii:

= 0.

Obtinem λ1 = λ2 = -1, λ3 = 2. Pentru λ = -1 coordonatele vectorului propriu corespunzator verifica relatia x + y + z = 0, deci

e1 = (1, 1, -2), e2 = (1, -1, 0)

sunt doi vectori proprii independenti. Pentru λ3 = 2 se obtine

e3 = (1, 1, 1).

Vectorii e1, e2, e3 sunt ortogonali doi cate doi; matricea transformarii in noua baza este

-1A.

1.6.2. Transformari ortogonale. Definitie. Fie Ln un spatiu vectorial real. Transformarea liniara F Ln Ln este o transformare ortogonala daca matricea A a acestei transformari intr-o baza ortonormala are proprietatea

A At

Sensul geometric al unei asemenea transformari este dat de urmatoarea

Teorema. Intr-un spatiu Ln orice transformare ortogonala pastreaza produsul scalar.

Demonstratie. Fie x I Ln, x = . Avem

in mod asemanator obtinem

F(y) = .

Produsul scalar este dat de

unde am pus

L = ,

A fiind matricea transformarii F. Din definitia transformarii ortogonale avem

relatii care ne conduc la

.

Observatii. 1) In cazul particular cand x = y obtinem

adica ||F(x)|| = ||x||, deci o transformare ortogonala pastreaza lungimea vectorilor.

2) Deoarece

rezulta ca o transformare ortogonala pastreaza unghiurile.

Teorema. Modulul valorilor proprii ale unei transformari ortogonale este egal cu 1.

Demonstratie. Avem F(x) = λx, insa

F(x), F(x) = x, x = λ2x, x,

de unde rezulta λ2 = 1, |λ| = 1.

Teorema. Daca e este un vector propriu al unei transformari ortogonale F, atunci subspatiul format din vectorii v ortogonali pe e este invariant pentru F

Demonstratie. Se stie ca v, e = 0, insa

F(v), F(e) = F(v), λe = λF(v), e = 0 = v, e,

deci F(v) e.

Aplicatie. Transformarile ortogonale in R2. Fie F R2 R2 o transformare ortogonala data in baza e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) prin matricea

A = .

Conditiile

AAt AtA E

conduc la relatiile

= 1.

Avem si

(det A)2 = 1, deci det A

Cazul I: det A = 1. Obtinem

,

deci

γ = βλ, δ = -αλ, α2 + β2 = 1, λ22 + β2) = 1, λ2 = 1, λ = ± 1, α = cos θ, β = sin θ.

Inlocuind aceste valori in conditia det A = 1, obtinem λ = -1; prin urmare, matricea A a transformarii este

si defineste multimea rotatiilor din plan.

Cazul II: detA = -1. In aceasta situatie αδ - βγ = -1 si ecuatia caracteristica a transformarii este

= 0, λ2 - (α + δ)λ - 1 = 0,

ecuatie cu radacini reale deoarece Δ = (α + δ)2 + 4 > 0. Fie λ1 si λ2 cele doua radacini. Pentru ca λ1λ2 = -1, urmeaza ca singurele valori posibile sunt λ1 = 1, λ2 = -1. Avem si

F(e1), F(e2) = -e2,

deci matricea transformarii in baza formata de vectorii proprii poate avea doar urmatoarele doua forme:

,

deci simetrii.

1.7. FUNCTII LINIARE. FUNCTII BILINIARE

1.7.1. Functii liniare. Fie L un spatiu liniar pe corpul R

Definitie. O functie F L R este liniara daca

1) f(x + y) = f(x) + f(y),  x, y I L,

2) f(λx) = λf(x),  λ I R

Observatii. 1) Daca e1, e2, , en este o baza in Ln si

x = x1e1 + x2e2 + + xnen,

atunci, conform definitiei, avem

f(x) = x1f(e1) + x2f(e2) + + xnf(en),

si daca punem f(e1) = a1, f(e2) = a2, , f(en) = an, obtinem expresia functiei liniare in Ln

f(x) = a1x1 + a2x2 + + anxn,

2) Sa consideram acum o noua baza g1, g2, , gn in Ln care in functie de e1, e2, , en, se scrie

g = A·e, A = ||αij||,

g1 = α11e1 + α12e2 + + α1nen,

g2 = α21e1 + α22e2 + + α2nen,

..

gn = αn1e1 + αn2e2 + + αnnen,.

Teorema. In spatiul Rn forma liniara f pentru vectorii x = (x1, x2, , xn) in baza e se scrie

f(x) = a1x1 + a2x2 + + anxn,

iar pentru vectorii x = (x*1, x*2, , x*n) scrisi in baza g se scrie

f(x) = a1x*1 + a2x*2 + + anx*n,

cu  b1 = α11a1 + α12a2 + + α1nan,

b2 = α21a1 + α22a2 + + α2nan,

..

bn = αn1a1 + αn2a2 + + αnnan,

sau b = A·a, unde b = (b1, b2, , bn), a = (a1, a2, , an).

Demonstratie. Avem

f(x) = f(g1x*1 + g2x*2 + + gnx*n) = x*1f(g1) + x*2f(g2) + + x*nf(gn),

insa

f(g1) = f11e1 + α12e2 + + α1nen) = α11f(e1) + α12f(e2) + + α1nf(en) =

= α11a1 + α12a2 + + α1nan.

1.7.2. Functii biliniare. Fie L un spatiu liniar si x, y I L

Definitie. O functie B L L R se numeste functie biliniara de vectori x si y I L daca

1) B(x, y), pentru x fixat, este functie liniara de y.

2) B(x, y), pentru y fixat, este functie liniara de x.

Observatie. Conform definitiei functia B are urmatoarele proprietati:

1') B(x, y1 + y2) = B(x, y1) + B(x, y2),

1") B(x, λy) = λB(x, y),

cat si

2') B(x1 + x2, y) = B(x1, y) + B(x2, y),

2") B(λx, y) = λB(x, y).

Teorema. Pentru x I Ln, y I Ln, raportat la o baza e1, e2, , en astfel incat

x = x1e1 + x2e2 + + xnen,

y = y1e1 + y2e2 + + ynen,

avem  .

Demonstratie. Avem

B(x, y) = B(x1e1 + x2e2 + + xnen, y1e1 + y2e2 + + ynen) =

= .

Daca notam B(ei, ej) = aij, functia biliniara (sau forma biliniara) se scrie

iar ||aij|| se numeste matricea formei biliniare B

1.7.3. Schimbarea bazei. In baza e1, e2, , en forma biliniara B se scrie

si este definita de matricea A = ||aij||. Fie g1, g2, , gn o noua baza cu matricea de trecere C

g = C·e, C = ||cij||,

sau  g1 = c11e1 + c12e2 + + c1nen,

g2 = c21e1 + c22e2 + + c2nen,

.

gn = cn1e1 + cn2e2 + + cnnen.

Teorema. Daca A este matricea formei biliniare B in baze e si G este matricea formei biliniare B in baza g, avem relatia

G CACt­.

Demonstratie. Avem in baza g

deci

bij = B(gi, gj) =

sau

bij = ,

deci

bij =

sau

G CACt­.

1.8. FORME PATRATICE

1.8.1. Forme biliniare simetrice. Fie Ln un spatiu vectorial cu n dimensiuni construit pe R si x, y doi vectori din Ln

Definitie. Forma biliniara B se numeste simetrica daca satisface conditia B(x, y) = B(y, x).

Din definitie rezulta ca B(ei, ej) = B(ej, ei) adica aij = aji, deci matricea A = ||aij|| este simetrica.

1.8.2. Forme patratice. Fie Ln un spatiu vectorial pe R si x, y doi vectori din Ln si fie B(x, y) o forma biliniara simetrica de matrice A = ||aij||.

Definitie. 1. Forma B(x, x) se numeste forma patratica, iar B(x, y) se numeste forma polara a formei patratice.

