Creeaza.com - informatii profesionale despre


Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice



Acasa » referate » matematica
Proprietati ale functiilor elementare

Proprietati ale functiilor elementare



Proprietati ale functiilor elementare

1. Functii polinomiale

Definitie: Functia f: R → R, f(x)= anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+……+ a1x1+ a0x0 se numeste functie polinomiala de gradul n de coeficienti ai R, n N, an0 si variabila x.

In functie de gradul polinomul asociat, functia are proprietati de monotonie, convexitate si concavitate, bijectivitate si continuitate diferite, de aceea in prezenta lucrare, la aceasta sectiune voi prezenta cazul functiiilor de gradul I , II si functia putere cu exponent natural ca si cazuri particulare a functiei polinomiale.

1.1 Functia liniara sau functia de gradul I.

Definitie: Functia f: R → R, f(x)= ax+b se numeste functie de gradul I de coeficienti a,b R. In tabelul de mai jos regasim principalele caracteristici:

Functia

f: R → R,

f(x) = ax+b unde a,b R a0

Intersectia cu axele

De coordonate Ox si Oy

GfOx: f(x)=0 x=A(,0) Ox

GfOy: x=0 f(0)=b B(0,b) Oy

Convexitate si concavitate

Si convexa si concava in acelasi timp.

Paritate

Cand b = 0 functia este impara, Gf fiind simetric fata de O(0,0), in rest nu se pune problema.

Monotonia functiei

a< 0

x

-            +

f(x)=ax+b

+↓ ↓ ↓ 0 ↓ ↓ ↓ -


a >0

x

-            +

f(x)=ax+b

- ↑ ↑ ↑ 0 ↑ ↑ ↑ +

Semnul functiei

x

-             +

f(x)=ax+b

Semn opus a 0 acelasi semn a

Continuitate

Gf este o dreapta continua

Bijectivitate

Da

Observatie: In cazul a=0 functia este constanta, Gf fiind o dreapta ││Ox.

1.2. Functia de gradul II.

Definitie: Functia f: R → R, f(x)= ax2+bx+c se numeste functie de gradul II de coeficienti a,b,c R. cu a≠ 0.

Functia

f: R → R,

f(x)= ax2+bx+c, a,b,c R. cu a≠ 0.

Calculul discriminantului

∆=b2-4ac

>0

∆=0

∆<0

Varful

parabolei

V()

Daca a > 0 V – punct

de minim

Daca a < 0 V – punct

de maxim

V() Ox

Daca a > 0 V – punct de minim

Daca a < 0 V – punct de maxim

V()

Daca a > 0 V – punct de minim

Daca a < 0 V – punct de maxim

Intersectia cu axele de coordonate

GfOx: f(x)=0

A1(x1,0) si A2(x2,0) Ox

GfOy: x=0 f(0)=c

C(0,c) Oy

GfOx:

A1=A2= V() Ox

GfOy: x=0 f(0)=c

C(0,c) Oy

GfOx=

Gf nu intersecteaza axa Ox


GfOy: x=0 f(0)=c

C(0,c) Oy

Monotonia

functiei de gradul II

x = axa de simetrie a Gf


x = axa de simetrie a Gf

x = axa de simetrie a Gf

a > 0

x

-                          -b/2a +

f(x)

+             ↓ ↓ -∆/4a ↑ ↑ +

a < 0

x

-                          -b/2a +

f(x)

+             ↑ ↑ -∆/4a ↓ ↓ +

Semnul functiei

x

-     x1 x2 +

x

-     x1 = x2 +

x

-                              +

f(x)

sgn(a) 0 –sgn(a) 0 sgn(a)

f(x)

sgn(a) 0 sgn(a)

f(x)

sgn(a) sgn(a) sgn(a)

Bijectivitate

NU

Continuitate

Gf este o curba continua numita parabola


1.3 Functia putere cu exponent numar natural.

Definitie: Functia f: R → R, f(x)=xn cu n N* se numeste functie putere cu exponent numar natural.

