Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice
Acasa » scoala » matematica
Probabilitatea cauzelor. Formula lui Bayes

Probabilitatea cauzelor. Formula lui Bayes


Probabilitatea cauzelor. Formula lui Bayes.

Punerea problemei. Consideram de asemenea un sistem exhaustiv de evenimente mutuale incompatibile B1 , B2 ,..., Bn ale caror probabilitati corespunzatoare sunt P(B1) , P(B2) , ...., P(Bn). Evenimentul A nu poate avea loc decat impreuna cu unul din evenimentele B1 , B2 ,..., Bn , pe care le numim cauze (sau ipoteze).

In virtutea formulei (20) probabilitatea realizarii evenimentului A va fi:

P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + .... + P(Bn)P(A/Bn) (VII 22)

Presupunem ca evenimentul A va fi realizat. Actualizarea evenimentului A va antrena o modificare a probabilitatilor cauzelor P(B1) , P(B2) , ...., P(Bn). Determinand probabilitatile conditionate a acestor cauze si presupunand ca evenimentul A este actualizat, in alti termeni, determinam:

P(B1 / A), P(B2 / A), . P(Bn / A)

Solutia problemei Cu ajutorul relatiei (19) gasim:

P(A si B) = P(B1) P(A/B1) = P(A) P(B1/A)

de unde vom gasi:

P(B1/A) =

Inlocuind pe P(A) cu expresia sa din (22) obtinem:

P(B1/A) = (VII 23)



In mod analog, gasim: P(B2 /A) . sau

P(Bk/A) = (VII 24)

Formulele (VII 23) sau (VII 24) se numesc formulele lui Bayes, sau teorema cauzelor.

Remarca: Din formula (24) rezulta ca in expresia probabilitatii P(Bk / A) (probabilitatea de realizare a cauzei Bk , dupa actualizarea evenimentului A) numitorul nu depinde de indicele k.

Exemplul 1: Presupunem ca inaintea unei probe, exista 4 cauze echiprobabile

B1, B2, B3, B4 .

P(B1) = P(B2) = P(B3) = P(B4) = 0,25

Probabilitatile conditionate ale realizarii evenimentului A sunt respectiv:

P(A/B1) = 0,7 P(A/B2) = 0,1

P(A/B3) = 0,1 P(A/B4) = 0,02

Presupunem ca dupa proba evenimentul A se realizeaza. Vom obtine, dupa formula (24)

P(B1/A) = =

P(B2/A) = = 0,11

P(B3/A) = = 0,11

P(B4/A) = = 0,02

Avem aici P(B1) = 0,25 ; P(B1/A) = 0,76 care este mai mare deoarece evenimentul A este realizat

P(A/B1) = 0,7





Politica de confidentialitate


creeaza logo.com Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.