2. Forma patratica se numeste pozitiv definita daca pentru orice x I Ln, x ≠ 0, B(x, x) > 0.

Teorema. Forma polara B(x, y) simetrica este unic determinata de forma patratica B(x, x).

Demonstratie. Avem

B(x + y; x + y) = B(x, x) + B(x, y) + B(y, x) + B(y, y)

si pentru ca B(x, y) = B(y, x) rezulta

B(x, y) = [B(x + y, x + y) - B(x, x) - B(y, y)]/2.

Acest fapt conduce la urmatoarea

Teorema. O forma patratica se scrie intr-o baza data sub forma

A(x, x) = , aij = aji, unde aij = B(ei, ej).

Observatii. 1) Definirea formei patratice pozitiv definite cu ajutorul formelor biliniare simetrice conduce la urmatoarele proprietati:

1') B(x, y) = B(y, x),

2') B(x1 + x2, y) = B(x1, y) + B(x2, y),

3') B(x, y1 + y2) = B(x, y1) + B(x, y2),

4') B(λx, y) = λB(x, y), B(x, λy) = λB(x, y),

5') B(x, x) ≥ 0, B(x, x) = 0, x = 0,

care coincid cu proprietatile produsului scalar, de unde rezulta urmatoarea

Teorema. Forma biliniara care genereaza in Ln forma patratica pozitiv definita este produsul scalar

B(x, y) = x, y.

Observatie. Spatiul liniar in care s-a definit o forma patratica B(x, y) pozitiv definita se numeste spatiul euclidian.

Forma polara asociata formei patratice pozitiv definite se numeste produsul scalar x, y al vectorilor x, y.

1.8.3. Reducerea la o suma de patrate a unei forme patratice (metoda lui Gauss). Fie o forma patratica in Ln

,

si ne punem problema de a o reduce la forma cea mai simpla pe care o alegem:

,

trecand de la baza initiala la o baza convenabila.

Sa consideram forma patratica B(x, x) in care sa punem in evidenta toti termenii care contin x1, anume

,

in care formam patratul perfect (a11 ≠ 0) obtinand

si din care trebuie sa scadem pe

.

Deci B(x, x) se scrie

B(x, x) = + B*(x, x),

unde B* este oforma patratica care nu contine pe x1.

Procedeul poate fi continuat si pentru B*; dupa n operatii obtinem

B(x, x) =

unde b1 = 1/a11, ξ1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxn,

ceilalti coeficienti bi si coordonatele ξi determinandu-se din aproape in aproape. Am demonstrat urmatoarea

Teorema. O forma patratica se poate scrie totdeauna sub forma

,

printr-o schimbare convenabila a bazei.

Observatie. Procedeul folosit nu este unic; am inceput cu x1, dar putem incepe cu oricare din xi si sa le separam.

Exemplu. Sa se scrie sub forma de suma de patrate forma patratica

.

Avem

,

B(x, x) =

deci

B(x, x) = .

Daca punem x1 + x2 + x3 = ξ1, x2 = ξ2, x2 + 4x3 = ξ3, B(x, x) se transforma in B* (ξ, ξ), data de

B(ξ, ξ) = .

1.8.4. Metoda bazei triunghiulare. Procedeul expus arata ca baza obtinuta este de forma

ξ1 = α11x1 + α12x2 + + α1nxn,

ξ2 = α22x2 + + α2nxn,

..

ξ2 = αnnxn,

Vom cauta in cele ce urmeaza sa utilizam acest fapt.

Teorema lui Jacobi. Daca in forma patratica, scrisa intr-o baza e1, e2, , en,

B(x, x) =

determinantii urmatori sunt diferiti de zero

Δ0 = 1, Δ1 = a11 ≠ 0, Δ2 = ≠ 0,

, Δk = ≠ 0, , Δn = ≠ 0

atunci exista o baza g1, g2, , gn, in care B(x, x) se scrie sub forma

B (ξ, ξ) = ,

cu b1 = Δ01, b2 = Δ12, , bn = Δn-1n.

Demonstratie. Cautam noua baza sub forma

g1 = c11e1,

g2 = c21e1 + c22e2,

.

g2 = c21e1 + c22e2 + + cnnen.

Daca in baza e1, e2, , en

,

atunci aij = B(e1, gj); pentru ca in baza g sa obtinem rezultatul propus trebuie ca

B(gi, gj) = 0, i ≠ j = 1, 2, , n.

Sa observam ca daca B(gi, ej) = 0, si B(gi, gj) = 0, i ≠ j; intr-adevar, din (1) rezulta

B(g1, gj) = c11B(e1, gj), j ≠ 1,

deci daca B(e1, gj) = 0, si B(g1, gj) = 0, deoarece c11 ≠ 0.

Din a doua relatie din (1) se obtine

B(g2, gj) = c21B(e1, gj) + c22B(e2, gj) = c22B(e2, gj);

daca B(e2,gj) = 0, si B(g2, gj) = 0, c22 ≠ 0 etc.

Folosind cele scrise rezulta imediat pentru coeficientii ck1, ck2, , ckk sistemul, daca B(ei, gi) = 1,

ck1B(e1, e1) + ck2B(e1, e2) + + ckkB(e1, ek) = 0,

ck1B(e2, e1) + ck2B(e2, e2) + + ckkB(e2, ek) = 0,

ck1B(ek-1, e1) + ck2B(ek-1, e2) + + ckkB(ek-1, ek) = 0,

ck1B(ek, e1) + ck2B(ek, e2) + + ckkB(ek, ek) = 1,

si pentru ca aij = B(ei, ej), rezulta ca sistemul (2) are determinantul diferit de zero si este determinantul Δk din enunt. Obtinem

ckk = Δk-1k.

Coeficientul bk al formei patratice transformate este

bkk = B(gk, gk) = ckk,

deoarece toti B(gk, ei) = 0, i ≠ k.

Observatie. In noua baza forma patratica se scrie

,

insa aceasta forma nu este unica.

Exemplu. Forma patratica

E(x, y, z, t) = x2 + y2 - 3z2 + t2 -xy + 3yz + 5zt

sa se scrie sub forma canonica, folosind metoda lui Jacobi, apoi cea a lui Gauss.

Avem

Δ0 = 1, Δ1 = 1, Δ2 = = , Δ3 = = ,

Δ4 = =

deci forma patratica in noua baza se scrie

E(ξ, ξ) = .

Cu metoda lui Gauss avem:

,

,

deci E =

insa ,

E = .

Se observa ca prin ambele metode obtinem acelasi numar de patrate cu coeficienti pozitivi, anume 3.

1.8.5. Consecinte ale teoremei lui Jacobi. Teorema lui Jacobi permite sa se construiasca o baza pentru reducerea formei patratice la forma canonica cat si calculul efectiv al coeficientilor formei canonice. Acesti coeficienti arata si numarul termenilor negativi cat si ai celor pozitivi.

Teorema. 1. Numarul schimbarilor de semn din sirul 1, Δ1, Δ2, , Δn arata numarul coeficientilor negativi din forma canonica.

2. O forma patratica este pozitiv definita daca si numai daca

Δ1 > 0, Δ2 > 0, , Δn > 0.

Demonstratie. 1) si prima parte din 2) sunt imediate. Sa aratam ca daca o forma patratica este pozitiv definita, atunci Δk > 0, k = 1, 2, , n. Avem

;

se stie ca Δk ≠ 0, daca e1, e2, , ek sunt liniar independenti. Sa presupunem ca Δk = 0; avem atunci

λ1B(e1, ei) + λ2B(e2, ei) + + λkB(ek, ei) = 0,

cu μi nu toti nuli; obtinem

B1e1 + λ2e2 + + λkek, e1) = 0,

deci si

B1e1 + λ2e2 + + λkek, λ1e1 + λ2e2 + + λkek) = 0,

ceea ce este in contradictie cu forma patratica pozitiv definita, deci Δk > 0.

