Serii cu termeni pozitivi. Exemple

Serii cu termeni pozitivi. Exemple

Fie . Seria geometrica este convergenta daca si numai daca . In cazul cand , suma seriei este egala cu .

Solutie. Daca , atunci termenul general al seriei nu converge la zero si deci, seria nu este convergenta. Daca , atunci si sirul sumelor partiale are suma .

De aici deducem ca suma seriei este egala cu .

Aratati ca seria este divergenta.

Intr-adevar, definim si . Atunci, avem . Din criteriul I de comparatie  nu putem trage concluzii asupra convergentei seriei. Cu ajutorul criteriului III, obtinem , deci seriile si au aceeasi natura, ultima serie fiind divergenta ( !).

Seria  este convergenta.

Se compara aceasta serie cu seria convergenta si, dupa criteriul III, obtinem

.

Deci, cele doua serii au aceeasi natura si anume sunt convergente.

Seria , este convergenta si are suma egala cu .

Aratati ca seria este convergenta si are suma egala cu .

Exercitii propuse

(a). Studiati natura urmatoarelor serii :

.

(b). Determinati suma seriei 

Indicatie. Putem scrie identitatea unde, prin identificare, gasim si . Atunci termenul general al seriei devine

si, prin urmare,

.

(c). Se considera seriile numerice

(discutie dupa valorile lui ).

i). Studiati convergenta seriilor (folosind criteriile cunoscute pentru serii cu termeni pozitivi; enuntati aceste criterii) .

ii). In cazul convergentei sa se calculeze suma seriilor.

(d). Studiati natura seriei .

Solutie. Daca atunci obtinem seria armonica .

In inegalitatea evidenta

, (1.1)

daca substituim, succesiv, obtinem ca subsirul al sirului sumelor partiale, este nemarginit superior:

.

Asadar, sirul sumelor partiale are limita infinita si deci, seria este divergenta.

Observatie. Inegalitatea (1.1) arata ca sirul sumelor partiale asociat seriei nu este sir Cauchy. Intr-adevar, daca alegem , deducem

, pentru orice

si atunci din criteriul general al lui Cauchy obtinem ca seria este divergenta.

Daca atunci termenii corespunzatori ai seriei considerate sunt mai mari decat termenii seriei armonice (divergenta). Potrivit criteriului I de comparatie rezulta ca seria , este divergenta.

Daca , vom pune , unde . Analog inegalitatii (1.1), avem inegalitatea

, (1.2)

Procedand ca mai sus, obtinem

Rezulta ca sumele partiale ale seriei considerate sunt majorate de numarul constant

si deci, seria este convergenta.

(e). Fie seria . Utilizand unul din criteriile de convergenta studiate, aratati ca seria este convergenta.

Solutie. Notam cu termenul general al seriei date. Din criteriul raportului, deducem

.

Prin urmare, cu criteriul raportului, nu putem decide natura seriei. Vom aplica, in continuare, criteriul lui Raabe si Duhamel.

Avem

.

Deci, seria este convergenta.

f). Calculati suma urmatoarelor serii :

). . R. Seria este convergenta si are suma egala cu .

. R. Sirul sumelor partiale este este convergent si avem (unde se numeste constanta lui Euler).

). .

Solutie. Termenul general al seriei are forma .

Atunci si deci, suma seriei este egala cu .

). si . ( unde, ) .

Solutie. Deoarece , atunci, din criteriul raportului, deducem ca seria este convergenta. Fie sirul sumelor partiale , si , suma seriei. Folosind relatia de recurenta , putem scrie .

Asadar, avem , oricare ar fi Folosind aceste relatii de recurenta, obtinem

,

unde

.

In consecinta, seria are suma egala cu .

Exercitii

). Aratati ca seria este convergenta si determinati suma sa.

R. Folosind identitatea , deducem ca seria este convergenta si are suma egala cu .

). Studiati natura seriei . R. Fie termenul general al seriei. Deoarece , atunci seria este divergenta.