In tabelul de mai jos voi reda principalele atribute ce caracterizeaza aceasta functie:

Functia

f: R → R, f(x)=x2k,

n N*

f: R → R, f(x)=x2k+1,

n N*

Intersectia cu axele

de coordonate Ox si Oy

O(0,0)

O(0,0)

Paritate

f(-x)=f(x) functie para

f(-x)=-f(x) functie impara

Simetria graficului Gf

Gf simetric fata de Oy

Gf simetric fata de O

Convexitate si concavitate

Convexa pe R

Concava pe (-,0)

Convexa pe [0,+)

O(0,0) punct de inflexiune

Puncte remarcabile pe

graficul functiei

(-1,1), (0,0), (1,1)

(-1,-1), (0,0), (1,1)

Ordonarea puterilor pe

(0,1) si (1, )

Pentru 0< x < 1 xn+1 < xn

Pentru x > 1 xn+1 > xn

Pentru 0< x < 1 xn+1 < xn

Pentru x > 1 xn+1 > xn

Monotonia functiei

x

- -1 0 1 +

x

- -1 0 1 +

x2k

+↓ 1 ↓ 0 ↑ 1 ↑ +

x2k+1

+↑ - 1 ↑ 0 ↓ 1 ↓ +

Strict descr. pe (-,0)

Strict cresc. pe [0,+)

(0,0) punct de minim

Strict crescatoare pe R

(0,0) punct de inflexiune

Semnul functiei

x

-            0 +

x

-            0 +

x2k

+ + + + + 0 + + + + +

x2k+1

+ - - - - 0 + + + + +

Continuitate

Gf este o curba continua

Gf este o curba continua



2. Functia putere cu exponent numar intreg negativ.

Definitie: Functia f: R → R, f(x)=x-n cu n N* se numeste functie putere cu exponent numar intreg negativ.

Functia

f: R* → R*, f(x)=

n N*

f: R* → R*, f(x)= ,

n N*

Intersectia cu axele

de coordonate Ox si Oy

Nu taie axele de coordonate

Nu taie axele de coordonate

Paritate

f(-x)=f(x) functie para

f(-x)=-f(x) functie impara

Simetria graficului Gf

Gf simetric fata de Oy

Gf simetric fata de O

Convexitate si concavitate

Convexa pe R*

Concava pe (-,0)

Convexa pe [0,+)

O(0,0) punct de inflexiune

Puncte remarcabile pe

graficul functiei

(-1,1), (1,1)

(-1,-1), (1,1)

Comportament asimptotic

x=0 asimptota verticala

y=0 asimptota orizontala

x=0 asimptota verticala

y=0 asimptota orizontala

Ordonarea puterilor pe

(0,1) si (1, )

Pentru 0< x < 1 xn+1 < xn

Pentru x > 1 xn+1 > xn

Monotonia functiei

x

- -1 0 1 +

x

- -1 0 1 +

0 ↑ 1 ↑++↓1 ↓ 0

0 ↓ -1 ↓-+↓1 ↓ 0

Strict cresc. pe (-,0)

Strict descresc. pe [0,+)

Strict descrescatoare pe R*


Semnul functiei

x

-            0 +

x

-            0 +

+ + + + + │ + + + + +

+ - - - - │ + + + + +

Continuitate

Gf este o curba continua pe

(-,0) si pe (0,+)

Gf este o curba continua pe

(-,0) si pe (0,+)

Bijectivitate

Nu

Da



3. Functia radical de ordinul n.

Definitie:

a) Functia f: R → R, f(x)= , nN*, se numeste functia radical de ordin impar.

b) Functia f: [0,+) → [0,+), f(x)= nN*, se numeste functia radical de ordin par.