Observatie. Din definitie rezulta ca determinantii lui Gram sunt pozitivi sau nuli. Intr-adevar, daca luam pentru B(x, y) produsul scalar x, y, forma patratica B(x, x) = x, y este pozitiv definita, iar determinantii

Δk = > 0,

daca e1, e2, , ek sunt liniar independenti; iar Δk = 0 constituie conditia necesara si suficienta este ca e1, e2, , ek sa fie liniar dependenti.

1.8.6. Metoda matriceala de reducere a formelor patratice la forma canonica. Ilustram metoda printr-un

Exemplu. Sa se reduca prin metoda transformarilor ortogonale forma patratica

la forma canonica.

Scriem forma patratica astfel:

.

Determinam valorile proprii ale matricei

,

care este o matrice simetrica, deci o matrice hermitiana reala; prin urmare, matricea A admite o baza formata din vectori proprii ortogonali doi cate doi cu matricea transformarii de forma diagonala. Valorile proprii sunt date de ecuatia

si sunt λ1 = 1, λ2 = -1, λ3 = -3, λ4 = 7.

Vectorii proprii corespunzatori sunt

v1 = , v3 = ,

v2 = , v4 = .

Obtinem matricea

=,

cu care efectuam transformarea

= ;

avem si ||x1 x2 x3 x4|| = ||y1 y2 y3 y4||·t. Forma patratica data devine

·t·A··.

Matricea este ortogonala deci t = -1. Avem si

-1A =

astfel incat forma patratica f x1, x2, x3, x4) ia forma canonica

.

2. Vectori. Algebra vectoriala

2.1. VECTORI PE O DREAPTA

2.1.1. Vector. Notiunea de vector vine din practica. Forta centrifuga, tensiunea unui corp, viteza, acceleratia, deplasarea rectilinie sunt obiecte sau stari fizice caracterizate prin marime, directie si sens.

Definitie. Se numeste vector obiectul matematic atasat unei marimi fizice caracterizate prin marime, directie si sens.

Vom spune astfel ca fortele sunt vectori, viteza este un vector etc.

In matematica se folosesc segmentele orientate pentru a se reprezenta vectori. Un segment orientat are marimea (lungimea segmentului |AB|), directia, determinata de punctele A si B, sensul de la A la B.

Un vector se noteaza a, b sau AB.

2.1.2. Vectori pe o dreapta. Fie o dreapta D. Un vector AB pe dreapta D este un segment orientat cu AD, BD, unde A se numeste punctul de aplicatie si B extremitatea vectorului. Daca A este fix, vectorul se numeste legat. Daca A este mobil si |AB| = const, vectorul se numeste alunecator, iar dreapta D suport.

Definitie. Se numeste versor vectorul liber de marime unitate.

Daca pe dreapta D versorul este u, orice vector de pe D se scrie a = au unde a = |a| este marimea vectorului a.

Doi vectori care au aceeasi marime, aceeasi directie si acelasi sens se numesc vectori echipolenti.

Doi vectori sunt opusi daca au aceeasi marime, aceeasi directie si sensuri opuse.

Doi vectori sunt egali daca au aceeasi marime, aceeasi directie si acelasi sens, deci vectorii echipolenti sunt egali.

Adunarea a doi vectori. Fie a si b doi vectori si u versorul pe D. Putem scrie

a = au, b = bu.

Adunarea vectorilor a si b este operatia care asociaza la vectorii a, b vectorul c, definit astfel:

c = a + b = (a + b)u,

si are urmatoarele proprietati:

a + b = b + a   (comutativa),

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativa),

exista elementul neutru vectorul 0 de marime nula astfel incat

a + 0 = 0 + a = a;

pentru price vector a D exista opusul sau -a definit de

-a = (-a)u, astfel incat a + (-a) = 0.

Am demonstrat urmatoarea

Teorema. Multimea vectorilor de pe o dreapta formeaza un grup comutativ fata de operatia +.

2.1.3. Marimi scalare. Orice obiect sau stare fizica ce poate fi caracterizata numai prin marime se numeste marime scalara sau scalar. Un scalar este definit printr-un numar care indica marimea sa.

Temperatura, volumul unui corp, lungimea unui segment sunt marimi scalare.

2.1.4. Inmultirea unui vector cu un scalar. Definitie. Un vector a se inmulteste cu scalarul λ daca marimea vectorului a se nmulteste cu scalarul λ; rezultatul este un vector:

b = λ · a = a · λ = (a · λ) u.

Din definitie rezulta ca operatia este comutativa. Vectorul b pastreaza sensul lui a daca λ > 0; pentru λ < 0 vectorul b are sens opus lui a.

2.1.5. Vectori liniar dependenti. Fie p vectori v1, v2, ., vp.

Definitie. Spunem ca vectorii v1, v2, ., vp sunt liniar dependenti, daca exista p numere λ­1, λ2, ., λp, nu toate nule,

deci , astfel incat

λ1v1 + λ2v2 + . + λpvp = 0.

Teorema. Doi vectori coliniari sunt liniar dependenti si reciproc.

Demonstratie. Fie a = au, b = bu, deci b = (b/a)a, sau b = λa sau b - λa = 0; invers, daca μb + νa = 0, rezulta si este coliniar cu a.

2.2. VECTORI IN PLAN

2.2.1. Vectori in plan. Fie P un plan; la orice vector v din plan asociem un segment orientat v = AB, de aceeasi marime, directie si sens cu v.

Definitii. Vectorul v se numeste vector liber daca punctul sau de aplicatie A este oarecare i plan, directia si sensul ramanand aceleasi. Daca A este fix, vectourl v se numeste legat.

Doi vectori sunt egali daca au aceeasi marime, aceeasi directie si acelasi sens.

Observatie. Din definitie rezulta ca vectorul liber este de fapt o clasa de vectori.

In planul P sa consideram un sistem de axe rectangulare Oxy si un vector v; daca vom considera vectorul echipolent cu el v*, cu originea in O, vectorul v* va avea pe cele doua axe proiectiile p si q. In felul acesta la vectorul liber v asociem perechea ordonata de numere reale (p, q) si vom scrie v = (p, q).

Exemplu. Daca i, j sunt versorii axelor Ox si respectiv Oy, atunci i = (1,0) si j = (0,1).

Definitii. Doi vectori v1 = (p1, q1), v2 = (p2, q2) sunt egali daca si numai daca p1 = p2 si q1 = q2.

Suma a doi vectori v1, v2 este un vector v1 + v2 de componente p1 + p2 si q1 + q2:

v1 + v2 = (p1 + p2, q1 + q2);

adunarea este comutativa si asociativa. Elementul neutru este vectorul nul si opusul vectorului v = (p, q) este -v = (-p, -q).

Inmultirea unui vector v cu un scalar λ se face dupa regula:

λv = vλ = (λp, λq);

aceasta este asociativa:

λ(μv) = (λμ)v = (λμp, λμq),

este distributiva fata de adunarea scalarilor:

(λ + μ)v = λv + μv,

este distributiva fata de adunarea vectorilor:

λ(v1 + v2) = λv1 + λv2.

Observatii. 1) Regula de insumare a doi vectori este regula paralelogramului, in sensul ca, daca consideram doi vectori v1 si v2 si luam pentru extremitatea lui v1 originea lui v2, vectorul suma este vectorul v1 + v2 = w cu originea in originea lui v1 si extremitatea in extremitatea lui v2. Proiectia lui w pe Ox este suma proiectiilor lui v1 si v2 pe Ox, iar proiectia lui w pe Oy este suma proiectiilor lui v1 si v2 pe Oy.

2) Multimea vectorilor coplanari formeaza un spatiu vectorial.

2.2.2. Descompunerea unui vector v dupa doua directii distincte D1, D2 definite de vectorii a si b coplanari cu v. Sa consideram in planul lui v, a, b un punct O si doua drepte D1 si D2 ce trec prin O, paralele cu a, respectiv cu b. Daca descompunem pe v dupa regula paralelogramului, obtinem vectorii v1 si v2 dirijati dupa D1 si D2:

v1 = λa, v2 = μb,

deci

v = v1 + v2 = λa + μb.

