Creeaza.com - informatii profesionale despre


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice




Acasa » referate » matematica
Serii cu termeni pozitivi. Exemple

Serii cu termeni pozitivi. Exemple




Serii cu termeni pozitivi. Exemple

Fie . Seria geometrica este convergenta daca si numai daca . In cazul cand , suma seriei este egala cu .

Solutie. Daca , atunci termenul general al seriei nu converge la zero si deci, seria nu este convergenta. Daca , atunci si sirul sumelor partiale are suma .

De aici deducem ca suma seriei este egala cu .

Aratati ca seria este divergenta.

Intr-adevar, definim si . Atunci, avem . Din criteriul I de comparatie  nu putem trage concluzii asupra convergentei seriei. Cu ajutorul criteriului III, obtinem , deci seriile si au aceeasi natura, ultima serie fiind divergenta ( !).

Seria  este convergenta.

Se compara aceasta serie cu seria convergenta si, dupa criteriul III, obtinem

.

Deci, cele doua serii au aceeasi natura si anume sunt convergente.

Seria , este convergenta si are suma egala cu .

Aratati ca seria este convergenta si are suma egala cu .

Exercitii propuse

(a). Studiati natura urmatoarelor serii :

.

(b). Determinati suma seriei 

Indicatie. Putem scrie identitatea unde, prin identificare, gasim si . Atunci termenul general al seriei devine

si, prin urmare,

.

(c). Se considera seriile numerice

(discutie dupa valorile lui ).

i). Studiati convergenta seriilor (folosind criteriile cunoscute pentru serii cu termeni pozitivi; enuntati aceste criterii) .

ii). In cazul convergentei sa se calculeze suma seriilor.

(d). Studiati natura seriei .

Solutie. Daca atunci obtinem seria armonica .

In inegalitatea evidenta

, (1.1)

daca substituim, succesiv, obtinem ca subsirul al sirului sumelor partiale, este nemarginit superior:

.

Asadar, sirul sumelor partiale are limita infinita si deci, seria este divergenta.

Observatie. Inegalitatea (1.1) arata ca sirul sumelor partiale asociat seriei nu este sir Cauchy. Intr-adevar, daca alegem , deducem

, pentru orice

si atunci din criteriul general al lui Cauchy obtinem ca seria este divergenta.

Daca atunci termenii corespunzatori ai seriei considerate sunt mai mari decat termenii seriei armonice (divergenta). Potrivit criteriului I de comparatie rezulta ca seria , este divergenta.

Daca , vom pune , unde . Analog inegalitatii (1.1), avem inegalitatea

, (1.2)

Procedand ca mai sus, obtinem

Rezulta ca sumele partiale ale seriei considerate sunt majorate de numarul constant

si deci, seria este convergenta.

(e). Fie seria . Utilizand unul din criteriile de convergenta studiate, aratati ca seria este convergenta.

Solutie. Notam cu termenul general al seriei date. Din criteriul raportului, deducem

.

Prin urmare, cu criteriul raportului, nu putem decide natura seriei. Vom aplica, in continuare, criteriul lui Raabe si Duhamel.

Avem

.

Deci, seria este convergenta.

f). Calculati suma urmatoarelor serii :

). . R. Seria este convergenta si are suma egala cu .

. R. Sirul sumelor partiale este este convergent si avem (unde se numeste constanta lui Euler).

). .

Solutie. Termenul general al seriei are forma .

Atunci si deci, suma seriei este egala cu .

). si . ( unde, ) .

Solutie. Deoarece , atunci, din criteriul raportului, deducem ca seria este convergenta. Fie sirul sumelor partiale , si , suma seriei. Folosind relatia de recurenta , putem scrie .

Asadar, avem , oricare ar fi Folosind aceste relatii de recurenta, obtinem

,

unde

.

In consecinta, seria are suma egala cu .

Exercitii

). Aratati ca seria este convergenta si determinati suma sa.

R. Folosind identitatea , deducem ca seria este convergenta si are suma egala cu .

). Studiati natura seriei . R. Fie termenul general al seriei. Deoarece , atunci seria este divergenta.








Politica de confidentialitate

.com Copyright © 2020 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.


Proiecte

vezi toate proiectele
 SCHITA DE PROIECT DIDACTIC GEOGRAFIE CLASA: a IX-a - Unitatile majore ale reliefului terestru
 PROIECT DIDACTIC 5-7 ani Educatia limbajului - Cate cuvinte am spus?
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 Proiect - masurarea si controlul marimilor geometrice

Lucrari de diploma

vezi toate lucrarile de diploma
 Lucrare de diploma - eritrodermia psoriazica
 ACTIUNEA DIPLOMATICA A ROMANIEI LA CONFERINTA DE PACE DE LA PARIS (1946-1947)
 LUCRARE DE DIPLOMA MANAGEMENT - MANAGEMENTUL CALITATII APLICAT IN DOMENIUL FABRICARII BERII. STUDIU DE CAZ - FABRICA DE BERE SEBES
 Lucrare de diploma tehnologia confectiilor din piele si inlocuitor - proiectarea constructiv tehnologica a unui produs de incaltaminte tip cizma scurt

Lucrari licenta

vezi toate lucrarile de licenta
 LUCRARE DE LICENTA CONTABILITATE - ANALIZA EFICIENTEI ECONOMICE – CAI DE CRESTERE LA S.C. CONSTRUCTIA S.A TG-JIU
 Lucrare de licenta sport - Jocul de volei
 Lucrare de licenta stiintele naturii siecologie - 'surse de poluare a clisurii dunarii”
 LUCRARE DE LICENTA - Gestiunea stocurilor de materii prime si materiale

Lucrari doctorat

vezi toate lucrarile de doctorat
 Diagnosticul ecografic in unele afectiuni gastroduodenale si hepatobiliare la animalele de companie - TEZA DE DOCTORAT
 Doctorat - Modele dinamice de simulare ale accidentelor rutiere produse intre autovehicul si pieton
 LUCRARE DE DOCTORAT ZOOTEHNIE - AMELIORARE - Estimarea valorii economice a caracterelor din obiectivul ameliorarii intr-o linie materna de porcine

Proiecte de atestat

vezi toate proiectele de atestat
 PROIECT ATESTAT MATEMATICA-INFORMATICA - CALUTUL INTELIGENT
 Proiect atestat Tehnician Electronist - AMPLIFICATOARE ELECTRONICE
 ATESTAT PROFESIONAL LA INFORMATICA - programare FoxPro for Windows
 ATESTAT PROFESIONAL TURISM SI ALIMENTATIE PUBLICA, TEHNICIAN IN TURISM




Thales din Milet
GEOMETRIE PLANA –notiuni si formule elementare
Modelul lui Kaldor cu preturi anticipate
Transformari rectangulare – transformata Hadamard - Probleme rezolvate
Polinom caracteristic
INDICATORI DE POZITIE
Teoremele sumei si consecintele lor
Siruri




Termeni si conditii
Contact
Creeaza si tu