Functia

f: [0,+) → [0,+),

f(x)= n N*

f: R → R,

f(x)= , n N*

Intersectia cu axele

de coordonate Ox si Oy

O(0,0)

O(0,0)

Paritate

Nu

f(-x)=-f(x) functie impara

Simetria graficului Gf

Nu

Gf simetric fata de O

Convexitate si concavitate

Concava pe [0,+)

Convexa pe (-,0

Concava pe [0,+)

Puncte remarcabile pe

graficul functiei

(0,0), (1,1)

(-1,-1), (0,0), (1,1)

Monotonia functiei

x

-          1 +

x

- -1 0 1 +

0    ↑ ↑ 1 ↑ ↑ +

-↑ - 1 ↑ 0 ↑ 1 ↑ +

Strict cresc. pe [0,+)

Strict crescatoare pe R

Semnul functiei

x

0 +

x

- 0 +

0+ + + + + + + + +

- - - - - 0 + + + + +

Continuitate

Gf este o curba continua

Gf este o curba continua

Bijectivitate

Da

Da

Functia inversa

f-1: [0,+) → [0,+),

f-1(x) = x2n

f: R → R,

f-1(x) = x2n+1


4. Functia putere cu exponent rational.

Definitie: f: (0,+) → R, f(x)= unde m Z, n N* cu n≥2, se numeste functia putere cu exponent rational.

Observatii:

1. Daca m,n ≥2 atunci are sens x > 0, in acest caz proprietati asemanatoare cu a functiei cu exponent natural.

2. Daca m = 1 atunci se obtine functia radical de ordinul n.

3. Daca m < 0 in acest caz functia manifesta proprietati asemanatoare cu a functiei cu exponent intreg negativ.

In graficul de mai jos am efectuat un studiu comparativ al comportarii functiilor:

x2 (albastru), x3/2(rosu), x3(verde), x-3/2(negru) .

Concluzii:

1. Pentru x > 1 si m,n N* rezulta > 1

2. Pentru 0 < x < 1 si m,n N* rezulta < 1

3. Pentru x > 1 si r1 < r2 cu r1 ,r2 Q atunci x r1 < x r2

4. Pentru   0 < x < 1 si r1 < r2 cu r1 ,r2 Q atunci x r1 > x r2

Functia exponentiala.

Definitie: Fie a > 0, a ≠ 1. Functia f: R → (0,+),f(x) = ax, se numeste functie exponentiala de baza a.

Studiul functiei se face pentru doua cazuri, in functie de baza a.

Functia

f: R → (0,+),f(x) = ax

0 < a < 1

f: R → (0,+),f(x) = ax

a > 1

Intersectia cu axele de coordonate

GfOx = Ψ

GfOy = A(0,1)

GfOx = Ψ

GfOy = A(0,1)

Semnul functiei

ax > 0 x R

ax > 0 x R

Convexitate si concavitate

Convexa

Convexa

Monotonie

Strict descrescatoare

Strict crescatoare

Comportament asimptotic

y = 0 asimptota orizontala

la

y = 0 asimptota orizontala

la

Continuitate

Gf este o curba continua

Gf este o curba continua

Bijectivitate

Da

Da

Functia inversa

f-1: (0, + → R; 0 < a < 1

f-1 (x)= loga x

f-1: (0, + → R; a > 1

f-1 (x)= loga x

Exemplu: f1: R → (0,+), f(x) = 4x (grafic culoare albastra) si f2: R → (0,+),f(x) = 4-x (grafic culoare rosie)


6. Functia logaritmica.

Definitie: Fie a > 0, a≠1. Functia f: (0, +) → R definita prin f(x)= loga x, se numeste functie logaritmica in baza a.

Functia

f: (0, + → R; 0 < a < 1

f(x)= loga x

f: (0, + → R; a>1

f(x)= loga x

Intersectia cu axele de coordonate

GfOx: f(x)=0 x=1

A(1,0) Ox

Gf nu taie axa Oy

GfOx: f(x)=0 x=1

A(1,0) Ox

Gf nu taie axa Oy

Convexitate si concavitate

Convexa

Concava

Monotonie

Strict descrescatoare

Strict crescatoare

Semnul functiei

logaritmice

x

0 1

x

0 1

loga x

- 0 + + + +

loga x

+ 0 - - - -

Bijectivitate

Da

Da

Functia inversa

f-1: R → (0, +

f-1(x) = ax cu 0 < a < 1

f-1: R → (0, +

f-1(x) = ax cu a > 1

Comportament asimptotic

Axa Oy este asimptota verticala la

Axa Oy este asimptota verticala la

Exemplu: f1: R → (0,+), f1(x) = log4x (grafic culoare albastra) si f2: R → (0,+),f2(x) = log1/4x (grafic culoare rosie)


7. Functii trigonometrice directe.

7.1. Functia sinus.

Definitie: Functia f: R → [-1;1] desrisa de forma analitica f(x)=sinx se numeste functia sinus.