Vectorii v1 si v2 se numesc componentele vectorului v dupa directiile a si b.

Teorema. Numerele λ si μ sunt unice.

Demonstratie. Sa presupunem ca mai exista doua numere λ', μ' si v=λ'a+μ'b. Prin scadere obtinem

= (λ' - λ)a + (μ' - μ)b.

Vectorii a si b nefiind coliniari, rezulta λ = λ', μ = μ', q.e.d.

Teorema. Trei vectori v1, v2, v3 coplanari sunt liniar dependenti si reciproc.

Demonstratie. Vectorii fiind coplanari, putem scrie

v1 = λv2 + v3, v1 - (λv2 + μv3) = 0,

deci vectorii sunt liniar dependenti. Reciproc, daca λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = 0 si λ1≠0, putem scrie

,

deci v1 se gaseste in planul vectorilor v2 si v3.

2.2.3. Protectia unui vector pe o directie. Sa consideram un vector si o directie pe care o luam axa Ox, de versor i. Proiectia vectorului v este scalarul p definit de relatia

pr v = p = |v|·cosφ,

unde φ este unghiul facut de v cu axa Ox, φ[0,π).

Teorema. Proiectia unui contur inchis de vectori este nula.

Demonstratie. Avem v1 + v2 + + vp = 0, deci

v1 = - (v2 + v3 + + vp) sau v2 + v3 + + vp = - v1,

pr v = |v1| cosφ, pr(-v1) = |v1|cos(π - φ), |v1| [cosφ + cos(π - φ)] = 0,

q.e.d. deoarece suma proiectiilor a doi vectori egali si de semn contrar este nula.
2.3. VECTORI IN SPATIUL R3

2.3.1. Vectori in R3. In spatiul cu trei dimensiuni sa consideram un triedru tridreptunghic Oxyz, o dreapta D si un vector liber paralel cu D, pe care il identificam cu un segment orientat AB, de marime |AB|, directia paralela cu D si sens de la A la B. Fie v* un vector legat echipolent cu v de origine O; deci v* are aceeasi marime, directie si sens cu v si punctul de aplicatie in O. Proiectiile lui v* pe Ox, Oy si respectiv Oz sunt v1, v2, v3 respectiv. Asociem vectorului liber v grupul ordonat de trei numere reale (v1, v2, v3) si scriem v = (v1, v2, v3).

Exemplu. Daca vectorii i, j, k sunt versorii axelor Ox, Oy, Oz, atunci i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1).

Definitii. 1. Suma a doi vectori v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) este un vector definit de

v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3).

a) Operatia + este comutativa si asociativa:

v + w = w + v, v + (w + s) = (v + w) + s.

b) Exista elementul neutru, vectorul 0 = (0, 0, 0), de marime nula si directie si sens nedefinite astfel incat

v + 0 = 0 + v = v.

c) La orice vector v exista opusul sau -v = (-v1, -v2, -v3), astfel incat

v + (-v) = 0.

2. Daca λ este un scalar (numar), este definita operatia de inmultire cu scalari

λv = vλ = (λv1, λv2, λv3)

cu proprietatile:

a') λ(μv) = (λμ)v, c') λ(v + w) = λv + λw,

b') (λ + μ)v = λv + μv, d') λv = vλ.

Observatii. 1) Spunem ca multimea V a vectorilor din spatiu formeaza un spatiu vectorial.

2) Insumarea a doi vectori se face dupa regula paralelogramului, iar a trei vectori dupa regula paralelipipedului.

3) Un vector v se descompune in mod unic dupa trei directii necoplanare.

4) Daca consideram trei trei axe trirectangulare Ox, Oy, Oz si i, j, k versori pe aceste axe, atunci

v = v1i + v2j + v3k,

v1, v2, v3 fiind proiectiile vectorului v pe cele trei axe.

Teorema. Patru vectori in spatiul tridimensional sunt liniar dependenti.

Demonstratia este la fel ca in cazul plan. Sa notam multimea vectorilor din spatiu cu L3.

2.3.2. Vector de pozitie. Sa consideram trei axe trirectangulare Ox, Oy, Oz de versori i, j, k si M un punct din spatiu de coordonate (x, y, z).

Definitie. Vectorul legat r = ix + jy + kz de origine O si extremitate M se numeste vectorul de pozitie al punctului M. Fata de un sistem de axe dat la orice punct M ≠ 0 corespunde un vector de pozitie si reciproc.

Exemplu. Vectorul de pozitie al punctului (1, 2, 3) este r = i + 2j + 3k.

2.4. OPERATII CU VECTORI

2.4.1. Produs scalar. Se considera doi vectori v = (v1, v2, v3) si w = (w1, w2, w3) raportati la un sistem trirectangular de axe Ox, Oy, Oz, care fac intre ele unghiul 0 ≤ φ < π.

Definitie. Produsul scalar a doi vectori v, w este aplicatia (L3×L3)→R definita de

= |v| · |w| cos φ.

Teorema. Produsul scalar are proprietatile:

1′) este comutativ,

2′) este distributiv fata de adunare,

3′) avem egalitatea

= v1w1 + v2w2 + v3w3.

Demonstratie. Din (1) rezulta imediat ca < v, w > = < w, v >. Pentru (2′) trebuie sa aratam ca

u, v + w = u, w + u, w.

Din definitie rezulta ca produsul scalar este proiectia segmentului orientat, atasat lui u pe directia lui v. Avem pr wu = OA, pr vu = OB, pru(v + w) = OC, dar OA=BC, deci OA + OB = OC.

3′) Fata de un sistem trirectangular de versori i, j, k, avem

v = iv1 + jv2 + kv3,

w = jw1 + jw2 + kw3.

Vectorii i, j, k fiind ortonormali, au proprietatile:

i , j = 0, j , k = 0,

k , j = 0, i , i = 1,

j , j = 1, k , k = 1;

daca tinem seama acum de aceste relatii si de faptul ca produsul scalar este distributiv fata de adunare, rezulta

= iv1 + jv2 + kv3 , iw1 + jw2 + kw3 = v1w1 + v2w2 + v3w3.

Consecinte. 1) Din relatia

|v| · |w| cos φ = v1w1 + v2w2 +v3w3

obtinem pentru v0, w0 pe

,

care da cosinusul unghiului a doua directii in spatiu.

2) Deoarece sin2φ = 1 - cos2φ, obtinem

sau folosind relatia Schwarz - Buneakovski,

3) Daca produsul scalar este nul, atunci sau unul din vectorii v, w este nul sau cosφ = 0, deci φ = π/2.

Teorema. Doi vectori v, w nenuli sunt perpendiculari daca si numai daca

v1w1 + v2w2 + v3w3 = 0.

Demonstratia rezulta din consecinta 3.

Exercitii. 1. Sa se calculeze unghiul format de vectorii v = (1, 1, -1), w = (-1, 1, 1).

Avem , .

Sa se determine α astfel incat vectorii v = (2, 3, 1), w = (α, 1, 2) sa fie ortogonali. Trebuie sa avem = 2α + 1·3 + 1·2 = 0, α = -5/2.

2.4.2. Produsul vectorial a doi vectori. Sa consideram doi vectori v, w nenuli si necoliniari. Cu v si w ca laturi se poate construi un paralelogram de arie |v| · |w| · sin φ, unde φ este unghiul celor doi vectori.

Definitie. Se numeste produs vectorial al vectorilor v, w, in aceasta ordine, aplicatia lui (L3×L3) in L3, definita de

d = v × w,

unde d este un vector de marime |d| = |v| · |w| · sin φ, dirijat dupa normala la planul determinat de v si w, cu sensul astfel incat triedrul (v, w, d) este direct.

Produsul vectorial a doi vectori are proprietati pe care le dam in urmatoarea

Teorema. 1. Produsul vectorial este anticomutativ, adica

v × w = -w × v.

2. Produsul vectorial este distributiv fata de operatia de adunare a vectorilor.

3. Produsul vectorial este asociativ fata de inmultire cu un scalar.

4. Avem egalitatea

.

