Creeaza.com - informatii profesionale despre


Simplitatea lucrurilor complicate - Referate profesionale unice
Acasa » scoala » matematica
Spatiu vectorial

Spatiu vectorial


Spatiu vectorial

Notiunea de spatiu vectorial este fundamentala in matematica si studiul acestuia constituie obiectul algebrei liniare.

DEFINITIA 1.1.1 Fie K un corp comutativ si 1K elementul sau unitate. Un triplet format din:

multimea nevida V,

legea de compozitie interna pe V, notata aditiv

,

legea de compozitie externa:

,

se numeste spatiu vectorial peste K ( sau K-spatiu vectorial ) daca verifica urmatoarele axiome:

perechea (V,+) este un grup abelian, adica:

a)

a) astfel incat

a) astfel incat

a)

fata de legea de compozitie externa sunt indeplinite axiomele:

a)

a)

a)

a)

Daca K=R (respectiv K=C) vom spune ca V este un spatiu vectorial real (respectiv complex).

Elementele unui K-spatiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se numesc scalari.

Legea de compozitie interna se numeste adunarea vectorilor iar legea de compozitie externa se numeste inmultirea cu scalari din K.

Notatie  este K- spatiu vectorial.

TEOREMA 1.1.1 Daca este dat spatiul , atunci au loc urmatoarele proprietati:

P1.

P2.

P3.

P4.

P5. sau

P6.

P7.

P8.

Demonstratie. P1. (conform cu a5) si a3)) deci in care, scazand in ambii membri pe rezulta



P2. (conform cu a6) si a3)), deci in care, scazand pe bx in ambii membri, rezulta

P3 In P1 facem x = y si atunci .

P4. In P2 luam .

P5 Demonstram implicatia directa: presupunem ca si T

Reciproc, evident din P3 si P4.

P6 Sa aratam ca . Avem

Analog, folosind a6)

P7 In prima parte a demonstratiei P6 luam in loc de a pe si avem:

(conform cu a7)).

P8. Evidenta, punand in P6 scalarul . □

Exemple

1. Orice camp K este spatiu vectorial peste el insusi ;

2. Spatiul vectorial al matricelor cu m linii si n coloane cu elemente din K:

cu ,K.

3. Spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult nIN cu coeficienti in K:

4. Fie n K-spatii vectoriale V1 , V2,., Vn si produsul cartezian .

Fie u, ,K si definim operatiile : ; cu K.

Acesta este un spatiu vectorial si se numeste produs direct de spatii vectoriale.

Daca K, i =1,2,., n, atunci se obtine spatiul vectorial :

K

numit spatiul vectorial aritmetic cu n dimensiuni.





Politica de confidentialitate


creeaza logo.com Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.