Proprietati

pe [0.2Π)

pe R

Intersectia graficului cu axele de coordonate

GfOx: f(x)=0 x1=0 si x2= Π

O(0,0) si B(Π,0) Ox

GfOy: f(0)=0 O(0,0) Oy

GfOx: f(x)=0 x=kΠ

Bk(kΠ,0) Ox

GfOy: f(0)=0 O(0,0) Oy

Paritate

Nu se pune problema

Impara

Simetria graficului

Nu se pune problema

Gf simetric in raport cu O(0,0)

Monotonia functiei

↑- f.strict cresc.

↓- f.strict descresc.

x

0 Π/2 Π 3Π/2 2Π

-f.strict crescatoare.

-f.strict descrescatoare.

f(x)

0 ↑ 1 ↓ 0 ↓-1 ↑ 0


Marginire.

Valori extreme

Functie marginita

-1≤ f(x) ≤ 1

Max f(x) =1 = f(Π/2)

Min f(x) =-1 = f(3Π/2)

Functie marginita

-1≤ f(x) ≤ 1

Max f(x)=1=f(Π/2+2kΠ

Min f(x)=-1= f(3Π/2+2kΠ

Convexitate si

Concavitate

-concava pe [0,Π]

-convexa pe Π,2Π]

x Π punct de inflexiune

-concava pe

-convexa pe

x Π+2kΠ puncte de inflexiune

Continuitate

continua

Continua

Rezolvarea ecuatiei

x1=0 si x2=Π

x 1,k=2kΠ si x 2,k=Π+2kΠ

Semnul functiei

sinx >0 pentru x є (0,Π

sinx <0 pentru x є (Π,2Π

sinx >0 pentru x є (2kΠ Π+2kΠ

sinx <0 pentru x є (Π+2kΠ,2Π+2kΠ

Bijectivitate

Nu

Nu

Restrictii bijective


Observatii:

Daca x1,x2єR, atunci are loc inegalitatea lui Jensen:



7.2. Functia cosinus.

Definitie: Functia f: R → [-1;1] desrisa de forma analitica f(x)=cosx se numeste functia cosinus.

Proprietati

pe [0.2Π)

pe R

Intersectia graficului cu axele de coordonate

GfOx: f(x)=0 x1= Π/2 si x2= 3Π /2

B(Π/2,0)) si D(3Π/2,0) Ox

GfOy: f(0)=1 A(0,1) Oy

GfOx: f(x)=0 x1= Π/2+2kΠ si Bk(Π/2+2kΠ,0)

Dk(3Π/2+2kΠ,0) Ox

GfOy: f(0)=1 A(010) Oy

Paritate

Nu se pune problema

para

Simetria graficului

Nu se pune problema

Gf simetric in raport cu axa Oy

Monotonia functiei

↑- f.strict cresc.

↓- f.strict descresc.

x

0 Π/2 Π 3Π/2 2Π

-f.strict descrescatoare.

-f.strict crescatoare.

f(x)

1 ↓ 0 ↓ -1 ↑ 0 ↑ 1


Marginire.

Valori extreme

Functie marginita

-1≤ f(x) ≤ 1

Max f(x) =1 = f(0

Min f(x) =-1 = f(Π

Functie marginita

-1≤ f(x) ≤ 1

Max f(x)=1=f(2kΠ

Min f(x)=-1= f(Π+2kΠ

Convexitate si

Concavitate

-concava pe [0,Π/2] si [3Π/2,2Π

-convexa pe [Π/2,3Π/2

x Π/2 si x=3Π/2 puncte de inflexiune

-concava pe

-convexa pe

Continuitate

Continua

Continua

Rezolvarea ecuatiei

x1=Π/2 si x2=3Π/2

x 1,k=Π /2+2kΠ si

x 2,k=3Π /2+2kΠ

Semnul functiei

cosx >0 pentru x є (0,Π/2) si pe (3Π/2,2Π

cosx <0 pentru x є (Π/2,3Π/2

cosx >0 pentru

x є

cosx <0 pentru

x є

Bijectivitate

Nu

Nu

Restrictii bijective





Observatii:

Daca x1,x2є(-Π/2,Π/2) atunci are loc inegalitatea lui Jensen:


7.3. Functia tangenta.

Functia f:R- R, descrisa de f(x)= se numeste functia tangenta. Aceasta este o functie periodica de perioada principala T0=Π.Prin urmare studiul acestei functii se va realiza pe un interval de lungime Π. Prezint in cele ce urmeaza principalele proprietati in tabelul de mai jos.



Graficul functiei f(x) = tg x

Proprietati

pe (-Π/2.Π/2)

pe D

Intersectia graficului cu axele de coordonate

GfOx: f(x)=0 x1=0 O(0,0) s

GfOy: f(0)=0 O(0,0) Oy

GfOx: f(x)=0 x=kΠ

Bk(kΠ,0) Ox

GfOy: f(0)=0 O(0,0) Oy

Paritate

Impara

Impara

Simetria graficului

Gf simetric in raport cu O(0,0)

Gf simetric in raport cu O(0,0)

Monotonia functiei

↑- f.strict cresc.

↓- f.strict descresc.

x

Π/2 Π/4 0 Π/4 Π/2

-f.strict crescatoare.


f(x)

-↑ -1 ↑ 0 ↑ 1 ↑


Marginire.

Valori extreme

Functie nemarginita

x= Π/2 si x=Π/2 asimptote verticale

Functie nemarginita

x= asimptote verticale

Convexitate si

Concavitate

-concava pe (-Π/2,0)

-convexa pe [0,Π/2)

x=0 punct de inflexiune

-concava pe

-convexa pe

x puncte de inflexiune

Continuitate

continua

Curba discontinua

Rezolvarea ecuatiei

x1=0

x k=kΠ

Semnul functiei

tgx >0 pentru x є (-Π/2,0)

tgx <0 pentru x є (0,Π/2)

tgx >0 pentru x є

tgx <0 pentru x є

Bijectivitate

Da

Nu

Restrictii bijective


7.4. Functia cotangenta.

Functia f:R- R, descrisa de f(x)= se numeste functia cotangenta. Aceasta este o functie periodica de perioada principala T0=Π. Prin urmare studiul acestei functii se va realiza pe un interval de lungime Π, acesta fiind (0, Π ). Prezint in cele ce urmeaza principalele proprietati ale functiei in tabelul de mai jos.

Proprietati

pe (0.Π)

pe D

Intersectia graficului cu axele de coordonate

GfOx: f(x)=0 x= Π/2

A(Π/2,0) Ox

GfOy: f(x)=0 nu are solutie, deci nu avem punct de intersectie cu Oy

GfOx: f(x)=0 x= Π/2 kΠ

Bk(Π/2 kΠ,0) Ox

GfOy: Nu avem punct de intersectie cu Oy

Paritate

Nu

Impara

Simetria graficului

Nu

Gf simetric in raport cu O(0,0)

Monotonia functiei

↑- f.strict cresc.

↓- f.strict descresc.

x

0 Π/2 Π

-f.strict descrescatoare.


f(x)

↓ 0 ↓ -


↓- f.strict descresc.

Marginire.