Demonstratie. 1. Prima proprietate rezulta din definitie, w × v are aceeasi marime, aceeasi directie si sens opus cu v × w.

2. Sa aratam ca

u × (v + w) = u × v + u × w.

Avem

u × v = u × v′, u × w = u × w′, u × (v + w) = u × (v′ + w′).

Daca consideram produsele u × v′, u × w′ si u × (v′ + w′), deoarece uv′, uw′, u(v′ + w′), urmeaza ca avem o insumare in planul (v, w) a doi vectori v, w inmultiti cu scalarul |u|, deci

u × (v′ + w′) = u × v′ + u × w′,

care da imediat u × (v + w) = u × v + u × w.

3. Rezulta din definitie.

4. Avem i × i = 0, i × j = k, j × j = 0, j × k = i, k × k = 0, k × i = j,

si daca tinem seama de faptul ca produsul vectorial este distributiv, obtinem

(iv1 + jv2 + kv3) × (iw1 + jw2 + kw3) =

= i(v2w3 - v3w2) + j(v3w1 - v1w3) + k(v1w2 - v2w1), sau

. (1′)

Observatii. 1) Daca vectorii v, w sunt paraleli, atunci sin φ = 0 si produsul vectorial este nul si reciproc, daca v0, w0.

2) Din expresia (1′) se pot obtine toate proprietatile amintite.

3) Avem .

4) Din (1′) rezulta ca | v × w | este aria paralelogramului construit cu v si w ca laturi.

Exercitiu. Sa se calculeze aria paralelogramului construit cu vectorii a = i + j + 3k, b = i + 2j - k. Avem

Aria paralelogramului dat este | a × b | = .

2.4.3. Produse de trei vectori. Fie vectorii v, w si produsul lor scalar si vctorial v, w, v × w. Daca mai consideram un vector u oarecare, sunt permise urmatoarele operatii:

u · v, w; u · (v × w); u × (v × w).

a) Vectorul u ·v, w are marimea |u| · |v, w| si este dirijat dupa vectorul u.

Privitor al celelalte doua produse enuntam urmatoarea

Teorema. 1) Produsul mixt u ·v, w reprezinta volumul prismei de laturi |u|, |v|, |w|, dirijate dupa u, v, w.

2) Expresia carteziana a produsului mixt este

. (2′)

Demonstratie. 1. u · (v × w) = |u| |v × w| ·cos φ, insa |u| cos φ este proiectia vectorului u pe normala la planul (v, w), iar |v × w| este aria paralelogramului definit de v si w.

2. Daca efectuam produsul scalar

,

obtinem expresia din enunt.

Observatii. 1) Expresia (2′) arata ca

u · (v × w) = w · (u × v) = v · (w × u) = (u, v, w),

adica o permutare ciclica nu schimba valoarea produsului mixt.

2) Produsul mixt este nul daca si numai daca cei trei vectori nenuli sunt coplanari, adica sunt liniar dependenti.

Exercitiu. Sa se determine α astfel incat vectorii

u = i + αj + 2k, v = 2i + j + k, w = 3i - j + 4k

sa fie coplanari.

Trebuie sa avem

, α = -1.

Teorema. Dublul produs vectorial u × (v × w) reprezinta un vector in planul (v, w) si avem egalitatea

u × (v × w) = u, w· v -u, v· w.   (3′)

Demonstratie

,

care dezvoltat da expresia (3′), q.e.d.

Aplicatii. Fie u, v, w trei vectori nenuli si necoplanari. Vectorii u*, v*, w* care verifica relatiile

u* , u = 1, u* , v = 0, u* , w = 0,

v* , v = 1, v* , w = 0, v* , w = 0,

w* , w = 1, w* , u = 0, w* , v = 0,

se numesc vectorii reciproci vectorilor u, v, w.

a)      Vectorii reciproci au urmatoarele expresii:

, ,

si se verifica imediat ca satisfac conditiile de definitie.

b) Avem (u*)* = u, (v*)* = v, (w*)* = w, adica reciprocii reciprocilor sunt vectorii initiali.

c) Vectorii reciproci permit extrem de comod sa obtinem componentele unui vector. Fie vectorul

u = λa + μb + νc.

Daca a*, b*, c* sunt vectorii reciproci, obtinem imediat

= u, a*, μ = u, b*, ν = u, c*,

sau

, ,

Exercitiu. Sa se arate ca avem relatiile

a)      a + b + c, a* + b* + c* = 3,

b)      a × a* + b × b* + c × c* = 0.

c)      Oricare ar fi vectorii a, b, c, avem relatia

.

3. Dreapta si planul

3.1. DIRECTIE. DISTANTA IN R2

3.1.1. Directie; vector director. In planul P, o dreapta D data defineste o directie. Orice dreapta D′ paralela cu D are aceeasi directie. Un vector liber v paralel cu D este un vector director al directiei D. O directie este definita daca sunt date proiectiile unui vector director v pe un sistem de axe din P.

Definitie. Un grup ordonat de doua numere (p, q) defineste o directie in plan.

Daca vectorul v director este un versor, se numeste versor director iar proiectiile sale (α, β) sunt cosinusuri directoare ai directiei; avem relatia

Observatie. O directie are o infinitate de parametri directori (λp, λq) si doua perechi de cosinusuri directoare:

si .

Daca pe o directie alegem si un sens, atunci ii corespunde la directia orientata o singura pereche de cosinusuri directoare:

;

sensul opus pe directie este definit de

.

Axele de coordonat Ox si Oy au cosinusurile directoare (1, 0) si (0, 1) respectiv.

3.1.2. Coeficient unghiular. Fie o directie D definita de (p, q).

Definitie. Se numeste coeficientul unghiular sau panta directiei D numarul

, α = cos θ, β = sin θ;

θ este unghiul pe are il face directia orientata D cu axa Ox.

3.1.3. Unghiul a doua directii. Fie doua directii D1 si D2 definite de vectorii v(v1, v2) si w(w1, w2); conform unui rezultat obtinut la 2.4, avem in cazul plan

.

Consecinte. 1) Directiile sunt paralele daca

,

adica vectorii v, w sunt paraleli.

2) Directiile sunt perpendiculare daca

v1w1 + v2w2 = 0;

daca introducem pantele, obtinem

sau , sau m1m2 + 1 = 0,

unde m1 este panta lui D1 si m2 este panta lui D2.

Reciproca este de asemenea adevarata.

Tangenta unghiului a doua directii de pante m1, m2 este data de

tg θ = . (1)

Intr-adevar, daca θ1 este unghiul facut de directia orientata D1 si θ2 unghiul facut de directia orientata D2 cu axa Ox, avem

de unde rezulta imediat formula (1).

3.1.4. Distanta a doua puncte in plan. Fie M1(x1, y1), M2(x2, y2) doua puncte in plan. Proiectia segmentului pe axa Ox este x2 - x1 si pe Oy, y2 - y1. Aplicand teorema lui Pitagora, obtinem

.

Exercitiu. Sa se gaseasca unghiul format de directiile determinate de vectorii v1(1, -1), v2(-1, 1). Avem

, θ = 180

3.1.5. Biraport armonic. Fie M1, M2 doua puncte, care determina o dreapta D. Fie M si M* alte doua puncte pe dreapta D si fie λ=, μ=.

Teorema. Punctele (M1, M2; M, M*) determina o diviziune armonica pe dreapta D, daca λ + μ = 0.

Demonstratie. Relatia λ + μ = 0 da λ / μ = -1 sau

,

care este definitia diviziunii armonice, q.e.d.

Exercitiu. Sa se gaseasca unghiul format din directiile determinate de vectorii v1(1, -1), v2(-1, 1). Avem

, θ = 180˚

3.2. DREAPTA IN PLAN

3.2.1. Ecuatia vectoriala a dreptei in plan. Fie M1, M2 doua puncte in plan si M un punct curent pe dreapta determinata de M1 si M2. Fie

r1 = x1i + y1j, r2 = x2i + y2j, r = xi + yj,

vectorii de pozitie ai punctelor M1, M2, M.

Teorema. Ecuatia vectoriala a dreptei determinate de M1 si M2 este

r = r1 + λ(r2 - r1).  (1)

Demonstratie. Relatia se mai scrie MM1 + λM1M2 = 0 care exprima ca vectorii MM1 si M1M2 sunt coliniari.

Exercitiu. Sa se scrie ecuatia vectorial dreptei determinate de punctele M1(1, 2), M2(6, 7).

Vectorii de pozitie ai punctelor M1 si M2 sunt

r1 = i + 2j,   r2 = 6i + 7j.

deci ecuatia vectoriala a dreptei M1M2 este

r = i + 2j + λ(5i + 5j).

Teorema. Ecuatiile parametric ale dreptei ce trece prin punctele M1, M2 sunt

x = x1 + λ(x2 - x1),   y = y1 + λ(y2 - y1). (2)

Demonstratie. Se obtine din (1) prin proiectie pe cele doua axe de coordonate.

Exercitiu. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale dreptei ce trece prin punctul M1(2, 3), M2(4, 6). Dreapta are ecuatiile parametrice

(D) x = 2 + λ(4 - 2) = 2 + 2λ,  y = 3 + λ(6 - 3)=3 + 3λ.

Teorema. Ecuatia carteziana a dreptei ce trece prin punctele M1, M2 este

sau (3)

Demonstratie. Din (2) obtinem

, ;

eliminand pe λ, obtinem (3).

Exercitiu. Sa se scrie ecuatia dreptei ce trece prin punctele M1(1, 2), M2(7, 8). Sub forma de determinant ecuatia dreptei M1M2 este

sau -6x + 6y - 6 = 0.

Completari. a) Daca luam pentru M1 punctul (a, 0) si pentru M2 punctul (0, b), ecuatia (3) se scrie

si se numeste ecuatia dreptei prin taieturi.

b) Daca vectorul M1M2 il inlocuim cu un vector oarecare v = (a, b), ecuatia (1) se scrie

r = r0 + λv,  (1′)

unde r0 este vectorul unui punct de pe dreapta; ecuatiile (2) se scriu in acest caz

x = x0 + λa, y = y0 + λb. (2′)

c) Daca v este un versor, deci de componente (cos α, sin α), unde α este unghiul facut de v cu axa Ox, sistemul (2′) se scrie

sau , (2′′)

sau y - y0 = m(x - x0). (2′′′)

Teorema. Ecuatia carteziana a dreptei ce trece prin punctul (x0, y0) si are panta m este

y = y0 + m(x - x0).

Demonstratia rezulta din (2′′′).

3.2.2. Ecuatia normala a dreptei. Ecuatiile unei drepte determinate de doua puncte sau de un punct si o directie sunt obtinute. Sa consideram acum o dreapta D; perpendiculara din originea O pe D intalneste dreapta in P. Unghiul pe care il face aceasta perpendiculara cu axa Ox este α. Daca M este un punct curent pe dreapta, de coordonate (x, y), si p segmentul OP, atunci

(x - p cos α) cos α + (y - p sin α) sin α = 0 (1)

deoarece vectorul PM = (x - p cos α, y - p sin α) si versorul lui OP, anume  u = (cos α, sin α) sunt perpendiculari, deci produsul lor scalar este nul. Ecuatia (1) se mai scrie

x cos α + y sin α - p = 0

si se numeste ecuatia normala a dreptei D.

Exercitiu. Sa se scrie ecuatia normala a dreptei x - y + 8 = 0.

Avem , deci ecuatia normala a dreptei este

,

cos θ = , sin θ = - , p = , deci θ = 7π/4.

3.2.3. Ecuatia generala a dreptei. Teorema. Orice ecuatie de forma

Ax + By + C = 0

intr-un sistem de coordonate dat reprezinta o dreapta.

Demonstratie. Se observa ca toate ecuatiile obtinute sunt de aceasta forma. Reciproc putem scrie

,

adica ecuatia prin taieturi a dreptei ce trece prin punctele (-C/A, 0) si (0, -B/A). Daca o scriem sub forma

,

rezulta ca (-A/B) este coeficientul unghiular si (-C/B) ordonata la origine. Rezulta ca ecuatia unei drepte oarecare se scrie astfel:

y = mx + n.

3.2.4. Coordonatele unui punct care imparte un segment intr-un raport dat. Fie o dreapta D, doua puncte M1(x1, y1), M2(x2, y2) pe dreapta si un punct M(x, y) pe dreapta care imparte segmentul intr-un raport dat λ, deci

.

Daca r, r1, r2 sunt vectorii de pozitie ai lui M, M1 si M2, avem relatia

r - r1 = λ(r2 - r) sau .

Teorema. Coordonatele punctului M(x, y), care imparte segmentul cu M1(x1, y1), M2(x2, y2) in raportul , sunt

, ,

3.2.5. Ecuatia unei drepte in coordonate omogene. Teorema. Ecuatia generala a dreptei

Ax + By + C = 0 (1′)

in coordonate omogene are expresia

AX + BY + CZ = 0. (2′)

Demonstratia se obtine din (1′) punand x = X/Z, y = Y/Z.

Observatie. Punctul de la infinit al dreptei are Z = 0, deci coordonatele omogene ale punctului de la infinit sunt (1, -A/B, 0).

3.3. DREAPTA IN SPATIU

3.3.1. Ecuatia dreptei D ce trece printr-un punct M0(x0, y0, z0) si este paralela cu o directie D*. Fie r0 = ix0 + jy0 + kz0 vectorul de pozitie al punctului M0 fata de un sistem de axe Oxyz si v = (l, m, n) vectorul director al directiei D*.

Teorema. 1. Ecuatia vectoriala a dreptei D ce trece prin M0 si este paralela cu D* este

r = r0 + λv.  (1′)

2. Ecuatiile parametrice ale dreptei D sunt

x = x0 + λl, y = y0 + λm, z = z0 + λn. (2′)

3. Ecuatiile carteziene ale dreptei D sunt

(3′)

Demonstratie. 1. Obtinem r = r0 + λv.

2. Daca r = ix + jy + kz, v = il + jm + kn, obtinem, egaland componentele lui i, j, k.

3. Se obtine eliminand parametrul λ in (2).

Completari. 1. Daca v este definit de segmentul orientat M1M2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), ecuatiile (1′), (2′) si (3′) se scriu respectiv

r = r0 + λ(r2 - r1), (1′′)

(2′′)

. (3′′)

Se poate lua M0 = M1 sau M0 = M2.

2. Numerele l, m, n se numesc parametri directori ai dreptei D.

Exercitiu. Sa se scrie ecuatia dreptei D ce trece prin punctul (1, 2, 3) si este paralela cu vectorul v(2, 3, 5).

a) Ecuatia vectoriala este

r = i + 2j + 3k + λ(2i + 3j + 5k), λR,

sau

r = i(1 + 2λ) + j(2 + 3λ) + k(3 +5λ), λR.

b) Ecuatiile parametrice ale dreptei D sunt

x = 1 + 2λ, y = 2 + 3λ, z = 3 + 5λ, λR.

c) Ecuatiile carteziene sunt

3.3.2. Unghiul a doua drepte in spatiu este unghiul directiilor lor, deci, daca D1 are parametrii directori (l1, m1, n1), iar D2 are parametrii directori (l2, m2, n2), atunci

dreptele sunt perpendiculare daca

l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0,

si paralele daca

si reciproc.

3.3.3. Volumul tetraedrului. Fie segmentele orientate M0M1, M0M2, M0M3, pe care le consideram muchiile unui paralelipiped. Volumul paralelipipedului este dat de produsul mixt

(1)

Teorema. Volumul tetraedrului de varfuri M0, M1, M2, M3 este dat de

Demonstratie. Observam ca (1) se scrie astfel:

si ca volumul tetraedrului este o sesime din acest volum.

3.3.4. Distanta a doua drepte in spatiu. Fie dreptele

(D1) , (D2) .