Valori extreme

Functie nemarginita

x=0 si x=Π asimptote verticale

Functie nemarginita

x= k Π asimptote verticale

Convexitate si

Concavitate

-convexa pe (0,Π/2

-concava pe [Π/2,Π

x=Π/2 punct de inflexiune

-concava pe

-convexa pe

x Π/2+ puncte de inflexiune

Continuitate

Continua

Curba discontinua

Rezolvarea ecuatiei

x= Π/2

x k= Π/2+kΠ

Semnul functiei

ctgx >0 pentru

x є (0,Π/2)

ctgx <0 pentru

x є (Π/2, Π

ctgx >0 pentru x є

ctgx <0 pentru x є

Bijectivitate

Da

Nu

Restrictii bijective


Observatie: Intre functiile tangenta si cotangenta ale aceluiasi argument avem urmatoarea relatie de legatura : tgx*ctgx=1 pentru x si x cu k



Graficul functiei f(x) = ctg x



8. Functii trigonometrice inverse

8.1. Functia arcsinus. Functia sinx: este o functie bijectiva deci inversabila. Inversa acestei functii este functia arcsinx: definita de arsiny=x daca si numai daca sinx=y. Graficele functiilor arcsinx si sinx sunt simetrice fata de prima bisectoare.

Principalele proprietati ale functiei arcsinx sunt redate in tabelul de mai jos.

Proprietati

Intersectia graficului cu axele de coordonate

GfOx: f(x)=0 x= 0 O(0,0) Ox

GfOy: f(0)=0 arcsin0= 0 O(0,0) Oy

Paritate

impara

Simetria graficului

In raport cu O(0,0)

Monotonia functiei

↑- f.strict cresc.

↓- f.strict descresc.


- f.strict crescatoare pe

Marginire.

Valori extreme

Functie marginita

Min f(x)= Max f(x)=

Convexitate si

Concavitate

-convexa pe 0,1

-concava pe [-1 0

x=0 punct de inflexiune

Continuitate

Continua

Rezolvarea ecuatiei

arcsinx= 0 x= 0

Semnul functiei

arcsinx0 pentru

arcsinx0 pentru

Bijectivitate

Da

Functia inversa

sinx:


Graficul functiei f(x) = arcsin x

8.2. Functia arccosinus. Functia cosx: este o functie bijectiva deci inversabila. Inversa acestei functii este functia arccosx: definita de arccosy=x daca si numai daca cosx=y. Graficele functiilor arccosx si cosx sunt simetrice fata de prima bisectoare. Principalele proprietati ale functiei arcsinx sunt redate in tabelul de mai jos.

Proprietati

Intersectia graficului cu axele de coordonate

GfOx: f(x)=0 x= 1 A(1,0) Ox

GfOy: f(0)=0 arccos0= C(0, ) Oy

Paritate

Nu

Simetria graficului

In raport cu C(0, ) Oy

Monotonia functiei

↑- f.strict cresc.

↓- f.strict descresc.


- f.strict descrescatoare pe

Marginire.

Valori extreme

Functie marginita

Min f(x)= 0 Max f(x)=

Convexitate si

Concavitate

-concava pe 0,1

-convexa pe [-1 0

x=0 punct de inflexiune

Continuitate

Continua

Rezolvarea ecuatiei

arccosx= 0 x= 1

Semnul functiei

arccos0 pentru x [-1,1]

Bijectivitate

Da

Functia inversa

cosx:


Graficul functiei f(x) = arccos x


8.3. Functia arctangenta. Functia tgx: este o functie bijectiva deci inversabila. Inversa acestei functii este functia arctgx: definita de arctgy=x daca si numai daca tgx=y. Graficele functiilor arctgx si tgx sunt simetrice fata de prima bisectoare. Principalele proprietati ale functiei arctgx sunt redate in tabelul de mai jos.

Proprietati

R

Intersectia graficului cu axele de coordonate

GfOx: f(x)=0 x= 0 O(0,0) Ox

GfOy: f(0)=0 arctg0= 0 O(0,0) Oy

Paritate

Impara

Simetria graficului

In raport cu O(0,0)

Monotonia functiei

↑- f.strict cresc.

↓- f.strict descresc.


- f.strict crescatoare pe R

Marginire.

Valori extreme

Functie marginita

x= asimptota verticala la +

x=- asimptota verticala la -

Convexitate si

Concavitate

-convexa pe -,0

-concava pe [0, +)

x=0 punct de inflexiune

Continuitate

Continua

Rezolvarea ecuatiei

arctgx= 0 x= 0

Semnul functiei

arctgx < 0 pentru x -,0

arctgx > 0 pentru x 0, )

Bijectivitate

Da

Functia inversa

tgx:




Graficul functiei f(x) = arctg x


8.4. Functia arccotangenta.Functia ctgx: este o functie bijectiva deci inversabila. Inversa acestei functii este functia arcctgx: definita de arcctgy=x daca si numai daca ctgx=y. Graficele functiilor arcctgx si ctgx sunt simetrice fata de prima bisectoare. Principalele proprietati ale functiei arctgx sunt redate in tabelul de mai jos.