Sa notam v1 = (l1, m1, n1), v2 = (l2, m2, n2), M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2).

Volumul prismei de laturi v1, v2 si M1M2 este data de produsul mixt si este egal cu aria paralelogramului definit de v1 si v2, inmultita cu distanta d(D1, D2) dintre cele doua puncte; din egalitate

d · |v1 × v2| = (r2 - r1, v1, v2)

rezulta .

4. Planul

4.1. ECUATII ALE PLANULUI

4.1.1. Ecuatia vectoriala a planului. Sa consideram in spatiu un sistem cartezian trirectangular de axe Ox, Oy, Oz, avand versorii i j k, respectiv. Fie M0(x0, y0, z0) un punct si v = (A, B, C) un vector liber.

Teorema. 1. Ecuatia vectoriala a planului ce trece prin punctul M0 de vector de pozitie r0 perpendicular pe vectorul v este

. (1′)

2. Ecuatia carteziana a planului cec trece prin punctul M0 perpendicular pe directia definita de vector (A, B, C), este

(P0)  A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0. (2′)

Demonstratie. 1. Daca M(x, y, z) de vector de pozitie r este un punct oarecare din plan, avem relatia

sau .

2. Daca scriem

r ix jy kz r0 ix0 jy0 kz0 v = Ai + Bj + Ck

obtinem ecuatia (2′).

Completari. 1) Ecuatia tuturor planelor care trec prin origine este  Ax + By + Cz = 0.

2) Orice dreapta paralela cu v este normala la planul P0; in particular, dreapta

se numeste normala la planul P0 in punctul M0.

3) Numerele (A, B, C) se numesc parametri directori ai planului P0. Doua plane sunt paralele daca si numai daca au parametrii directori proportionali.

Exemplu. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin punctul (1, 2, 3) si este perpendicular pe vectorul v(2, 3, 5). Ecuatia planului cerut este

2(x - 1) +3(y - 2) + 5(z - 3) = 0 sau 2x + 3y + 5z = 23.

Ecuatiile normalei la plan in punctul (2, 3, 5) sunt

.

4.1.2. Unghiul a doua plane. Acesta este unghiul normalelor, deci daca (A, B, C) si (A′, B′, C′) sunt parametri directori a doua plane P, P′, avem

. (3′)

Doua plane sunt perpendiculare daca si numai daca

AA′ + BB′ + CC′ = 0.

4.1.3. Ecuatia generala a planului. Teorema. O ecuatie de forma

Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C2 ≠ 0, (4′)

reprezinta fata de un sistem de axe Ox, Oy, Oz trirectangulare un plan.

Demonstratie. Ecuatia unui plan ce trece printr-un punct si este paralel cu directia (A, B, C) conform lui (2′) este

Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0.

deci  -D = Ax0 + By0 + Cz0.

Reciproc, fie x1, y1, doua valori care, inlocuite in ecuatia din enunt, determina pe z1 care verifica ecuatia (4′):

Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.

In mod asemanator determinam trei numere (x2, y2, z2) care verifica ecuatia (4′): Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0.

Am obtinut astfel doua puncte M1(x1, y1, z1) si M2(x2, y2, z2) care verifica ecuatia (4′). Pentru ca ecuatia sa reprezinte un plan trebuie ca orice punct de pe dreapta M1M2, anume

, , , λ ≠ -1

sa verifice ecuatia (4). Inlocuind, avem cu λ ≠ -1, (Ax1 + By1 + Cz1 + D) +

+ λ(Ax2 + By2 + Cz2 + D) = 0, care este verificata pentru orice λ ≠ -1.

Completari. 1) Ecuatiile planelor de coordonate sunt

Oyz x = 0; Oxz: y = 0; Oxy: z = 0.

2) Doua plane

Ax + By + Cz + D = 0, A′x + B′y + C′z + D′ = 0

sunt identice daca si numai daca

.

3) Doua plane sunt paralele daca si numai daca

.

4) Ecuatiile planelor paralele cu planele de coordonate sunt:

cu planul xOy: Cz + D = 0,

cu planul yOz: Ax + D = 0,

cu planul zOx: By + D = 0.

4.1.4. Ecuatia planului ce trece printr-un punct M si este paralel cu doua directii determinate de vectorii v1 si v2. Sa consideram punctul M0 de vector de pozitie r0 si vectorii echipolenti de origine M0, anume vectorul M0M1, echipolent cu v1 si de extremitate M1(x1, y1, z1) si vectorul M0M2 echipolent cu v2 de extremitate M2(x2, y2, z2). Avem

v1 = M0M1 = r1 - r0, v2 = M0M2 = r2 - r0.

Teorema. 1. Ecuatia vectoriala a planului P ce trece prin M0 si este paralel cu directiile v1 si v2 este

(r - r0, r2 - r0, r1 - r0) = 0,

unde r este vectorul de pozitie ala unui punct M(x, y, z) oarecare din plan.

2. Ecuatia carteziana a planului P ce trece prin trei puncte M0, M1, M2 este

Demonstratie. 1. Daca M este un punct din plan de vector de pozitie r = ix + jy + kz, atunci M0M = r - r0, M0M1 = r1 - r0, M0M2 = r2 - r0 si faptul ca sunt coplanari se scrie ca produsul lor mixt este nul:

(r - r0, r1 - r0, r2 - r0) = 0.

2. Produsul mixt se scrie

.

Completari. 1) Planul astfel determinat este perpendicular pe vectorul v1 × v2, deci daca v1 = (l1, m1, n1), v2 = (l2, m2, n2), normala la planul P este

.

2) Prin urmare, ecuatia planului P mai are si forma

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,

unde   .

3) In fine, sa mai observam ca ecuatia planului P este data de produsul mixt

(r - r0, v1, v2) = 0.

Daca v1 = (p1, q1, r1), v2 = (p2, q2, r2), atunci forma carteziana este

.

Exemplu. Ecuatia planului ce trece prin punctul (1, 1, 1) paralel cu dreptele

(D1) , (D2) ,

este .

4.1.5. Ecuatia normala a planului. Sa consideram un vector v cu originea in O si cosinusuri directoare (cos α, cos β, cos γ)

v = (p cos α, p cos β, p cos γ), | v | = p,

si P extremitatea sa. Daca M(x, y, z) este un punct curent pe planul π, perpendicular pe v in P, avem urmatoarea

Teorema. Ecuatia planului perpendicular pe v in P este

x cos α + y cos β + z cos γ - p = 0. (1)

Demonstratie. Avem , insa

MP = r - v = (x - p cos α)i + (y - p cos β)j + (z - p cos γ)k,

deci 

sau x cos α + y cos β + z cos γ - p = 0

Completari. Ecuatia unui plan

Ax + By + Cz + D = 0

se scrie sub forma normala impartind-o cu , deci

cos α = , cos β =

cos γ = , -p =

4.1.6. Distanta de la un punct la un plan. Teorema. Distanta de la un punct M0(x0, y0, z0) la un plan este data de

d = | x0 cos α + y0 cos β + z0 cos γ - p |,  (1′)

daca planul este dat prin ecuatia normala, si de

, (2′)

daca planul este dat prin ecuatia generala.

Demonstratie. Daca scriem ecuatia normala a planului in functie de distanta d + p la origine, avem

d + p - x cos α - y cos β - z cos γ = 0,

verificata de punctul (x0, y0, z0), deci

d + p = x0 cos α + y0 cos β + z0 cos γ

sau d = | x0 cos α + y0 cos β + z0 cos γ - p |.

Forma (2′) se obtine prin normalizare.

Aplicatie. Sa se scrie ecuatiile planelor bisectoare ale diedrului format de doua plane:

(P1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0, (P2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

Planele bisectoare sunt locul geometric al punctelor egal departate de cele doua plane, deci ecuatiile celor doua plane bisectoare la planele date sunt

.

4.2. DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU

4.2.1. Fascicole de plane. Sa consideram doua plane

(P1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0, (P2) A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

acestea pot fi identice, paralele sau oarecare cand intersectia lor este o dreapta D.

Teorema. 1. Daca matricea M = este de rang doi, cele doua plane se intersecteaza dupa o dreapta D, definita de sistemul P1 = 0, P2 = 0.

2. Daca matricea M este de rang 1, iar matricea

M′

este de rang doi, cele doua plane sunt paralele.

3. Daca matricea M′ este de rang 1, cele doua plane sunt confundate.

Demonstratia rezulta din teorema lui Rouché.

Multimea planelor definite de relatia

P1 + λP2 = 0, λR,

se numeste fascicol liniar de plane; daca P1 si P2 nu sunt paralele sau confundate, atunci au in comun dreapta P1 = 0, P2 = 0.

Sa consideram trei plane P1, P2, P3 de ecuatie

Aix + Biy + Ciz + Di = 0, i = 1, 2, 3. (1′)

Teorema. 1. Daca matricele

M = , M' =

au acelasi rang trei, planele au un punct comun.

2. Daca matricea M este de rang doi si toti determinantii caracteristici sunt nuli, deci M si M′ au acelasi rang 2, cele trei plane au o dreapta comuna.

Demonstratia rezulta din teorema lui Rouché. Coordonatele punctului de intersectie in cazul 1 se obtin rezolvand sistemul (1′).

Definitie. Multimea planelor definite de ecuatia

P1 + λP2 + μP3 = 0, λR, μR,

se numeste fascicol punctual de trei plane. In cazul 1 din teorema ele au un punct comun.

In general, patru plane P1, P2, P3, P4 nu au in comun nici un punct.

Teorema Patru plane de ecuatii

(Pi)  Aix + Biy + Ciz + Di = 0, i = 1, 2, 3, 4,

sunt concurente daca si numai daca

.

Demonstratia rezulta din teorema lui Rouché. Intr-adevar, sistemul

Aix + Biy + Ciz + Di = 0, i = 1, 2, 3, 4,

trebuie sa fie compatibil cu x, y, z, fapt care conduce la conditia din enunt.

Observatii. In general q plane P1, P2, , Pq sunt concurente daca matricea 4×q formata cu Ai, Bi, Ci, Di, este de rang 3.

4.2.2. Intersectia unei drepte cu un plan. Fie planul

(P) A1x + B1y + C1z + D1 = 0

si dreapta D data prin intersectia a doua plane neparalele:

(D)

Teorema. 1. Dreapta D intalneste planul P intr-un punct, daca matricele

M = , M =

au acelasi rang 3.

2. Dreapta D este paralela cu planul P, daca matricea M are rangul doi.

3. Dreapta D se afla in planul P, daca M si M′ au rangul doi, deci

P = P1 + λP2, λR.

4.2.3. Unghiul dintre o dreapta si un plan. Se dau planul

(P)  Ax + By + Cz + D = 0

si dreapta

(D) .

Definitie. Unghiul dintre o dreapta si un plan este complementul unghiului facut de dreapta cu normala la plan:

.

Teorema. Unghiul dintre planul P si dreapta D este dat de

sin φ = .

Demonstratia rezulta din definitie: avem cos θ = sin φ.

Exercitii. 1. Sa se calculeze unghiul dintre dreapta x = y = -z si planul z = 0. Avem

l = 1, m = 1, n = -1 si A = 0, B = 0, C = 1,

deci sin φ = , φ = arcsin .

2. Sa se arate ca intr-un tetraedru de varfuri A1, A2, A3, A4 dreptele care unesc varfurile cu centrele de greutate ale fetelor opuse (deci cu punctul de intalnire al medianelor) sunt concurente.

Sa aratam mai intai ca intr-un triunghi A1A2A3 cu varfurile Ai de vectori de pozitie ri, i = 1, 2, 3, medianele sunt concurente intr-un punct de vector de pozitie

= (r1 + r2 + r3)/3.

Un punct M situat pe mediana care uneste varful A1 cu mijlocul A2A3 si care imparte mediana in raportul λ are vector de pozitie

ρ1 = .

Pentru celelalte mediane obtinem succesiv

ρ2 = , ρ3 = ;

avem ρ1 = ρ2 = ρ3 pentru λ = μ = ν = 2 si punctul comun are vector de pozitie

= (r1 + r2 + r3)/3.

Punctul de intersectie este centrul de greutate al triunghiului.

Sa consideram acum tetraedrul A1, A2, A3, A4 cu varfurile Ai de vectori de pozitie ri, i = 1, 2, 3, 4. Vom presupune punctele Ai necoplanare, deci tetraedrul este nedegenerat. Un punct M de pe segmentul care uneste punctul A1, de vector de pozitie r1, cu centrul de greutate al triunghiului A2A3A4 si o imparte in raportul λ are vector de pozitie

ρ1 = ;

procedand in mod asemanator cu dreptele care unesc varfurile A2, A3, A4 cu centrele de greutate ale fetelor opuse lor, obtinem vectorii de pozitie

,

,

,

ale punctelor care impart segmentele respective in raportul μ, ν, η respectiv. Avem

pentru λ = μ = ν = η = 3;

punctul comun G are vectorul de pozitie

ρ = (r1 + r2 + r3 + r4) / 4.

Generalizare. Daca consideram n + 1 puncte A1, A2, , An+1 in Rn, de vectori de pozitie r1, r2, , rn+1, dreptele care unesc punctele Ai respectiv, cu punctele de vector de pozitie

(r1 + r2 + + ri-1 + ri+1 + + rn+1) / n, i = 1, 2, , n+1,

sunt concurente in punctul

ρ = (r1 + r2 + + rn+1) / (n+1)

si se arata in acelasi mod.

3. Sa se gaseasca perpendiculara comuna dreptelor

si suprafata generata de aceasta perpendiculara, cand λ variaza.

Deoarece dreapta D1 este paralela cu Oz, ecuatiile perpendicularei pe dreapta D1 sunt de forma

(D3) y - b = μ(x - a), z = k.

Aceasta dreapta trebuie sa fie perpendiculara pe dreapta D2 si sa o intalneasca.

Parametrii directori ai dreptei D2 sunt dati de matricea , deci A2 = 1 - λ, B2 = 1 + λ, C2 = -1 - λ2. Parametrii directori ai dreptei D3 sunt dati de matricea, deci A3 = -1, B3 = -μ, C3 = 0, iar conditia de perpendicularitate da

A2A3 + B2B3 + C2C3 = 0, μ = (λ - 1) / ( λ + 1).

Conditia de incidenta intre D2 si D3 cere ca sistemul x + λy + z = 0, λx - y - z = 0, y - b = μ(x - a), z = k, sau ca sistemul

μx - y + b - μa = 0, x + λy + k = 0, λx - y - k = 0

sa fie compatibil, deci

.

care da

,

sau, tinand seama de valoarea lui μ,

k = [(a - b)λ - a - b] / 2.

Ecuatiile perpendicularei comune sunt

.

Daca eliminam parametrul λ intre ele, obtinem ecuatia locului cautat

sau (x - y)z + bx + by + z(a - b) = b(a + b), care se mai scrie

[(x - y + z)2 - (x - y - z)2] + 4b(x + y) + 4z(a - b) = 4b(a + b),

deci reprezinta un paraboloid hiperbolic.

BIBLIOGRAFIE

  1. CRAIU, MARIANA; TOMA, GALINA, Curs de algebra liniara si geometrie, Bucuresti, I. P. B., 1979
  1. CRAIU, MARIANA s. a. , Probleme de algebra si geometrie, Bucuresti, I. P. B., 1979
  1. CIORANESCU, N., ROSCULET, M., Culegere de probleme de algebra si analiza matematica, Bucuresti, Editura Tehnica, 1959
  1. ROSCULET, M., Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala, Bucuresti, Editura Tehnica, 1987
  1. UDRISTE, C., Geometrie analitica si diferentiala (probleme), Bucuresti, I. P. B., 1973




Politica de confidentialitate


creeaza logo.com Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.