Proprietati

R

Intersectia graficului cu axele de coordonate

GfOx: Graficul nu taie axa Ox

GfOy: f(0)= C(0, ) Oy

Paritate

Nu

Simetria graficului

In raport cu C(0, ) Oy

Monotonia functiei

↑- f.strict cresc.

↓- f.strict descresc.


- f.strict descrescatoare pe R

Marginire.

Valori extreme

Functie marginita

y=0 asimptota orizontala la +

y= asimptota orizontala la -

Convexitate si

Concavitate

-concava pe -,0

-convexa pe [0, +)

x=0 punct de inflexiune

Continuitate

Continua

Rezolvarea ecuatiei

arcctgx= 0 nu are solutie

Semnul functiei

arcctgx > 0 pentru x R

Bijectivitate

Da

Functia inversa

ctgx:




Graficul functiei f(x) = arcctg x


9. Functii speciale. In continuare prezint o serie de functii a caror proprietati sunt utile si prezente in programa de gimnaziu si liceu.

9.1. Functia valoare absoluta

Definitie: Functia f:R descrisa de f(x)=max(x,-x)= se numeste functie modul sau functie valoare absoluta. Aceasta se mai noteaza si astfel: f(x)=

Proprietati:

Teorema modulului

1. ; = 0 x=0;

2. Daca x,y R atunci ;

3. Daca x,y R atunci ;

4. Daca x,y R atunci pentru

Din punct de vedere grafic functia valoare absoluta se prezinta astfel:




Proprietati

R

Intersectia graficului cu axele de coordonate

GfOx: = 0 x=0;

GfOy: = 0

Paritate

Para =

Simetria graficului

In raport cu Oy

Monotonia functiei

↑- f.strict cresc.

↓- f.strict descresc.


f.strict descrescatoare pe (-,0)

f.strict crescatoare pe (0,)

Marginire.

Functie marginita inferior

Convexitate si

Concavitate

-convexa pe R

Continuitate

Continua

Rezolvarea ecuatiei

= 0 x=0;

Semnul functiei

Bijectivitate

Nu


9.2. Functia caracteristica a unei multimi.

Definitie: Functia f:A descrisa de fA(x)= se numeste functie caracteristica multimii A.

Teorema: Fie A,B submultimi ale unei multimi E.

Atunci A=B daca si numai daca fA(x)= fB(x);

Observatie: A demonstra ca doua multimi sunt egale e echivalent cu a demonstra ca functiile lor caracteristice sunt egale.

Amintim aici functia lui Dirichlet f(x)= este periodica avand ca perioada orice numar rational.(sau functia caracteristica a multimii Q care este o functie para, marginita, surjectiva)

9.3. Functia parte intreaga, functia parte fractionara.

Definitie: Functia f: R Z data de legea f(x)= unde reprezinta cel mai mare intreg mai mic decat x, se numeste functie parte intreaga.

Definitie: Functia f: R data de legea f(x)= x- unde reprezinta cel mai mare intreg mai mic decat x, se numeste functie parte fractionara.



Proprietati ale functiei parte intreaga:

1. ;

2. ;

3.

4.

9.4. Functia signum.

Definitie: Functia f:A descrisa de sgn x= se numeste functie signum (indicator de semn).

Proprietati: Functia signum este surjectiva dar neinjectiva, impara si sgn(x*y)=sgn(x)*sgn(y)






Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




Regula lui Cramer
Spatiu vectorial
NOTIUNEA DE FUNCTIE
Transformari ortogonale
Serii cu termeni pozitivi. Exemple
MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV
Proiect de lectie Matematica - Consolidarea operatiilor de adunare si scadere
Identitati trigonometrice




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu